北京理工大学工科数学分析7-7常系数二阶非齐次微分方程的求解

1.二阶常系数线性齐次微分方程的求解,Dec.28Wed.Review,特征方程,特征方程有两个不相等的实根,方程有通解,特征方程有两个相等的实根,方程有通解,特征方程有一对共轭复根,方程有通解,2.n阶常系数线性齐次微分方程的求解,特征方程为,特征方程有单的实根，则原方程有特解,特征方程有k重实根，则原方程有解：,特征方程有单复根，则,特征方程有m重复根，则,3.常系数非齐次线性微分方程特解,1).二阶常系数非齐次线性方程为：,特殊情形,特例,8常系数二阶非齐次微分方程的求解,型型两个常用定理欧拉方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,二阶常系数非齐次线性方程为：,代入原方程,设非齐方程特解为,综上讨论,注意：,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特殊情形,特例,解：,解：,解：,原方程的通解为：,解：,解：,解：,解：,a.当,不是特征根时，,则特解具有形式,b.当,是特征根时，,则特解具有形式,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,解:,特征方程：,特解具有形式：,代入方程得：,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,解:,特征方程：,特解具有形式：,代入方程比较系数得：,解:,特征方程：,特解具有形式：,代入方程比较系数得：,hw：p3941(4,5,8,9,12),2(2).,三.两个常用定理,定理1,的解。,证明：,解:,可先求解复方程：,代入方程得：,定理2,解:,解:,解第一个方程：,解第二个方程：,故原方程的通解为：,代入定解条件得：,常系数非齐次线性微分方程特解,1).二阶常系数非齐次线性方程为：,Dec.31Fri.Review,特殊情形,特例,a.当,不是特征根时，,则特解具有形式,b.当,是特征根时，,则特解具有形式,EulerEquation：,四.一类特殊变系数非齐次线性微分方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,令,将方程转化为常系数微分方程。,将自变量换为,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,例1.,求欧拉方程,的通解,解,作变量变换,原方程化为,即,或,(1),方程(1)所对应的齐次方程为,其特征方程,特征方程的根为,所以齐次方程的通解为,设特解为,代入原方程，得,所给欧拉方程的通解为,解：,例3.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,的通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解:,代入确定系数,得,例4.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入解得A=1,所求通解为,例5.,解:由题设得定解问题,则化为,特征根: