机械动力系统响应的数值计算

第3章机械动力系统响应的数值计算,本章主要内容：3.1欧拉法及其改进3.2线性加速度法3.3纽马克-法3.4威尔逊法3.4龙格库塔(RK)法,本章目的：通过求解振动微分方程的通解，精确计算振动系统的响应适合求解单自由度系统。多自由度系统、非周期性激励、非线性振动等：采用精确求解法往往无法实现，只能数值计算方法。本章介绍的方法，适用于单自由度、多自由度系统。对于多自由度系统，各变量均用矩阵表示，M、C、K为方阵，F、X均为列阵。,，欧拉法算出的数值收敛于精确解。,3.1欧拉法及其改进,（3.1）,欧拉法：,误差分析:Taylor级数展开,特性:,（3.2）,（3.3）,（3.4）,构建位移表达式,构建速度表达式,加速度表达式动力学方程,讨论,（1）欧拉法是取Taylor级数展开式的前两项的解法,（2）每前进一时间步引起的误差为,是,时间的加速度平均值,其中,（3）这意味着R0时，欧拉法计算值过小，反之亦然,波峰部分,，R0，即欧拉法计算值过小,与精确解相比，欧拉法数值解的振幅有逐渐增大的趋势,改进的欧拉法,（2）对速度表达式取具有更高精度的近似式,（1）对Taylor级数取更高次项,，从而增加了计算量,提高了计算精度，但增加了,梯形法：,辛普生(Simpson)公式：,速度表达式：Taylor级数取三项,加速度表达式动力学方程,三次加速度表达式,位移表达式：Taylor级数取三项,3.2线性加速度法,说明：式（3.9）、（3.10）等号右边含有t+t时刻量线性加速度法与欧拉法不同，它属于隐式解法类型迭代计算。,（3.10）,（3.11）,（3.9）,构建位移表达式：综合梯形法and辛普生(Simpson)公式,构建速度表达式：梯形法,大致相当于取到Taylor展开式的三次项。物理意义：假定从时刻tt+t时间的加速度直线变化。,联立动力学方程：,线性加速度法直接解法一,（3.12）,将（3.8）、（3.9）代入（3.11），先消去,对于多自由度系统,（3.13）,和,逆矩阵计算耗时，程序设计时，应置于循环之外,线性加速度法直接解法二,将（3.8）、（3.9）代入（3.11），先消去,和,对于多自由度系统,（3.14）,（3.16）,逆矩阵计算耗时，程序设计时，应置于循环之外,3.3纽马克-法,（3.10）,上一节“线性加速度法”中，构建的位移表达式,构建位移表达式：,构建速度表达式：梯形法（同前）,（3.17）,（3.18）,纽马克-法:,纽马克法是线性加速度法的别名。调节公式的特性参数，01/2。往往固定采用=1/6或=1/4,（3.19）,3.4威尔逊法,联立动力学方程,前面介绍的线性加速度法、纽马克-法：均在时刻(t+t)使用运动方程威尔逊法：应用于更后一点的时刻(t+t)，1,（3.20）,先求,，再用内插法求,线性加速度法中t替换成t而成,再根据线性加速度法构建式，求，即,（3.21）,，即,讨论：,威尔逊法的物理意义：加速度在时刻t到t+t内为线性变化，首先计算t，t+t区间近似解，但仅取其中前半部分(到时刻t+t为止)作为近似解，而舍去后半部分(时间t+t以后)。这种巧妙的处理方法并非出于物理的原因，而主要是数学的理由。要理解这一点首先应了解数值计算的稳定性。,振动仿真的失败原因之一：往往是步长幅度过大。程序是正确的，输入信息也对，但却得到异常的结果。仔细研究可发现：计算刚开始时结果比较正常，但在计算过程中出现异常现象，绝对值迅速增大。这种症状称为不稳定。产生这种现象的原因很多，不一定只是取值方面问题，但通常即使是良态方程，若t过大，多半还是会出现不稳定现象。,t究竟取值：通常取小于周期的1/6。对多自由度系统，则t应小于最短周期的1/6。在威尔逊法中，只要取大于1.37以上，不管取怎样的值都是稳定的无条件稳定。因此，威尔逊法是实用价值很高的出色的解法，虽然增加了参数，式子稍复杂一些，但计算工作量与线性加速度法和纽马克法差不多。,威尔逊法两种直接解法,直接解法一,直接解法二（常用）,3.4龙格库塔(RK)法（本科生略）,对于多自由度振动系统,（3-26）,采用龙格库塔(RK)法，既可以求解线性系统，也可以求解非线性系统,n维二阶方程组,降为一阶方程方程组,（3-27）,（3-28）,四阶龙格库塔格式为,（3-29）,ODE（ordinarydiffrentialequation）,扩充内容：MATLAB中常微分方程解法介绍,Matlab中求ODE数值解的函数,Ode45四/五阶龙格库塔法，属于单步法（只需要前一步的解就可以计算当前的解）。优点：不需要附加初始值，因此，计算过程中随意改变步长也不会增加任何计算量。通常是很多问题首先试用的最好方法。缺点：不能求解刚性问题。,Ode23四/五阶龙格库塔法，属于单步法。在误差允许范围内较宽而且存在轻微刚性时，比Ode45效果好。,Ode113可变阶次的Adams-Bashforth-MoultonPECE算法。属于多步法（需要前几步的解来计算当前的解）。比Ode45更适合于误差允许范围要求严格的情况。缺点：不能求解刚性问题。,Ode15s可变阶数的NDFs算法。相对BDFs算法较好。是多步算法，刚性问题ode45不行时，可以试试这种算法。,Ode23t自由内插方法的梯形算法，对刚性、又要求解没有数值衰减时，可以用此法。,Ode23s改进的二价Rosenbrock算法。容许误差较大时，ode23s比ode15好，所以在解一类待刚性问题时，ode15s不行，可以用此法试试。,另外（固定步长算法）：Ode5D-P算法，也就是固定步长的ode45Ode4四价龙库法P62例3-5式介绍的方法Ode3BogackiShampine算法Ode2改进