微分方程1课件

7.1微分方程的基本概念,一、问题的提出,例1一曲线通过点且在该曲线上任何一点,处的切线斜率为，求这曲线的方程。,解：设所求曲线为，根据题意可知：,此外，函数还满足下列条件：,时，,(1),(2),把(1)式积分可得,又因为时，,即,(3),把代入(3)式，得,其中是任意常数。,特点：,归结为一个含有未知函数导数方程的求解问题。,二、微分方程的概念,表示未知函数、未知函数的导数(微分)与自,定义,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数,定义,自变量之间的关系的方程，称为微分方程。,的阶数叫做微分方程的阶。,微分方程的分类,I常微分方程、偏微分方程,如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，,如果在微分方程中，自变量的个数为两个,称这种方程为常微分方程；,或两个以上的微分方程称为偏微分方程；,微分方程的分类,II一阶微分方程、高阶微分方程,一阶微分方程,高阶(阶)微分方程,例如：,常微分方程，一阶,常微分方程，二阶,常微分方程，一阶,是未知函数，是自变量,是未知函数，是自变量,是未知函数，是自变量,是未知函数，是自变量,偏微分方程，一阶,是未知函数，是自变量,偏微分方程，二阶,是未知函数，是自变量,微分方程的分类,III线性微分方程、非线性微分方程,不是线性的微分方程称为非线性方程。,方程的左端为及的一次有理,整式，则此方程称为阶线性微分方程；,例如：,线性微分方程,非线性微分方程,非线性微分方程,微分方程的分类,IV微分方程、微分方程组,微分方程,微分方程组,三、微分方程的解,如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则,特解,通解,把含有个独立的任意常数的解,称为阶微分方程的通解。,把满足初始条件的通解称为微分方程的特解。,称此函数为该微分方程的解。,注意：,注意,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数，且任,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解。,意常数的个数与微分方程的阶数相同。,初始条件不同，对应的特解也不同。,解：,例2验证函数是微分方程的通解。并求满足初始条件的特解。,将和的表达式代入原方程，,故是原方程的解。,故所求特解为,四、求微分方程解的步骤,微分方程求解的一般步骤：初等积分法。,求解微分方程,求积分,通解,特解,7.2可分离变量的微分方程,一阶微分方程,主要内容：,一阶微分方程的初等解法,一阶微分方程,变量分离方程,齐次微分方程,一阶线性微分方程,全微分方程,(一)变量分离方程(SeparableEquation),形如,的方程，称为变量分离方程，这里分别,是的连续函数。,或,例如：,1,2,对上式等式两边积分，可得,3,设函数和依次为和的,原函数，则为微分方程的,若，则把微分方,程写成如下形式：,解。,解：,例1求解方程,因而，通解为,将变量分离，得到,两边积分，即得,这里是任意正常数。,或,并求满足初始条件：当时，的特解。,解：,例3求解方程,将变量分离，得到,两边积分，即得,因而，通解为,这里是任意常数。,此外，方程还有解,因为当时，,所以解得,因而，所求特解为,例4.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积