常微分方程第一到四章知识

常微分方程,主讲人：袁小平,教材及参考资料,教材：常微分方程，(第三版）（07年精品教材），王高雄等（中山大学),高教出版社参考书目：1常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社2常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社3常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社4微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。,课程的教学目的与任务,通过该课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握其基本理论和主要方法，具备良好的解题能力，为学习本学科近代发展理论和后继课程打下基础。同时通过一些成功利用微分方程解释实际现象问题的著名范例，培养学生利用微分方程建立数学模型解决实际问题的能力，认识到数学来源于实践，又服务于实践，从而培养学生的数学实践观和加强数学实践能力。该课程又是数学分析的继续和进一步学习泛函分析、数理方程等必不可少的基础，对提高学生的素质，使之更好地适应当前经济建设的需要提供必备的知识基础。,课程的基本要求,1、正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法。2、熟练掌握用来精确求解几类重要的常微分方程（组）的方法，包括各种初等解法和线性常系数方程（组）的解法。3、掌握常微分方程（组）解的基本理论，包括一阶微分方程解的存在唯一性定理和线性微分方程（组）解的性质。,第一章绪论,教学目的与要求了解常微分方程如何根据实际问题建立数学模型；正确理解微分方程的有关基本概念。教学重点与难点微分方程中的基本概念，微分方程数学模型的建立授课方法以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅授课内容第一节常微分方程模型第二节基本概念,1.1常微分方程模型,RLC电路数学摆人口模型传染病模型两生物种群生态模型Lorenz方程,RL电路,基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律,在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零,RLC电路,数学摆,人口模型,马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r,人口模型的改进,Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假设：净相对增长率为,logistic模型,传染病模型,假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t)假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例系数为k,SI模型易感染者：Susceptible已感染者：Infective,SIS模型,对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被感染，设单位时间治愈率为mu,SIR模型（R：移出者（Removed）,对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者，而治愈率l为常数,两生物种群生态模型,意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食鱼的总数为y(t)假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比,Volterra被捕食-捕食模型,两种群竞争模型,Lorenz方程,Lorenz吸引子，蝴蝶效应,对初值的敏感性,分形（fractal）,吸引盆,总结,微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系统从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型数学模型的建立有多种方式研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型由微分方程发现或预测新的规律和性质,1.2基本概念,定义（微分方程）联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程,例1：下列关系式都是微分方程,1.2.1常微分方程基本概念,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程,都是常微分方程,常微分方程,如,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程,注:本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称为微分方程或方程,偏微分方程,如,都是偏微分方程,定义微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.,是一阶微分方程,是二阶微分方程,是四阶微分方程,微分方程的阶,如:,n阶微分方程的一般形式为,是线性微分方程,线性和非线性,如,如果方程,是非线性微分方程,如,n阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,微分方程的解,定义,称为方程的显示解,例,证明:,显式解与隐式解,隐式解,注:显式解与隐式解统称为微分方程的解,例如,有显式解,和隐式解:,通解与特解,定义如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解,例如:,n阶微分方程通解的一般形式为,注:,例,证明:,由于,故,又,类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解,以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解,隐式通解也称为“通积分”,在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解,例如,定义,定解条件,为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件,求满足定解条件的求解问题称为定解问题,常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:,当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题,注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为,注2:,例（P19）,解,由于,且,解以上方程组得,积分曲线和方向场,积分曲线,一阶微分方程,称为微分方程的积分曲线,方向场,在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.,所规定的方向场,例研究下列方程的方向场和积分曲线,微分方程组,驻定与非驻定，动力系统,驻定（自治）,非驻定（非自治）,相空间、奇点和轨线,不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间积分曲线在相空间中的投影称为轨线称为平衡解（驻定解、常数解），奇点、平衡点,例,垂直等倾线、水平等倾线,第二章一阶微分方程的初等解法,教学目的与要求1.熟练掌握一阶微分方程的初等解法；2.掌握特殊的一阶隐式微分方程的解法。教学重点与难点一阶微分方程的初等解法授课方法以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅授课内容第一节变量分离方程与变量变换第二节线性方程与常数变易法第三节恰当方程与积分因子第四节一阶隐方程与参数表示,2.1变量分离方程与变量变换,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,例：,分离变量:,两边积分:,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,例4,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,(I)形如,方程称为齐次方程,求解方法:,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,(II)形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.,解的步骤:,解:,解方程组,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,三、应用举例,例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。,解:,根据球体的体积和表面积的关系得,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随时间的变化关系为,2.2线性方程与常数变易法,一阶线性微分方程,一一阶线性微分方程的解法-常数变易法,代入(1)得,积分得,注求(1)的通解可直接用公式(3),解:,将方程改写为,首先,求齐次方程,的通解,从,分离变量得,两边积分得,故对应齐次方程通解为,其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即,积分得,故通解为,解:,但将它改写为,即,故其通解为,解:,先求原方程的通解,故所给初值问题的通解为,形如,的方程,称为伯努利方程.,解法:,解:,解以上线性方程得,例5R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,二线性微分方程的应用举例,电路的Kirchhoff第二定律:,在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为,解线性方程:,解:,于是由Kirchhoff第二定律,得到,设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:,故当开关K合上后,电路中电流强度为,作业,P481:2,2.3恰当方程与积分因子,一、恰当方程的定义及条件,如果恰好碰见方程,就可以马上写出它的隐式解,定义1,则称微分方程,是恰当方程.,如,是恰当方程.,1恰当方程的定义,需考虑的问题,(1)方程(1)是否为恰当方程?,(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?,(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?,2方程为恰当方程的充要条件,定理1,为恰当方程的充要条件是,证明,“必要性”,设(1)是恰当方程,故有,从而,故,“充分性”,即应满足,因此,事实上,故,(8),注:若(1)为恰当方程,则其通解为,二、恰当方程的求解,1不定积分法,解:,故所给方程是恰当方程.,即,积分后得:,故,从而方程的通解为,2分组凑微法,采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把剩余的项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数的全微分.,如,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,或写成,故通解为:,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,或写成,故通解为:,故所求的初值问题的解为:,3线积分法,定理1充分性的证明也可用如下方法:,由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:,从而(1)的通解为,例4求解方程,解:,故所给方程是恰当方程.,故通解为:,三、积分因子,非恰当方程如何求解?,对变量分离方程:,不是恰当方程.,是恰当方程.,对一阶线性方程:,不是恰当方程.,则,是恰当方程.,可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,1定义,例5,解:,对方程有,由于,把以上方程重新“分项组合”得,即,也即,故所给方程的通解为:,2积分因子的确定,即,尽管如此,方程,还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.,变成,即,3定理,微分方程,解:,由于,故它不是恰当方程,又由于,利用恰当方程求解法得通解为,积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验,例7求解方程,解:,方程改写为:,或:,易看出,此方程有积分因子,即,故方程的通解为:,例8求解方程,解:,故方程不是恰当方程,方法1:,即,故方程的通解为:,方法2:,方程改写为:,容易看出方程左侧有积分因子:,故方程的通解为:,方法3:,方程改写为:,这是齐次方程,即,故通解为:,变量还原得原方程的通解为:,方法4:,方程改写为:,故方程的通解为:,即方程的通解为:,2.4一阶隐方程与参数表示,一阶隐式方程,求解,采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.,主要研究以下四种类型,定义,1形如,方程的解法,(I)若求得(4)的通解形式为,将它代入(3),即得原方程(2)的通解,(II)若求得(4)的通解形式为,则得(2)的参数形式的通解为,(III)若求得(4)的通解形式为,则得(2)的参数形式的通解为,附注1:,附注2:,解:,整理化简后得方程,例1求解方程,解得(7)的通解为:,将它代入(6)得原方程的通解:,又从,解得(7)的一个解为:,从,将它代入(6)得原方程的一个解:,故原方程的解为:,通解:,及一个解:,例2.求在第一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积均等于2.,解:,因此,切线在坐标轴上的,因所求曲线在第一象限,由题意得,即,即,故得通解为:,它是直线族.,得另一特解为:,这是双曲线,显然这才是我们所要求的一条曲线.,2形如,方程的解法,若求得(10)的通解形式为,则得(9)的参数形式的通解为,例3求解方程,解:,方程变形为:,即,解以上微分方程得:,因而:,故方程的通解参数形式为,习惯通解记成:,1形如,方程的解法,即满足:,两边积分得,于是得到原方程参数形式的通解为,解的步骤:,“关键一步也是最困难一步”,例4求解方程,解,故原方程参数形式的通解为,由于,积分得,2形如,方程的解法,解的步骤:,“关键一步也是最困难一步”,例5求解微分方程,解,由于,故原方程参数形式的通解为,积分得,第三章一阶微分方程的解的存在定理,教学目的与要求1.理解并掌握存在唯一性定理及证明方法逐次逼近法，会应用存在唯一性定理；2.掌握解的延拓定理和解的存在区间；3.理解解对初始值与参数的连续性，了解解对初始值的可微性。教学重点与难点存在唯一性定理及证明方法授课方法以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅授课内容第一节解的存在唯一性定理及逐步逼近法第二节解的延拓第三节解对初值的连续性与可微性定理,问题,解不唯一,解不存在,对于给定的微分方程,它的通解一般有无限多个,而给定初始条件后,其解可能不存在；若存在，其解可能唯一,也可能不唯一,满足初始条件的微分方程解的存在唯一性定理是最基本的定理它是数值解的前提解对初值的连续依赖性,例:证明初值问题,的解存在且唯一。,满足,取,唯一性证明:设有两个解,这就证明了解的唯一性。,3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法,一存在唯一性定理,1定理1考虑初值问题,证明思路,(2)构造(3.5)近似解函数列,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),这是为了,即,下面分五个命题来证明定理,为此先给出,积分方程的解,如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.,积分方程,命题1初值问题(3.1)等价于积分方程,证明:,即,反之,故对上式两边求导,得,且,构造Picard逐步逼近函数列,问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?,注,命题2,证明:(用数学归纳法),命题3,证明:,考虑函数项级数,它的前n项部分和为,对级数(3.9)的通项进行估计,于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有,Weierstrass判别法,现设,命题4,证明:,即,命题5,证明:,由,综合命题15得到存在唯一性定理的证明.,存在唯一性定理,1定理1考虑初值问题,命题1初值问题(3.1)等价于积分方程,构造Picard逐步逼近函数列,命题2,命题3,命题4,命题5,存在唯一性定理的说明,3一阶隐方程解存在唯一性定理,定理2,考虑一阶隐方程,则方程(3.5)存在唯一解,满足初始条件,三近似计算和误差估计,求方程近似解的方法：Picard逐步逼近法,这里,注:上式可用数学归纳法证明,则,解,由于,由(3.19),解,解,与初值问题等价的积分方程为,其迭代序列分别为,取极限得,即初值问题的解为,3.2解的延拓,问题提出,对于初值问题,例如初值问题,1饱和解及饱和区间,定义1,2局部李普希茨(Lipschitz)条件,定义2,对定义2也可如下定义,注,3解的延拓定理,定理,证明,定义函数,以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去.直到无法延拓为止.,它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1)的饱和解.,最后得到一条长长的积分曲线,推论1,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.,推论2,证明,推论3,例1讨论方程,解,该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为,例2,解,注,3.3解对初值的连续性和可微性定理,解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性,内容:,G,图例分析(见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:,一解对初值的连续性,定义,设初值问题,1.解对初值的连续依赖性,初值问题,引理如果函数于某域G内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内的某一值。,证明,则,于是,因此,两边取平方根即得,2定理1(解对初值的连续依赖性定理),条件:I.在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足的解,定义区间为a,b.,结论:对,使得当,时,方程(1)过点的解在a,b上也有定义,且,方程,思路分析：,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使,且在D上满足Lips.条件.,G,(见下图),由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当时,有,对,记,则以为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,第二步:证明在a,b上有定义.,假定利用引理2及的连续性可得:,第三步:证明,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:,3定理2(解对初值的连续性定理),条件:在G内连续且关于满足局部Lips.条件;,方程,证明,令,二解对初值的可微性,1解对初值和参数的连续依赖定理,2解对初值和参数的连续性定理,3解对初值可微性定理,3.4奇解,一、包络和奇解,1包络的定义,定义1：对于给定的一个单参数曲线族：,曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在,曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.,例如,单参数曲线族：,（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆.如图,R,从图形可见,此曲线族的包络显然为:,注:并不是每个曲线族都有包络.,例如:单参数曲线族:,(其中c为参数)表示一族同心圆.,如图,从图形可见,此曲线族没有包络.,问题:对于给定的单参数曲线族:,如何判断它是否有包络?,如果有包络,如何求?,2包络的求法,曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程,注:,解:,记,则,即,因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),x,y,O,例2:,求直线族:,的包络.,这里,是参数,是常数.,解:,记,则,消去参数,得,的c-判别曲线:,经验证,是曲线族,的包络.,如图:,O,x,y,3奇解,定义2:,微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.,注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.,例如:,4奇解的求法,方程,的奇解包含在由方程组,注:,例3:,求微分方程,的奇解.,解:,从,消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线,即,由于方程的通解为:,三、克莱罗（Clairaut）方程,1定义3:,形如,的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.,为求它的解,令,得,经化简,得,2克莱罗(Clairaut)方程的求解,这是y已解出的一阶微分方程.,如果,则得到,于是,Clairaut方程的通解为:,如果,它与等式,联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:,或,其中c为参数.,消去参数p便得方程的一个解.,结果:,Clairaut方程,的通解,是一直线族,此直线族的包络,或,是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.,如果令,则,因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.,易验证,此参数曲线恰为通解的包络,例4:,求解方程,解:,这是Clairaut方程,因而它有通解:,其中,因为,所以,从,中消去参数c,得到原方程的奇解:,x,y,O,如图:,故,此方程的通解是直线族:,而奇解是通解的包络:,3.5数值解,欧拉方法,欧拉方法有1阶精度,改进欧拉方法,龙格-库塔方法,四阶龙格-库塔公式,精确解为,欧拉方法,改进欧拉方法,二阶龙格-库塔公式,四阶龙格-库塔公式,解的存在唯一性定理,1定理1考虑初值问题,命题1初值问题(3.1)等价于积分方程,构造Picard逐步逼近函数列,命题2,命题3,命题4,命题5,存在唯一性定理的说明,注,定理3.1中的两个条件是保证初值问题的解存在惟一的充分条件，而非必要条件,反例一,反例二,P88,P88,P88,P89,解的延拓定理,解对初值和参数的连续性定理,解对初值可微性定理,证明,因此,解对初值的连续性定理成立,即,即,和,于是,设,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,则,的解,不难求得,即,和,于是,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,的解,不难求得,初值问题,P102,P103,下求,解,由公式得,例,（见P102）,包络和奇解,在一阶微分方程里，奇解=包络一般的曲线族不一定有包络（同心圆族）C-判别曲线有时除去包络外，还有其他曲线（如(y-c)2-(2/3)(x-c)3=0,P105例2）P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步检验(如P108例4，该方程没有奇解),第四章高阶微分方程,教学目的与要求1.掌握线性方程解的性质及结构；熟练掌握常数变易法；2.熟练掌握常系数齐次线性方程的解法；3.掌握欧拉方程的解法；熟练掌握比较系数法；会利用拉普拉斯变换法求解线性微分方程；4.掌握高阶方程的降阶法；了解二阶线性方程的幂级数解法。教学重点与难点线性方程解的性质、结构与解法授课方法以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅授课内容第一节线性微分方程的一般理论第二节常系数线性微分方程的解法第三节高阶方程的降阶和幂级数解法,4.1线性微分方程的一般理论,4.1.1引言n阶非齐次（齐次）线性微分方程,定义1,称为n阶齐次微分方程,例,解的存在唯一性定理（P121）,定理1,4.1.2齐线性方程的解的性质和结构,定理2,叠加原理,证明:,故有,解:,问题在什么条件下，能够成为n阶齐次线性微分方程的通解？它将具有什么特性？函数线性相关与线性无关,线性相关与线性无关,例,定义2,朗斯基(Wronsky)行列式,函数的线性相关性与Wronsky行列式的关系,定理3,证明:,使得,由线性代数理论知,要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,注,定理3的逆不成立.,如函数,事实上,若有恒等式,则,推论,定理4,证明:,“反证”,（定理3的逆否命题）,现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为,由解的唯一性定理知,由定理4易得下面结论,推论1,推论2,总结,n阶齐次线性微分方程（4.2）的n个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零，或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零注意恒等式,由定理1知,方程(4.2)满足初始条件,又因为,由此得定理5,齐线性方程线性无关解的存在性,定理5,通解的结构,定理6,考虑方程组,以这组常数构造,由解的唯一性定理得:,即,推论,基本解组:,注:,基本解组不是唯一的.,例1,因而有,证明:,由于,微分上述行列式,得,这时行列式最后一行的元素是,则,即,从而,所以,故,这是著名的刘维尔公式,解:,由刘维尔公式得,不讲,由此可得,则,就是二阶方程的另一解,又因为,从而通解为,解:,由上面导出的二阶方程的通解公式可得,不讲,4.1.3非齐次线性方程与常数变易法,非齐线性微分方程,对应齐线性微分方程,齐线性微分方程解的性质,性质1,证明:,因为,所以,由微分性质两式相加得,性质2,证明:,则,故,通解的结构,定理7,证明:,这些任常数是相互独立的,(4.14)为方程(4.1)的解,由定理6的证明过程易知,由性质1知,故(4.14)为方程(4.1)的通解.,则由性质2知,由定理6知,故,即方程(4.1)的任一解都可由(4.14)表出,(4.14)包括了(4.1)的所有解.,一阶线性非齐次微分方程的解法-常数变易法,常数变易法,则,为方程(4.2)的通解.,此时(4.15)变为,将它代入(4.1),在理论上,这些限制条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令,得,和表达式,继续上面做法,直到获得第n-1个条件,和表达式,因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得,积分得,例3,解:,利用常数变易法,令,解得,因此,故通解为,例4,解:,对应的齐线性方程为:,将该齐次方程改写成:,积分得:,所以,故方程有基本解组:,将原方程改写成:,解得,因此,故原方程的通解为,4.2常系数线性方程的解法,常系数齐次线性微分方程的求解能够彻底解决只须解一个代数方程而不必通过积分计算某些特殊非齐次线性微分方程，可通过代数运算和微分运算求通解这一节的内容与质点振动理论、电磁振荡理论有紧密的关系,4.1.1复值函数与复值解,1复值函数,复函数的求导法则与实函数求导法则相同,2复指数函数,欧拉公式:,性质:,定义,3复值解,(1)定义,(2)定理8,(3)定理9,若方程,和,的解.,4.2.2常系数齐线性方程和欧拉方程,1常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法),考虑方程,称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.,我们知道,一阶常系数齐线性方程,有解,受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解,把它代入方程(4.19)得,的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.,(1)特征根是单根的情形,由于,故解组(4.22)线性无关.,则因方程的系数实常数,复根将成对共轭出现,相应方程(4.19)有两个复值解,由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对方程的一对共轭复根:,由此求得(4.19)的两个实值解为,(2)特征根是重根的情形,而对应方程(4.19)变为,于是方程(4.19)化为,方程(4.23)相应特征方程为,直接计算易得,因此,这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a).,下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须