数学分析格林公式曲面积分的条件

3格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件,一、区域连通性的分类,二、格林公式,三、简单应用,四、曲线积分与路径无关的定义,一、区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通二维单连通,一维单连通二维不连通,一维不连通二维单连通,二、格林公式,定理1,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1.简化曲线积分,三、简单应用,2.简化二重积分,解,(注意格林公式的条件),3.计算平面面积,解,其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。,格林公式的应用,（格林公式）,从,证明了：,练习1,计算积分,解,练习2,求星形线,所界图形的面积。,解,D,L,1,1,-1,-1,重要意义：,1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系,2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系,4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用,3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式,更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。,四、曲线积分与路径无关的定义,如果对于区域G内任意指定的两点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1，L2有,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,证明(3)(4),设存在函数u(x,y)使得,则,P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,L,与路径无关,解,因此，积分与路径无关。,则P，Q在全平面上有连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1+L2.,解,因此，积分与路径无关。,则P，Q在全平面上有连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1+L2.,解,例7验证：在xoy面内，,是某个函数,u(x,y)的全微分，并求出一个这样的函数。,这里,且,在整个xoy面内恒成立。,即，,因此，在xoy面内，,是某个函数,u(x,y)的全微分。,解,例9.计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3.格林公式的应用.,格林公式;,五、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,由两部分组成,外边界：,内边界：,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,2.设,提示:,3.设C为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式