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第二章解析函数,第一节解析函数的概念与C-R条件,第三节初等多值函数,第五讲,第二节初等解析函数,第一节、解析函数的概念与柯西黎曼方程,第五讲,1、复变函数的导数与微分,2、解析函数及其简单性质,3、柯西-黎曼方程,一、复变函数的导数与微分,1.导数,在定义中应注意:,2.微分,注:,3.可导可微.,3.导数的分析定义：,例1,解,例2,解,特别：,二.解析函数的概念与求导法则1.解析定义,3月10日,1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；2、函数在一个点可导，显然它在这个点连续；3、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是整体概念；4、根据定义可知函数在区域内解析与在区域内可导是等价的；函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析，函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多；,注解：,5、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；6、对于不是在整个区域内可导的函数，我们可以求出它的解析性区域。,反之未必成立,2.奇点的定义,De2.3,通常泛称的解析函数允许有奇点，最重要的是它在复平面上总有解析点，所以不包括处处不解析的函数，如,3.四则运算法则,4.复合函数求导法则,5.反函数求导法则,利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。,注解：,例3,解,在全平面解析,三、Cauchy-Riemann方程：1.可微的必要条件,由于z按任意方式趋于0时，(2.4)均成立，于是z+z沿平行于x轴方向趋于z时，即y0，x0时,z+iy,z,z+x,证明：,这时(2.4)变成,（2）同理z+z沿平行于y轴方向趋于z时，即x0，y0时(2.4)变成:,注:定理条件是必要而非充分的.,证,例4,2.可微的充要条件,证,(1)必要性.,(2)充分性.,由于,证毕,3.可微的充分条件,4.解析的充要条件,5.解析的充分条件,注:柯西-黎曼方程是复变函数在一点可微的主要条件.,注解:,1.和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；2.柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；3.解析函数的导数有更简洁的形式：,附：柯西-黎曼条件与导数公式四方形记忆法：,对角方向记忆柯西-黎曼条件，四周方向记忆求导公式（箭头指向虚部）。,例5注解2反例：u(x,y)、v(x,y)如下：,事实上，,例6,解,例7讨论下列函数的可导性和解析性：,例8,解,例9,证明,(*),参照以上例题可进一步证明:,例10*,证,根据隐函数求导法则,根据柯西黎曼方程得,
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