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文档简介

第二节幂级数,1.幂级数的敛散性,2.收敛半径R的求法、柯西-阿达马公式,3.幂级数和的解析性,2011年4月19日,第十四讲,1.幂级数定义,具有,形式的级数称为幂级数.,其中,一、幂级数的敛散性,2.阿贝尔(Abel)定理,证明,从而它的通项序列必有界,即有正数M,使,为收敛的等比级数,这样即有,3.(4.3)敛散性讨论,(1)对所有的复数除z=a外都发散.,此时,级数在复平面内除点a外处处发散.,通项不趋于零,故级数发散.,例如,级数,对任意固定的z,从某个n开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛.,(2)对所有的复数都收敛,由Abel定理知:,级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛.,如图:,幂级数,的收敛范围是以点a为中心的圆域.,.,收敛圆,收敛半径,(3)既存在使级数发散的复数,也存在使级数收,敛的复数.,答案:,在收敛圆周上是收敛还是发散,不能,注意,问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.,例如,级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,(4)收敛半径的定义,注:一个幂级数在收敛圆周上有三种情况,（）处处收敛;,（）处处发散;,（）既有收敛点,也有发散点.,定理4.12,二、收敛半径的求法,由上节定理,证明,由于,所以收敛半径为,证毕,即假设不成立.,据阿贝尔定理,(1),(2),或,解,(1),因为,所以收敛半径,(2),(3),定理4.13,(1)幂级数,三、幂级数和的解析性,(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;,证明,由Abel定理,幂级数,故由Weierstrass定理,注1(4.5)可沿K内曲线C逐项积分,且收敛半径与(4.5)相同.,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导,逐项积分.,(常用于求和函数),即,解,利用逐项积分,得:,
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