第二章常微分方程

化工问题的建模与数学分析方法ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering,第二章常微分方程1、二阶线性常系数方程的解法2、二阶变系数方程的级数解法3、一阶微分方程组的矩阵解法4、稳定性问题分析,第二章常微分方程基本概念,常微分方程方程的解与阶解析解，数值解线性与非线性（与代数方程类比）叠加原理齐次与非齐次（与代数方程类比）常系数与变系数,第二章常微分方程基本概念,求解历史第一阶段初等解法，1675-1775初等方法求解，此后百年解法无进展1841Liouville证明许多方程无初等解法第二阶段级数解法幂级数解法，1850-1890Laplace变换法，1900-1920第三阶段定性理论与数值解法稳定性理论1900-1950数值解法1950-,第二章常微分方程二阶常系数方程,一、二阶常系数方程的解法1.齐次方程通解（欧拉，1743；达朗贝尔，1766）设得,第二章常微分方程二阶常系数方程,相异实根共轭复根重根2.非其次方程特解：比较系数法,第二章常微分方程二阶变系数方程,二、二阶变系数方程的解法1、级数解法（G.Frobenius,1849-1917)广义幂级数代入方程，比较系数法确定参数c和an,第二章常微分方程二阶变系数方程,设代入，得,第二章常微分方程二阶变系数方程,首项xc的系数为0指标方程第n项xn+c的系数为0递推公式,第二章常微分方程二阶变系数方程,由指标方程的第一根c=c1可以得到方程的第一个解当c1c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。当c1、c2为重根时，第二解为当c1c2为整数时，第二解为,第二章常微分方程二阶变系数方程,推导：设只满足递推公式(n1)而不一定满足指标方程，将其代入方程后有重根时y1=y(x,c1)，满足方程；c1c2=整数时y1=y(x,c1)，满足方程,第二章常微分方程二阶变系数方程,2.Bessel方程及其级数解(F.W.Bessel,1784-1846)称为k阶Bessel方程。采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程,第二章常微分方程二阶变系数方程,递推公式第一解,第二章常微分方程二阶变系数方程,第二解分为以下三种情况i)k为分数ii)k=0,第二章常微分方程二阶变系数方程,第二章常微分方程二阶变系数方程,iii)k为整数,第二章常微分方程二阶变系数方程,3、Legendre方程与Legendre函数(A.M.Legendre,1752-1833)设代入，得,第二章常微分方程二阶变系数方程,递推公式根据幂级数收敛判别法知，在x=1处级数发散，但物理上函数又是有界的，因此只有参数l取整数才能保证级数在x=1处收敛，此时级数成为Legendre多项式,第二章常微分方程二阶变系数方程,性质Bessel函数、Legendre函数均为正交函数族，满足正交条件，可以作为函数基将任意分片光滑的函数展开成Fourier级数，分别称为FourierBessel级数和FourierLegendre级数。,第二章常微分方程一阶常系数方程组,三、一阶常系数方程组的矩阵解法齐次方程,第二章常微分方程一阶常系数方程组,设代入方程得从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵,第二章常微分方程一阶常系数方程组,通解或y=Yc常数c由初始条件确定,第二章常微分方程线性稳定性分析,四、线性稳定性分析方法稳定性（stability)系统的一种动态特性，指偏离定常状态后能否自动返回该定常态的性质,系统抗干扰能力的度量。定常态（steadystate)稳态（与瞬态对应），系统不随时间变化的某个状态。稳定态（stablestate)稳定的定常态。稳定差之毫厘，失之毫厘不稳定差之毫厘，失之千里,第二章常微分方程线性稳定性分析,流动的稳定性雷诺实验、圆柱型水流反应器的热稳定性飞温与熄火平行平板间的热对流稳定性Benard现象压杆、板壳的屈曲稳定性稳定性分析方法线性稳定性分析：小扰动的线性化动态分析，获得失稳判据。非线性稳定性理论：分叉、混沌，非线性科学问题。,第二章常微分方程线性稳定性分析,1、线性稳定性分析方法目的获取失稳判据；方法稳态附近对小扰动线性展开，由特征根确定非线性动力系统定常态f(ys)=0设x(t)为小扰动，令y(t)=ys+x(t),第二章常微分方程线性稳定性分析,代入原方程，泰勒展开，保留线性项通解稳定性判别若A的特征根都是负的，则零解是渐近稳定的；若至少有一个根的是正的，则系统是不稳定的；若都为零，则不定。,第二章常微分方程线性稳定性分析,因此，线性稳定性分析的问题转化为线性化方程的矩阵A的特征根的正负号判别问题。如何根据A得到稳定性判据？Routh-Hurwitz系数判别法。特征根方程Routh方法：如果系数aj不同号，或某些系数为零，则方程必然有大于等于零的根，系统不稳定。,第二章常微分方程线性稳定性分析,RouthHurwitz判定行列式,第二章常微分方程线性稳定性分析,Routh指出，若采用如下的判定函数RiR0=0,R1=1,R2=2/1,Rn=n/n-1=an则当所有的判定函数为正值时，系统是稳定的，否则是不稳定的。Hurwitz则证明了以下定理：实系数的n次代数方程的一切根的实部都是负数的充分必要条件是所有判定行列式均大于0。,第二章常微分方程线性稳定性分析,2、稳态点的分类,第二章常微分方程线性稳定性分析,1）tr240，0：120，稳态点为结点2）tr240，0：120，稳态点为鞍点,第二章常微分方程线性稳定性分析,3）tr240，1，2都是纯虚数稳态点为中心点,第二章常微分方程线性稳定性分析,3、化学反应器的热稳定性取x=cAcAs,y=TTs,第二章常微分方程线性稳定性分析,将反应项与移热项线性展开特征根方程,第二章常微分方程线性稳定性分析,渐近稳定性条件