大学数学高数微积分第三章线性方程组第一节课堂讲义

第一节消元法,主要内容,线性方程组的概念,消元法,消元法的总结,线性方程组与矩阵,消元法的几何解释,现在来讨论一般线性方程组.,所谓一般线性,方程组是指形式为,一、线性方程组的概念,的方程组，其中x1,x2,xn代表n个未知量，s,是方程的个数，aij(i=1,2,s,j=1,2,n)称,为方程组的系数，Bi(i=1,2,s)称为常数项.,方程中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.,系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二,个指标j表示它是xj系数.,所谓方程组,k1,k2,kn组成的有序数组(k1,k2,kn)，当,x1,x2,xn分别用k1,k2,kn代入后，(1)中每,个等式都变成恒等式.,方程组(1)的解的全体称为,的一个解就是指由n个数,它的解集合.,解方程组实际上就是找出它全部的,解，或者说，求出它的解集合.,如果两个方程组有,相同的解集合，它们就称为同解的.,显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数,和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.,确切地说，线性方程组,来表示.,下面就来介绍如何用一般消元法解一般线,性方程组.,可以用下面的矩阵,二、消元法,1引例例用消元法解线性方程组,解用消元法求解，其步骤如下：,STEP2方程(1)乘以-2加到方程(2);,STEP1交换方程(1)与(2),得,方程(1)乘以1加到方程(3),得,STEP3交换方程(4)与方程(5),得,STEP4方程(5)乘以-4加到方程(4),得,STEP5方程(6)加到方程(5),得,STEP6方程(7)加到方程(1),方程(6)乘,例1中所用的消元法的过程,实际上是对方,以-1得,程组施行如下的运算或变换：,(1)一个方程的两端乘以一个不等于零的数;(2)一个方程的两端乘以同一个数后加到另,一个方程上去.,定义1变换(1)，(2)，(3)称为线性方程组,的初等变换.,(3)交换两个方程在方程组中的位置;,2消元法的证明,消元的过程就是反复施行初等变换的过程.,下,面证明，初等变换总是把方程组变成同解方程组.,证明,只证变换(2),对于方程组,进行第二种初等变换.,为简便起见，不妨把第二个,方程的k倍加到第一个方程得到新方程组,现在设(c1,c2,cn)是(1)的任一解.,因(1),与(2)的后s-1个方程是一样的，所以(c1,c2,cn),满足(2)的后s-1个方程.,又(c1,c2,cn)满足,a11c1+a12c2+a1ncn=b1,a21c1+a22c2+a2ncn=b2.,把第二式的两边乘以k，再与第一式相加，即为,(a11+ka21)c1+(a12+ka22)c2+(a1n+ka2n)cn=b1+kb2,故(c1,c2,cn)又满足(2)的第一个方程，因而是,(2)的解.,类似地可证(2)的任一解也是(1)的解.,这就证明了(1)与(2)是同解的.,证毕,(1)的前两个方程,3用消元法解一般线性方程组,对于方程组(1)，首先检查x1的系数.,如果x1,的系数全为零，那么方程组(1)对x1没有任何限制,x1就可以取任意值，而方程组(1)可以看作x2,xn,的方程组来解.,如果x1的系数不全为零，那么利用,初等变换(3)，可以设a110.,利用初等变换(2)，,(i=2,s).,于是方程组(1)就变成,其中,这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组,的问题.,显然，(4)的一个解，代入(3)的第一个方,程就定出x1的值，这就得出(3)的一个解；,而(3),的解显然都是(4)的解.,这就是说，方程组(3)有解,的充分必要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是,同解的，因而，方程组(1)有解的充分必要条件为,方程组(4)有解.,对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一,步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.,为了,讨论起来方便，不妨设所得的方程组为,其中cii0,i=1,2,r.,方程组,“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现,这时去掉它们也不影响(5)的解.,而且(1)与(5)是,同解的.,下面讨论方程组(5)的解的情况.,如果(5)中有方程0=dr+1，而dr+10.,这时,不管x1,xn取什么值都不能使它成为等式.,故,(5)无解，因而(1)无解.,当dr+1=0或(5)中根本没有“0=0”的方程,时，分两种情况：,中的,情形一r=n,这时阶梯形方程组为,其中cii0,i=1,2,n.,由最后一个方程开始，,xn,xn-1,x1的值就可以逐个地唯一地决定了.,此,时方程组有唯一的解.,例2用消元法把线性方程组化成阶梯形方,程，并由此判断方程组是否有解，若有解，求出其,解.,解,经过一系列初等变换后，它变成了如下,x3=-6代入第二个方程解得x2=-1;,x2=-1代入第一个方程解得x1=9.,由于在阶梯形方程组中,有效方程的个数r与,方程的未知量的个数n相等，所以有唯一解.,一解为(9,-1,-6).,把,再把x3=-6，,故方程组的唯,情形二rn,这时阶梯形方程组为,其中cii0,i=1,2,r.,把它变形，得,由此可见，任给xr+1,xn一组值，就唯一,地确定x1,x2,xr的值，也就是得到方程组的一,个解.,一般地，由上式我们可以把x1,x2,xr通,过xr+1,xn表示出来，这样一组表达式称为方,程(1)的一般解，而xr+1,xn称为一组自由未,知量.,三、消元法的总结,用消元法解线性方程组的整个过程，总起来,说就是：,首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方,程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的,话)去掉.,如果剩下的方程当中最后一个等式是零,等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.,在,有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r,等于未知量的个数n，那么方程组有唯一的解;,果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数,n，那么方程组就有无穷多个解.,如,把以上结果应用到齐次线性方程组，就有,定理1在齐次线性方程组,中，如果sn，那么它必有非零解.,证明,显然，方程组在化成阶梯形方程组之,后，方程的个数不会超过原方程组中方程的个数，,即,rsn.,由rn得知，它的解不是唯一的，因而必有非零,解.,证毕,四、线性方程组与矩阵,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数,项，那么这个线性方程组就其本上确定了.,确切地,说，线性方程组,可以用下面的矩阵,来表示,即对于给定的线性方程组可唯一地确定矩,阵,组.,这也就是说，线性方程组与矩阵一一对应.,于是我们引进下述概念,定义2设有线性方程组,令,则称A为方程组的系数矩阵；,称为方程组的,增广矩阵.,显然，用初等变换化方程组成阶梯形方程组就,相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵.,因,此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进,行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解,还是无解，在有解的情形，再回到阶梯形方程组去,求解.,例3用矩阵的初等行变换法判断方程组是否,有解.,单击这里开始,五、消元法的几何解释,在本节的最后，我们来研究消元法的几何意义.,以3元线性方程组为例.,设有3元线性方程组,并设其有唯一解x=a,y=b,z=c.,我们知道，3元线性方程在几何上表示一个平,面，因此，上述线性方程组的几何意义是：这三个,个平面交于一点P(a,b,c).,从另外一个角度来说，,也就是，过空间点P(a,b,c)可以作无穷多个平面，,从这无穷多个平面中任选三个就可以确定空间点P.,而在这些平面中以平面x=a,y=b,z=c的方程最,简单，它们的位置也最特殊，因为它们平行于三个,坐标面.,由此可看出消元法的几何意义是：,从给定平,面出发，逐步用过点P(a,b,c)的位置较特殊的平,面的方程取代方程组中的方程，直到方程组中的方,程是过点P(a,b,c)所作的所有平面中方程最简单,的三个为止.,例如,显然,该方程组有唯一解,且为x=y=z=1.,P(1,1,1).,方程组的几何意义是这三个平面交于一点,方程组中的每一个方程表示一个空间平面,故该,上述,设有三元线性方程组,如图3-1.,x+2y-z=2,2x-y+z=2,x+y+z=3,P(1,1,1),图3-1,L,方程组,的解,所表示,的点如图3-2,所示.,消元的过程即为,也即,导出,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮