常微分方程初值问题数值解法 1

第六章常微分方程初值问题的数值解法,6.1欧拉方法6.2计算公式的误差分析6.3龙格库塔方法6.4向一阶方程组与高阶方程的推广,一、欧拉法：,只要f(x,y)满足一定条件，则此问题的解是存在的，且是唯一的。,在求解的过程中，我们已掌握了一些典型方程的解法。但是仍有不少方程是无法求出其解析解的，因此我们要讨论其数值解。即在微分方程解存在的前提下，构造一种算法，计算出微分方程的解y(x)在存在区间上点上的值的近似值，即不求其准确解y=y(x)的解析表达式，而求出一个函数表格,1.问题的提出：,2.数值求解方法：,6.1欧拉方法,6.1.1欧拉公式与改进欧拉公式,1)算法：,误差,误差是由两部分构成，每一步计算所产生的误差与误差的积累。我们仅讨论前一种误差，即在计算时认为前一步是精确的，即，我们估计,利用泰劳展开式：,例6.1以h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题,6.1.2梯形公式与改进欧拉公式,欧拉公式与后退欧拉公式也可采用积分近似的方法推出,欧拉公式是显示格式，而梯形公式也是隐式公式，在求是要解一个函数方程（不方便）。因此我们利用将梯形公式与欧拉公式联合使用，先用欧拉公式求得一个初步近似值，称为预报值，然后代入梯形公式右边，得到校正值。,用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算，即采用下式,这称为改进欧拉公式,例6.2仍取步长h=0.1，采用改进欧拉法重新计算例6.1的常微分方程初值问题。,这时改进欧拉公式为,计算结果见表6-2（书125页）,解,6.2计算公式的误差分析,定义6.1若yi+1是yi=y(xi)从计算得到的近似解，则称y(xi+1)yi+1为所用公式的局部截断误差，简称为截断误差。,截断误差的估计(基本假设：yi=y(xi),设y(x)C3x0,b,则,（3）对梯形公式，注意到其公式可改写为,故由式（6-9）和（6-9）得,因此，梯形公式的局部截断误差为O(h3),（4）对改进欧拉公式，有,而由，故有,与式（6-7）比较得y(xi+1)yi+1=O(h3)因此，改进欧拉公式的局部截断误差为O(h3),定义6.2若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该方法为p阶精度，或称该方法为p阶方法。,由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯形法与改进欧拉方法为二阶精度。,6.3龙格-库塔方法,由中值定理，有,因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜率f(,y()进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其基本思想是基于泰勒展式的待定系数法。,6.3.1二阶R-K公式,问题：建立二阶精度的计算格式形为,在y(xi)=yi的假设下，有,故,解,而,根据格式为二阶精度，即y(xi+1)yi+1=O(h3)比较两式系数得,系数满足(6-13)的形为(6-12)计算格式统称为二阶R-K公式。当令1=1/2时，解得2=1/2，a=b=1，即为改进欧拉公式。若令1=0，解得2=1，a=b=1/2，则得另一计算公式,6.3.2四阶R-K公式,1965年，Butcher研究发现显式R-K公式的精度与需要组合的斜率值的个数具有如下关系,可见，超过四阶精度的R-K公式效率并不高，实际计算通常选用如下四阶格式,这时经典R-K公式为,例6.3取步长h=0.2，采用经典R-K法计算例6.1的常微分方程初值问题。,取h=0.2计算得到表6-4(书133页）。与例6.1和例6.2比较可见，用经典R-K法计算得到的解比用欧拉法和改进欧拉法所得到的解精确得多。,解,6.3.3步长的自动选择,一、如何检验计算结果的精度。,用h与h/2两次计算结果的差来检验截断误差。,记，则对给定的精度要求，可根据按如下方式调整步长：,二、如何依据控制步长,（1）若，则把步长