第六章常微分方程初值问题的数值解法n课件

常微分方程初值问题的数值解法,第6章,引言,在实际问题中，常需要求解微分方程(如发电机运动方程)。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。,在高等数学中我们见过以下常微分方程：,-(1),-(2),一阶常微分方程,-(3),(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题,-(4),另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:,本课程主要研究问题一阶常微分方程(1)的数值解法,我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件,定理只要f(x,y)连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在a,b上的y1(x)和y2(x)都成立，则初值问题（1）存在唯一解。,（通常采用等距节点）,常微分方程数值解公式的推导,求初值问题数值解的方法是步进法，即从已知的初值y0出发，通过一定的计算求y1，然后由y1或y0和y1求出y2，依次计算到yn，即在计算出yk后计算yk+1，这时有,单步法：计算yk+1时，只利用yk,多步法：计算yk+1时，用到yk,yk-1,yk-2,常微分方程数值解公式的主要推导方法,1、泰勒展开的求解思路：,将按泰勒级数展开,2、化导数为差商的求解方法思路：,若在点处的导数用差商来近似代替，如向前差商,则微分方程初值问题化为,将近似号改为等号，精确解改为近似解，得,3、数值积分的求解思路：,如果将微分方程在各小区间上对其两边进行积分，即,如用矩形数值积分公式可得：,以上三种方法推导出同一个数值求解公式:,这个数值公式称为欧拉(Euler)公式。,6.1欧拉方法,一、欧拉格式：,欧拉公式几何意义,用一条通过初始点的折线近似表示解曲线,亦称为欧拉折线法，或称为矩形法。,1、显式欧拉公式,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有1阶精度。,局部截断误差和阶数,2、隐式欧拉格式,由于未知数yk+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,二、两步欧拉格式（中点公式）,假设,则可以导出即两步欧拉格式具有2阶精度。,该方法需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法。,三、梯形公式,显、隐式两种算法的平均,注：有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，不易求解。,对欧拉法进行改进，用梯形公式计算右侧积分，即,计算公式,梯形格式算法计算步骤：,先用(1)式计算出处。,再用(2)式反复进行迭代，得到,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,不同方法比较,四、改进欧拉法（预报-校正法）,表示为平均化形式,此法称为预报-校正法，是显式算法。,注：可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式（只迭代一次），比隐式梯形公式的迭代求解过程简单。它的稳定性高于显式欧拉法。,脚标用i,举例：,6.2龙格-库塔法,一、泰勒级数法,龙格库塔(Runge-Kutta)法(简称为R-K方法)是一类高精度的一步法，这类方法与泰勒级数法有着密切的关系。,设有初值问题,由泰勒展开式,从理论上讲，只要解y(x)有任意阶导数，泰勒展开方法就可以构造任意阶求yk+1公式。但由于计算这些导数是非常复杂的，所以这种方法实际上不能用来解初值问题。,设有初值问题,二、龙格库塔法的基本思路,等价于：,（积分中值定理）,R-K方法基本思想：用在几个不同点的加权平均值（线性组合）来代替准确的的值，构造近似公式。再把近似公式与解的泰勒展开式进行比较，使前面的若干项相同，从而使近似公式达到一定的阶数。这样龙格库塔法保留了泰勒级数展开法的高阶局部截断误差，又避免了高阶导数的计算。我们先分析欧拉法与预估校正法。,推广,这种单步法称为Runge-Kutta方法,简记为R-K公式.,Ki为某些点上的斜率，或f(x,y)在某些点上的值。,三、二阶龙格-库塔法,目标：建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,脚标用i,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入yi+1表达式，得到,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。其解不唯一。,最常用为四阶经典龙格-库塔法,四阶经典龙格-库塔法公式,四、四阶龙格-库塔法,用四个f函数值的线性组合得到四阶龙格-库塔法。,经典龙格-库塔法公式具有四阶精度，因此可取大步长。,3收敛性与稳定性/*ConvergencyandStability*/,收敛性/*Convergency*/,例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的x=xi=ih，有,稳定性/*Stability*/,例：考察初值问题在区间0,0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.00004.00008.00001.60001013.2000101,1.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*testequation*/,常数，可以是复数,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,例：隐式龙格-库塔法,而显式14阶方法的绝对稳定区域为,其中