常微分方程6.3课件

现在回来研究一般的平面线性系统,P248相平面6.3相平面(P2796.3奇点),的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况.,根据A的特征根的不同情况可有如下的类型：P287,Th7,(6.37),0,y,o,x,Y,x,X,y,o,X,y,x,y,o,x,y,O,现讨论微分方程组,在以t,x,y为坐标的空间中决定了一条曲线，这曲线称为积分曲线。,如果把时间t作为参数，仅考虑x,y为坐标的空间，此空间成为（6.11）的相平面（空间）。,在相平面中，方程的解所描述的曲线称为轨线。,G,G,G,（a）稳定,（c）渐进稳定,（b）不稳定,o,o,o,t,t,t,t,t,t,0点代表零解,平面自治系统（或驻定方程组）：右端不显含t,性质2轨线的唯一性：,如果,满足初值解的存在与唯一性定理条件,则过相平面上的区域,的任一点,(6.13)存在一条且唯一一条轨线。,（6.13）可改写为：,(6.34)或（6.35）的积分曲线为(6.33)在相平面的轨线。,例1,方程组有特解,它在,的积分曲线是一条螺旋线(如图(a),三维空间中,为了画出方程组在相平面上的相图,我们求出方程组通解,其中,为任意常数.于是,方程组的轨线就是圆族(图(b).,(a),（b）,我们在本节先研究一类最简单的自治系统平面线性系统的奇点与它附近的轨线的关系.平面线性系统的一般形式为,(6.36),我们假定其系数矩阵,为非奇异矩阵,即其行列式,(即A不以零为特征根).,显然，(6.36)只有一个奇点(0，0).我们研究(6.36)在(0，0)附近的轨线分布.因为(6.36)是可解的，我们的作法是先求出系统的通解，然后消去参数t，得到轨线方程.从而了解在奇点(0，0)附近的轨线分布情况.,根据奇点附近轨线分布的形式，可以确定奇点有四种类型，即结点，鞍点，焦点和中心.,方程组(6.36)可以写成向量形式,(6.37),研究线性系统(6.37)在奇点(0，0)附近轨线分布的方法是，首先应用线性变换，把系统(6.37)化成标准型，并从化成标准型的方程中求出解来，确定其轨线分布，然后再回过头来考虑原系统(6.37)在奇点附近的轨线分布.,根据线性代数中关于矩阵的定理，存在非奇异矩阵T，使得,（J为约当标准型）.,作代换,令,则,若,可证（见p280）,当特征值,是相异实根时,于是系统(6.37)化成为,由线性变换的理论可知，标准型J的形式由系数矩阵A的特征根的情况决定：,(6.38),(1)特征根为相异实根，时，,(2)A的特征根为重根时，由A的初等因子的不同情形，A的标准型J可能有两种，为方便计，写成：,或,(3)A的特征根为共轭复根,时，,考察(6.38)，为了书写方便，去掉上标，把(6.38)写成,(6.38),下面就J的不同情况来研究(6.38)(即系统(6.38)的轨线分布.,(1)当,（）时，,系统(6.38)可写成纯量形式,求它的通解，得,消去参数t，得轨线方程,（C为任意常数）,情形I，同号,这时由于,，轨线是抛物线型的,(参看图a及图b).,图a稳定结点,图b不稳定结点,当0时，轨线在t时趋于原点,轨线以x轴为其切线的极限位置.,当0时，轨线在t时趋于原点,轨线以y轴为其切线当t时的极限位置.,从图（a）(b)知，所有轨线趋于奇点，且除个别轨线外，它们在奇点处有公切线，称此奇点为结点。,当0时，方程的零解是渐进稳定的，称对应的奇是稳定的结点。,当0时，方程的零解是不稳定的，称对应的奇是不稳定的结点。,其余情形见课本，总之，方程组,经过线性变换,(6.37),可化成标准型,(6.38),由A的特征根的不同情况，方程(6.38)(亦即方程(6.38)的奇点O(0，0)可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型.,现在回来研究一般的平面线性系统,的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况.,(6.37),我们知道，(6.37)可以从(6.38)经逆变换,而得到，而且，由于T是非奇异变换，,它具有下述不变性：,因而也就是一个仿射变换，,也是非奇异变换，,(1)坐标原点不变；(2)直线变成直线；,(3)如果曲线当t(或t)时趋向原点，,当t(或t)时也趋向坐标原点；,变换后的曲线,(4)如果曲线当t(或t)时，,盘旋地趋向原点，变换后的曲线,当t(或t)时也盘旋地趋向原点.,由此可见，方程(6.38)在各种情况下的轨线，经过线性变换后得到方程(6.37)的轨线，其结点型，鞍点型，焦点型，以及中心型的轨线分布是不变的.这就是轨线结构的不变性.,并且，由于变换后轨线趋向原点的方向不变，所以结点、焦点的稳定性也不改变.,于是，系统(6.37)的奇点O(0,0)，当,根据A的特征根的不同情况可有如下的类型：P287,Th7,0,y,o,x,Y,x,见课本p282-285图（c）,X,y,o,X,y,x,y,o,x,y,O,因为A的特征根完全由A的系数确定，所以A的系数可以确定出奇点的类型.因此，下面来研究A的系数与奇点分类的关系.,方程(6.37)的系数矩阵的特征方程为,或,令,于是特征方程可写为,特征根为,由曲线,，q轴及,轴把,平面分成几个区域，,不同的区域，对应着不同类型的奇点(图P288).,稳定结点区,q,p,稳定焦点区,不稳定焦点区,不稳定结点区,鞍点区,定理7(6.37)的零解将依特征方程(6.37a)的根的性质而分别具有如下的特性：,1）如果为实根，则时奇点为结点，且当时结点是稳定的，而对应的零解渐近稳定，担当时奇点和对应的零解均是不稳定；当时奇点为鞍点，零解为不稳定。,3）如果特征方程的为共轭复根，即，则当时，奇点为焦点，且当，焦点为稳定的，对应的零解为渐近稳定，而当时，奇点和对应的零解均为不稳定，当时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定。,令,轨线在结点处相切于x+y=0,介绍一点研究一般的平面系统,的轨线在奇点附近的分布的方法.,设(1)的右端函数P(x,y),Q(x,y)在奇点O(0,0)附近连续可微，并可以将(1)的右端写成,其中,我们把平面线性系统,称为一般平面自治系统(6.18)的一次近似.在条件,的假设下，称(0，0)为系统(1)的初等奇点,定理如果在一次近似(2)中，有,且O(0，0)为其结点(不包括退化结点及临界结点)、鞍点或焦点,又,与,在O(0，0)的邻域连续可微，且满足,，,则系统(1)的轨线在O(0，0)附近的分布情形与(2)的完全相同.,6.3按线性近似决定微分方程组的稳定性,考虑,由第五章知，它的任一解可表为形如,定理2若（6.26）的特征根均具有负实部，则方程组（5.33）的零解是渐近稳定的。,若（6.26）均没有正实部的特征根，但有零或零实部的根，则方程组（5.33）的零解可能稳定或可能不稳定的。,若（6.26）的特征根均具有正实部，则方程组（5.33）的零解是不稳定的。,考虑非线性微分方程组,定理3若特征方程（6.26）没有零或零实部的根，则（6.27）的零解的稳定性与其线性近似（5.33）的零解的稳定性态一致。即（6.26）的根均有负实部时，则（6.27）的零解的渐近稳定，6.26）的根有正实部时，则（6.27）的零解的不稳定，,判别（6.30）的零解的稳定性，其线性近似为,（6.31）的特征方程为,利用定理1和定理3可得：（1）若A0,则特征方程的根为两个相异的负实根，（6.31）的奇点为稳定的结点，（6.30）的零解是渐近稳定的。,（2）若A=0,则特征方程的根为两个相等的负实根，因为故（6.31）