数形结合课件

如何在几何教学中体现数形结合思想,框架图,一、小学数学中数形结合的思想小学数学中的数与形小学数学中的数形结合的作用三、中学生的特点及数形结合思想教学的四个阶段第一阶段渗透孕育起期第二阶段体会领悟期第三阶段形成尝试期第四阶段应用发展期,二、中学数学中的数与形有理数内容体现的数形结合思想应用题内容隐含的数形结合思想不等式内容蕴藏着数形结合思想函数及其图像内容凸显了数形结合思想初步统计内容融入了数形结合思想平面几何内容充满了数形结合思想,一、小学数学中数形结合的思想,小学数学教学研究的对象，概括起来就是数和形两个方面。“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容。“数”与“形”的相互转化、结合既是数学的重要思想，更是解决问题的重要方法。数形结合的思想方法体现了代数和几何中最精彩的方面：几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性、解题过程机械化、可操作性强，便于把握，因此数形结合的思想方法是学好小学数学的重要思想方法之一，承载了为中学数学打好基础的任务。,小学数学中的数与形,与之相关的数学内容主要集中在：用线段表示应用题中的数量关系，关于路程、行程的应用题；对“数”的涵义绝大多数人回答为：数量关系。有一部分人列举数量关系的外延来代替，例如数字和代数的字母、表达式及其之间的运算。也有一小部分的人望文生义认为“数”指代数、数据、函数等。对“形”的涵义绝大多数人回答为：空间形式。有一部分人列举空间形式的外延来代替，例如图形、图象、实物等。,小学数学中的数形结合的作用,大多数人认为“结合”就是：相互转化（换）、相互反映、相互表达、建立对应关系等等。对于“数形结合”的作用。“数无形时少直觉，形少数时难入微”。大部分人认为“数形结合”的主要作用在于将“数”转化为“形”，化抽象为形象，使学习者建立直观的认识，或使解题者便于发现问题的隐含条件，即以“形”助“数”。但没有人将借“数”解“形”及其同义词名单独地作为答案。,二、中学数学中的数与形,数形结合的思想方法是中学数学中的一种重要的思想方法数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中的两大基础概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或位置关系的讨论，或把图形的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数形结合的思想方法数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉,1.有理数内容体现的数形结合思想,数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应位置关系进行的（实数的大小比较也是如此），相反数、对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。,2.应用题内容隐含的数形结合思想,列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就是要根据题意画出相应的示意图，这里隐含着数形结合的思想方法一小船由A港到B港顺流需6小时，由B港到A港逆流需8小时一天，小船从早餐6点由A港出发顺流到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是在何时掉入水中的？,分析（1）答：小船按水流速度由A港漂流到B港需用48小时（2）如图2，设救生圈是在上午x点钟落入水中C点的当小船由C点顺流行驶到B港时，救生圈由C点顺流漂到D点;当小船由B港用一小时逆流行驶到E找到救生圈时，救生圈同时用一小时由D点顺流漂到了E点于是,3.不等式内容蕴藏着数形结合思想,“九义”教材代数第一册（下）第六章内容是“一元一次不等式和一元一次等式组”，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表达出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解这里蕴藏着数形结合的思想方法在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示又前进了一步确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效相关内容的中考题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用,4.函数及其图像内容凸显了数形结合思想,由于在直角坐标系中，有序实数对（x,y）点P的一一对应，使函数与其图像的数形结合成为必然一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提高了很大的帮助因此，函数及其图像内容凸显了数形结合的思想方法教学时老师若注意了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果,5.初步统计内容融入了数形结合思想,在初步统计中，一组数据反映在坐标平面上就是一群离散点研究一组数据的集中趋势（平均数、众数、中位数），相当于考察这群离散点的分布状态；而研究一组数据的波动大小（方差、标准差），就相当于考察坐标平面上这群离散点的分布规律这里融入了数形结合的思想方法，教学中老师若注意到了这一数形结合的思想方法，可加深学生对平均数、众数、中位数、方差、标准差概念的理解,例5如图7是某单位职工的年龄（取正整数）的频率分布直方图，根据图形提供的信息，回答下列问题（直接写出答案）（1）该单位职工共有多少人？（2）不大于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的百分比是多少？（3）如果42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有几人？,答案：（1）该单位职工有50人（2）不小于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的60（3）年龄在42岁以上的职工15人,6.平面几何内容充满了数形结合思想,平面几何研究的是图形的性质及其位置关系，然而平面几何内容中又充满了数形结合的思想和方法例如，三角形的内角和定理、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比列定理、解直角三角形、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、切线长定理、相交弦定理、正多边形的有关计算、三角形的面积、平行四边形的面积、梯形的面积、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积等内容中，无一不与数量关系紧密相联教学时老师若注重了相应内容中体现出来的数形结合思想，对于学生学好平面几何无疑是大有脾益的,三、中学生的特点及数形结合思想教学的四个阶段第一阶段渗透孕育起期,由于学生刚升入中学，他们对数形结合的认识主要还停留在用线段图解应用题这种简单浅显的层次，因此这一时期的要求不能太高，因以“数轴”、“相反数”、“绝对值”、“有理数是计算”等内容为载体，以数轴为结合点在数学中提出数与形的问题，使学生感受到“数”与“形”间存在着相互联系、相互转化的辩证关系并且通过问题的解决，察觉到数轴的作用如：设点A在数轴上的数为-3，点B在数轴上，且点B到点A的距离是5,则点B所表示的数是多少？这个对刚升入中学的学生来说比较抽象，若借助数轴将抽象的数的关系转化为直观的位置关系，则问题就容易解决了,第二阶段体会领悟期,这一时期，代数以“不等式”的知识为载体继续向学生介绍数形结合思想，使学生明白如果不借助“数轴”这个工具，就不容易找出不等式组的解集由此而领悟到，数形结合对解决数学问题不是可有可无的，而是一种非常重要的办法另一方面，学生开始学习几何知识，几何入门比较难，但借助以学过的代数知识，将直观图形数量化转化为代数运算加以解决，可降低机几何学习的难度具体的做法有：不考虑几何问题中的位置关系，直接采用代数和的方法解题,第三阶段形成尝试期,以平面几何知识为载体由于知识深化“数”与“形”之间的因果关系不那么明显，因此学生在解决问题时很难将“数”与“形”有效的结合进行思考这个阶段的教学可分为两个层次进行：理解迁移深刻理解数学知识中蕴含的数形结合思想，找出概念、定理、性质中“数”与“形”的特征如勾股定理，代数的特征是一个数的平方等于两个数的平方和.几何的特征是这三个数是某直角三角形的三边解决相关问题时可以引导学生与已有的知识经验“直角三角形求线段长解方程”产生关联，找出解题途径提炼方法作为第二层次的教学,应该引导学生从解决问题的技巧中提炼出蕴含数、形结合思想且又易于操作的办法进而理解这