幂级数解方程偏微分方程

幂级数解法本征值问题,第十一章,王建东,沙河校区计算机楼东206jdwang,11.1二阶常微分方程的幂级数解法,11.1.1幂级数解法理论概述,1.球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量,一、分离变量法求解偏微分方程：,可直接求解,可直接求解,对第3个方程作变量替换,为为l阶连带勒让德方程，不可直接求解,若讨论问题具有旋转轴对称性，即m=0,为l阶勒让德方程，不可直接求解,2.柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量,可直接求解,可直接求解,对第3个方程：(1)若0，作变换,为m贝塞尔方程，不可直接求解,=0可直接求解,(2)若0，即mn-1，令k=m-n，可得,即正、负n阶的贝塞尔函数线性相关，因此它们的线性组合不能构成贝塞尔方程的通解，此时需要根据Jn(x)求出另一个与它线性无关的特解：,通常这一特解定义为,称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数。,（2）贝塞尔方程解的敛散性,对于贝塞尔函数J(x)，其收敛半径为：,即级数解J(x)的收敛范围为0|x|。,对于贝塞尔函数J-(x)，其收敛半径为：,但此级数解J(x)存在负幂项，所以其收敛范围为0|x|。,（3）贝塞尔函数举例,最低阶的二个第一类贝塞尔函数J0(x)和J1(x)在实际应用中经常遇到，如平行光通过凸透镜在交点处的光场分布就是一阶贝塞尔函数。,贝塞尔函数可通过数学用表或数学手册查到,11.1.2施图姆刘维尔本征值,在运用分离变量法求解偏微分方程时，在边界条件的约束下，会出现种种含有参数的常微分方程，而它们又只在这些未知参数取特定值时才有非零解，这些未知参数所取的特定值称为本征值，相应的非零解则称为本征函数。求本征值和本征函数的问题称为本征值问题。一些偏微分方程定解问题的最后解决往往取决于本征值问题的解决。因此从数学理论上讨论本征值问题具有重要的意义。,前面对数理方程分离变量后所得到的一些带有参量的常微分方程的一般形式为：,一、施图姆刘维尔本征值问题,做变换,则原方程变为,因此，任何一个形如上述一般形式的含参数的二阶常微分方程均可化为此形式，该形式的方程称为施图姆刘维尔型方程，简称为S-L方程。,施图姆刘维尔型方程附以奇次的第一类、第二类、第三类或自然边界条件，就构成施图姆刘维尔本征值问题。,例1：,或,自然边界条件：,有界,代入S-L方程可得：,有界,有界,此两方程为勒让德方程本征值问题。,例2：,或,自然边界条件：,有界,代入S-L方程可得：,有界,有界,此两方程为连带勒让德方程本征值问题。,例3：,自然边界条件：,有界,代入S-L方程可得：,有界,此方程为贝塞尔方程本征值问题。,注：方程的x为柱坐标系或极坐标系中的极坐标,例4：,C1、C2为常数,代入S-L方程可得：,一维自由弦振动问题分离变量后所得的方程，其本征值和本征函数分别为：,例5：,代入S-L方程可得：,这是埃尔米特方程,的增长不快于,的本征值问题。（此问题来自量子力学中的谐振子问题）,例6：,代入S-L方程可得：,这是拉盖尔方程,的本征值问题。（此问题来自量子力学中的氢原子问题）,注：在以上各例中，k(x)、q(x)和(x)在开区间(a,b)上都取正直。,（2）贝塞尔方程的k(x)=x，k(0)=0，在端点x=0确实存在着自然边界条件；,从以上各例还可看出，如端点a和b是k(x)的一级零点，在那个端点就存在着自然的边界条件，例如：,（1）勒让德方程的k(x)=1-x2，k(1)=1-(1)2=0，在端点x=1确实存在自然边界条件；,（3）再如拉盖尔方程的k(x)=xe-x，k(0)在端点x=0确实有自然边界条件。,二、施图姆刘维尔本征值问题的共同性质,（1）如果k(x)、k(x)、q(x)连续或者最多以x=a和x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值,条件：S-L本征值问题中的k(x)、q(x)和(x)在开区间(a,b)上非负（0）。,相应的有无限多个本征函数,（2）所有本征值为实数且非负，即,证明：,本征值n和本征函数yn(x)满足,用yn(x)遍乘各项，并逐项从a到b积分可得,如果在端点x=a是第一类奇次条件yn(a)=0、第二类奇次条件yn(a)=0或自然边界条件k(a)=0，则,如果在端点x=a是第三类奇次条件(yn-hyn)x=a=0，则,同理，可得无论在哪种边界条件下，都有,因此，有,即,大家自己证明n=*n,（3）相应于不同本征值m和n的本征函数ym和yn在区间a,b上带权重(x)正交，即,证明：,本征函数ym和yn(x)满足,yn(x)第一式ym(x)第二式，可得,逐项在区间a,b积分，可得,如果在端点x=b是第一类奇次条件y(b)=0、第二类奇次条件y(b)=0或自然边界条件k(b)=0，则,如果在端点x=b是第三类奇次条件(y+hy)x=b=0，则,同理，可得无论在哪种边界条件下，都有,因此，有,又mn，所以,得证。,如果(x)=1，则是我们以前学过的函数正交关系,（4）本征函数族y1(x),y2(x),y3(x),是完备的。,这是说，如果函数f(x)具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件，则其可以展开为绝对且一致收敛的级数：,证明超出我们的范围，略。,三、广义傅里叶级数,绝对一致收敛的级数,称为广义傅里叶级数，系数fn(n=1,2,)叫作f(x)的广义傅里叶系数，函数族yn(x)叫作这个级数展开的基。,用ym(x)(x)乘上述级数展开式并逐项积分，可得：,记：,由于本征函数带权重的正交性质，上式右端除了n=m项之外全为0，因此有：,上式积分的平方根Nm项叫作本征函数ym(x)的模。,从而f(x)的广义傅里叶系数fm为:,如果本征函数的模Nm=1(m=1,2,)，就称为归一化的本征函数。对于正交归一化的本征函数族，上述广义傅里叶系数计算公式变为：,对于非归一化的本征函数yn(x)，只要改用yn(x)/Nn，就实现了本征函数的归一化。,为了方便，我们常将本征函数的正交关系写为:,其中：,称为克罗内克函数，对于正交归一化的本征函数族，上式简化为,注：为了应用广义傅里叶系数计算公式，必须先判定本征函数族是（带权重）正交的，还必须能计算本征函数族的模。,四、复数的本征函数族,以上的讨论假定了本征函数是实变数的实值函数。但本征函数也可以是实变数的复值函数，例如本征值方程,自然周期条件,的本征函数族通常是实函数族：,这些实函数族也完全可以由如下复函数族代替,对于复数本征函数族，为了保证模是实数，通常将模定义修改为,其中ym(x)*为ym(x)的复数共轭，正交关系也相应地变为,两式统一起来，即,而广义傅里叶系数的计算公式为,注：实际应用中，除非特殊情况，我们一般不知道本征函数族是复数还是实数，因此处理时常都按它们是复数处理，如果它们的虚部为0，则它们就是实的。,五、希尔伯特空间,为了帮助理解，我们以无限维的希尔伯特空间中的矢量做类比。,广义傅里叶级数,希尔伯特空间,函数f(x),本征函数yn(x),坐标轴矢量i1,i2,i3,“矢量”,“基底矢量”即in并不一定是“单位矢量”(它们的“长度”即模不一定为1)，因而矢量f的“分量”计算公式中出现inin。,11.1.4例题,例13.3.1将勒让德方程化成施刘型方程,解：由施刘型方程的标准形式,令,即可将勒让德方程转化为施刘型方程,例13.3.2将连带勒让德方程化成施刘型方程,解：,令,即可将连带勒让德方程转化为施刘型方程,式中m为常数。,例13.3.3将贝塞尔方程化成施刘型方程,解：,令,即可将贝塞尔方程转化为施刘型方程,例13.3.4将球贝塞尔方程化成施刘型方程,解：,令,即可将球贝塞尔方程转化为施