数学分析刘玉琏17-1

1,西南财经大学省级精品课程经济管理数学分析课题组版权所有请勿外传,2,第十七章多元函数微分学,1可微性,2复合函数微分法,3方向导数与梯度,4泰勒公式与极值问题,经济管理数学分析,3,1可微性,第十七章多元函数微分学,4,定义1(P107)设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，对于U(P0)中的点P(x,y)=(x0+x,y0+y)，若函数f(x,y)在点P0处的全增量z可表为：,z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)=Ax+By+o()(1),一可微性与全微分,其中A,B仅与点P0有关的常数，o()是的高,阶无穷小，则称函数f在点P0可微.并称(1)式中关于x,y的线性函数Ax+By为函数f在点P0的全微分，记为dz，即,dz|P0=df(x0,y0)=Ax+By.(2),第十七章多元函数微分学1可微性,5,注(i)由(1)、(2)式可见dz是z的线性主部，特别当|x|、|y|充分小时，全微分dz可作为全增量z的近似值，即,(ii)有时(1)可以写成如下形式,(iii)(补充)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微则必在点(x0,y0)处连续.,因为,第十七章多元函数微分学1可微性,6,例1(P107)考察函数f(x,y)=xy在点(x0,y0)处的可微性.,解,在点(x0,y0)处函数f的全增量为,由于,因此,从而函数f在点(x0,y0)处可微，且,第十七章多元函数微分学1可微性,7,二偏导数,第十七章多元函数微分学1可微性,8,第十七章多元函数微分学1可微性,9,由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题.,只要把x之外的其他自变量暂时看成常量，对,x求导数即可;,只要把y之外的其他自变量暂时看成常量，对,y求导数即可.,其它情况类似.,第十七章多元函数微分学1可微性,10,解,把y看成常量,把x看成常量,解,把y看成常量,把x看成常量,第十七章多元函数微分学1可微性,11,证,原结论成立,第十七章多元函数微分学1可微性,12,偏导数的概念可以推广到二元以上函数.,第十七章多元函数微分学1可微性,13,解,y、z看成常量,x、y看成常量,x、z看成常量,第十七章多元函数微分学1可微性,14,第十七章多元函数微分学1可微性,15,解,该例说明偏导数存在与连续的关系(P112)：,多元函数中在某点偏导数存在,连续.,第十七章多元函数微分学1可微性,16,三可微性条件,证(补充),总成立，,特别地，当y=0时，上式仍成立，,第十七章多元函数微分学1可微性,17,同理可得,第十七章多元函数微分学1可微性,若函数f(x,y)在区域D上每一点处处可微分，则称函数f(x,y)在区域D上可微分，且f(x,y)在D上的全微分为,18,在点(0,0)处有,证,而,函数在点(0,0)处不可微.,第十七章多元函数微分学1可微性,说明：,多元函数中在某点偏导数存在,可微.,19,证,第十七章多元函数微分学1可微性,所以函数,在点,可微.,20,解,点(2,1)处的全微分,它们均连续.因此，函数可微分.,第十七章多元函数微分学1可微性,21,全微分的定义可推广到二元以上的函数，,解,所求全微分,第十七章多元函数微分学1可微性,22,多元函数连续性、可偏导性和可微性的关系,第十七章多元函数微分学1可微性,定理17.1,全微分注(iii),定理17.2,P112上例,P112中例,P110例5,23,第十七章多元函数微分学1可微性,24,四可微性几何意义及应用,全微分的几何意义(P115图174),第十七章多元函数微分学1可微性,25,第十七章多元函数微分学1可微性,26,解因为,*例7(P115),*例8(P116),第十七章多元函数微分学1可微性,27,习题：P1171习题1-12题,第十七章多元