数学物理方程课件

1,Email:yc517922,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,2,本次课主要内容,(一)、平面狄氏问题解的积分公式,平面狄氏解、格林函数与三维格林函数求法,(三)、球域、上半空间上的狄氏格林函数,(二)、平面狄氏问题格林函数,3,(一)、平面狄氏问题解的积分公式,平面泊松方程狄氏问题为：,求解方法：借助于第三、第二格林公式求解。,平面第三格林公式为：,4,由第二格林公式：,设v(x,y)是调和函数，则对于u(x,y)与v(x,y)来说，,于是得：,将*的右端与*的左端相减可得如下等式：,5,在*中，令：,当G(M,M0)满足,6,时，得平面泊松方程狄氏问题的解的积分表达式，即：,定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：,推论：平面拉氏方程狄氏解为：,7,定义：若G(M,M0)满足：,则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。,物理意义：首先，对于方程G(M,M0)=-(M-M0)来说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=-1/2lnr；,(二)、平面狄氏格林函数的定义与性质,其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内M0处有正点电荷和它在边界上产生的感应电荷在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=-1/2lnr-v(x,y)。,8,性质1：,平面狄氏格林函数的性质,其中：,性质2Green函数具有对称性，即：,9,狄氏问题解的积分表达式总结,1、三维情形：,积分表达式为：,10,2、二维情形：,积分表达式为：,11,三维空间中特殊区域上狄氏格林函数的求法,方法：镜像法,求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳S，在VS内M0处放置电量为0的正点电荷，由格林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷0与感应电荷在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷，使它与0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的电势叠加等于G(M,M0).,(1)、球形域内狄氏问题格林函数,(三)、球域、上半空间上的狄氏格林函数,12,分析：问题等价于接地球内M0处电量为0的正点电荷及其感应电荷在M处产生的电势。由镜像法：可设想在OM0的延长线上M1处，求一电量为-q的点电荷，使0与-q在S上的电势叠加为0，则它们在M处的电势叠加就为格林函数G(M,M0),13,即：,且满足：,于是得：,14,所以：,15,所以：有：,于是有：,所以，所求格林函数为：,16,其中：,例1、写出球域内狄式问题的解。,解：泊松方程狄氏问题的解为：,17,在球面上,在球域上，由于：,18,所以：,所以，球域上狄氏问题的解为：,19,问题：写出球域上拉氏狄氏问题的解的球坐标表达式。,球坐标变换：,所以：,20,所以，球域内拉氏方程狄氏问题解为：,21,在球坐标系下，由于的方向余弦分别为：,所以：,22,球形域狄氏问题解总结,据此能够写出格林函数,1、格林函数：记住镜像电荷位置与电量：,2、狄氏解表达式,23,3、拉氏狄氏解在球坐标系下的表达式,其中：,24,例2设有一半径为R的均匀球，上半球面的温度保持零度，下半球面温度保持1度。求球内的稳定温度分布以及温度在球的铅垂直径：0=0(直径的上半部分)上的温度分布。,解：定解问题为：,由球域内拉氏方程狄氏问题解的积分表达式得：,25,下面求0=0时的温度分布.,26,此时有cos=cos,所以：,27,(2)、上半空间狄氏问题的Green函数,分析：问题等价于上半空间M0处电量为0的正点电荷在M处产生的电势，且在xoy平面上为0。由镜像法：格林函数G(M,M0)等于在(x0,y0,-z0)处置一电量为-0的点电荷在M处产生的电势与M0处电量为0的正点电荷在M处产生的电势的叠加。,28,所以有：,即：,29,例3、写出上半空间狄式问题的解,解：泊松方程狄氏问题的解为：,由于：,30,所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：,而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：,31,例4、设在均匀的上半空间边界上保持定常温度，在园K:x2+y21内等于1，而在其外等于零，求在上半空间中的稳定温度分布和正半z轴上的温度