数学分析第二十二章曲面积分

第22章曲面积分,引例:设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用“分割,近似代替,求质,求和,取极限”的方法,可得,量M.,其中,T表示n小块曲面的直径的最大值.,1第一型曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,定义1,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理22.1设有光滑曲面,f(x,y,z)在上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:由定义知,而,(光滑),例1.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,例2.计算,其中是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示在平面,练习1.设是四面体,面,计算,解:,在四面体的四个面上,平面方程,投影域,同上,练习2.设,一卦限中的部分,则有().,(2000考研),C,思考.计算,其中是介于平面,之间的圆柱面,分析:若将曲面分为前后(或左右),则,解:取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,作业：P282,1(1)(2),3.,课堂练习、复习,2第二型曲面积分(对坐标的曲面积分),一、曲面的侧及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四*、两类曲面积分的联系,一、曲面的侧及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧,外侧内侧,设为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,其面元,在xoy面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面的流量.,分析:若是面积为S的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面,用“分割,近似代替,求和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,设为光滑的有向曲面,在上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对的任,2.定义.,引例中,流过有向曲面的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,向量形式,3.性质,(1)若,则,(2),三、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是上的连续函数,则,证:,取上侧,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面取下侧,则,例1.计算,其中是以原点为中心,边长为a的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,解:把分为上下两部分,思考:下述解法是否正确:,例2.计算曲面积分,其中为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,例3*.设S是球面,的外侧,计算,解:利用轮换对称性,有,练习求,取外侧.,解:,注意号,其中,利用轮换对称性,作业：P289,1(1)(3)(5).,四*、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,例6.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面z=0,及z=2之间部分的下侧.,原式=,小结：,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.,二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,3高斯公式和斯托克斯公式,一、高斯公式,二、斯托克斯公式,三、空间曲线积分与路径无关的条件,一、高斯(Gauss)公式,Green公式,Gauss公式,推广,定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,下面先证:,函数P,Q,R在,面所围成,的方向取外侧,则有,(Gauss公式),证明:设,为XY型区域,则,所以,若不是XY型区域,则可引进辅助面,将其分割成若干个XY型区域,故上式仍成立.,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加,即得所证Gauss公式：,例1.用Gauss公式计算,其中为柱面,闭域的整个边界曲面的外侧.,解:这里,利用Gauss公式,得,(用柱坐标),及平面z=0,z=3所围空间,思考:若改为内侧,结果如何?,若为圆柱外侧面呢?,另解:,例2.利用Gauss公式计算积分,其中为锥面,解:,介于z=0及,z=h之间部分的下侧.,作辅助面,取上侧,所围区域为,则,利用重心公式,注意,例3.,设为曲面,取上侧,求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,作业：P296,1(3),(4).,二、斯托克斯(Stokes)公式,定理2.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数,的,侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一,证（略）。,则有,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,例4.利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个,解:记三角形域为,取上侧,则,边界,方向如图所示.,利用对称性,例5*.为柱面,与平面y=z的交线,从z,轴正向看为顺时针,计算,解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,三*、空间曲线积分与路径无关的条件,定理3.,设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有,(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关,(3)在G内存在某一函数u,使,(4)在G内处处有,与路径无关,并求函数,解:令,积分与路径无关,因此,例6.验证曲线积分,作业*：P296,3(1).,“第22章曲面积分”的习题课,一、内容要求,1、了解第一型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法；,3、会高斯公式，了解斯托克斯公式，知道曲线积分与路线无关的条件及应用；,4、了解曲面积分在几何、物理上的简单应用。,2、了解第二型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法，知道两类曲面积分的联系；,重要公式：,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),(Gauss公式),1.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的,投影域为,则,思考:若例3中被积函数改为,计算结果如何?,2.计算,3.位于原点电量为q的点电荷产生的电场为,解:,4.设,是其外法线与z轴正向,夹成的锐角,计算,解:,5.计算,其中是球面,利用对称性可知,解:显然球心为,半径为,利用重心公式,其中为半球面,的上侧.,解1:以半球底面,原式=,记半球域为,6、计算,为辅助面,且取下侧,利用高斯公式有,解2:原式,7.计算曲面积分,其中,解:,8.设是曲面,解:取足够小的正数,作曲面,取下侧使其包