复变函数引言

复变函数与积分变换,主讲教师：张波bzhang,函数论是数学研究中的一个十分重要的领域.其中包括两大分支：实变函数论所研究的函数的自变量与因变量均取实数；复变函数论所研究的函数的自变量与因变量均取复数。,引言,什么是复变函数？,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。,复变函数的产生和发展简史：,1545年，意大利数学家怪杰卡丹诺在在研究一元二次方程时引进了复数，他发现这个方程没有实数根，但他把这个方程的两个根形式地表为与,1637年，法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词.,同一时期，德国数学家莱布尼茨和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除了解方程外，还把它用于微积分等方面进行应用研究，得到很多有价值的结果.,特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel和R.Argand将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss与W.R.Hamilton定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。,复变函数的引入：,1748年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：,1777年，在他的著作微分公式中，首次使用i来表示虚数.他创立了复变函数论，并把它们应用到水力学、地图制图学上.,Euler公式,这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数联系到了一起。两个超越数：自然对数的底e，圆周率，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。,超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数。,欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱.,1777年3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇论文，论文中考虑了复变函数的积分：,其实比欧拉更早，法国数学家达朗贝尔在1752年关于流体力学论文中已经得到这两个方程，故有的教科书称这两个方程为达朗贝尔-欧拉方程.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼方程”。,十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支.例如，著名的代数学基本定理：,柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论的奠基者.,复变函数的应用,复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。,复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。,积分变换简介,何为积分变换？,所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个函数变成另一个函数的一种变换.,积分变换的产生,数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解.,原问题,原问题的解,直接求解困难,变换,较简单问题,变换后问题的解,求解,逆变换,基于这种思想，便产生了积分变换.,其主要体现在：,数学上：求解方程的重要工具（微积分向代数运算转化）；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化.,工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.,如：解析几何中代数方程与几何图形的对应关系；同一问题在直角坐标系与极坐标系的表达等。,积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。本课程将介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换。,要想学好这门课，首先复习高等数学二元函数极限，连续，导数，积分，第二型曲线积分，幂级数，傅里叶级数等内容.,怎样学好复变函数与积分变换这门课,1.发挥主观能动性，克服意志无力；,3.练！,2.有的放矢;,其次在学习过程中，希望大家做到以下几点：,教材与参考书,教材：复变函数与积分变换，宋叔尼，孙涛等编著，科技出版社出版社，2006。参考书：复变函数，西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版；积分变换，西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版；,作业，每周三课前交；,练习册，5元，行