常微分方程总复习2012

总复习,北京理工大学,第一章绪论,一、基本概念,1.微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.,常微分方程：自变量的个数只有一个；偏微分方程：自变量的个数为两个或以上。,2.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,3.线性微分方程,4.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,5.微分方程的解的分类：,(1)通解:n阶微分方程的解中含有n个独立的任意常数,即.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.把满足初值条件的解称为微分方程的特解。,6.常系数线性微分方程:微分方程中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程,第二章一阶微分方程的初等解法,一、基本概念,1.变量分离方程:对于一个一阶微分方程，如果是变量分离方程，那么它的右端函数是两个因式的乘积，一个仅含x，另一个仅含y。,2.齐次方程:形如的微分方程.,3.一阶线性微分方程:,称为一阶齐次线性微分方程.,称为一阶非齐次线性微分方程.,例如,一阶非齐次线性方程;,4.伯努利方程:,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,5.全微分方程：,对于微分形式的一阶方程,若存在某二元函数，使得上式左端恰为其全微分形式,二元函数称为微分式的原函数。,6.全微分方程的判别法则：,（充分必要条件）,8.存在一条特殊的积分曲线，它不属于方程的积分曲线族。但是，该积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。在几何学上，该特殊曲线称为包络，微分方程里称为奇解。,二、需要掌握的初等解法,1.变量分离的微分方程,的常数解,+,2.齐次方程,为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程.,解法：,3.可化为齐次方程的微分方程,有唯一一组解.,得通解代回,将h,k就取为这一组解，于是原方程就化为下列关于X,Y的齐次方程,未必有解,上述方法不能用.,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,可分离变量方程,4.一阶线性微分方程的解法,1).线性齐次方程,(分离变量法),齐次方程的通解为,2).线性非齐次方程,常数变易法:把线性齐次方程通解中的常数变易为待定函数.,作变换，设非齐次方程的解为,将其代入非齐次方程得到关于待定函数的一阶微分方程，积分后得到待定函数的形式：,5.伯努力方程的解法,解法:经过变量代换化为线性微分方程.,则,求出通解后，将代入即得。,6.微分形式的一阶方程,利用公式法求解的一般步骤：,验证是否全微分方程：,利用全微分公式：,积分第一式：,两边对y求导并利用第二式，求出通解：,直接凑全微分的方法：,常见的全微分表达式,7.积分因子法：,求积分因子的公式法：,观察法:,凭观察凑微分得到,8.一般隐式微分方程,将该曲线方程表示成另一种等价的参数方程形式,原方程的参数形式的通解为,可将该曲线表示成另一种适当的参数形式,方程的参数形式的通解为,第三章一阶微分方程的解的存在定理,一、基本概念,1.存在唯一性定理,在R上连续；,满足不等式：,注：,（1）利普希茨条件能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替。,（2）定理中的两个条件是保证初值问题的解存在唯一的充分条件，而非必要条件。故当定理条件不满足时，不能得出解不存在唯一的结论。,二、需要掌握的计算方法,1.近似计算和误差估计,其中,第四章高阶微分方程,一、基本概念,1.高阶线性微分方程,n-阶线性(非齐次)微分方程：,n-阶线性(齐次)微分方程：,2.n-阶线性微分方程解的存在唯一性定理：,3.齐次线性微分方程的解的叠加定理,定理2若为n阶线性齐次微分方程,的k个解，则它们的线性组合,也是方程的一个解.,4.线性相关:函数组称为在区间上是线性相关的若存在不全为零的常数,使得恒成立.否则，称为线性无关不线性相关。,性质:,1.一个函数线性相关，则,2.两个函数线性相关两者之比为定比.,3.部分线性相关则一定有全体线性相关.,5.朗斯基行列式：,6.基本解组:n阶线性微分方程定义在(a,b)上的n个线性无关的解.,定理5:n阶齐次线性微分方程一定存在n个线性无关的解.,7.非齐次线性方程通解的结构,8.复值函数与复值解定义,复值函数：,复值解：,则实变量复值函数x=z(t)称为n-阶线性微分方程的复值解。,如果,9.欧拉公式：,10.n阶常系数线性微分方程,11.欧拉方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,二、需要掌握的计算方法,1.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,齐次方程对应的通解为,非齐次方程的通解为,特别地，,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,2.二阶常系数齐次线性方程通解求法-特征根法,的通解求法的一般步骤：,写出其对应的特征方程,求出特征方程的两个根,根据两个根的情形，按下表写出方程的通解：,3.n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征根为单根：,方程对应的通解：,当为单实根，,必有共轭复根,通解中相应的部分替换为,此时，方程对应的通解：,特征根为m重实根：,相应于解为,特征根为复m重根：,相应于解为,通解中的对应项,通解中的对应项,4.欧拉方程的解法,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,作自变量变换,将自变量换为,将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量,的常系数线性微分方程。,求出这个方程的解后，,把换为，,即得到原方程的解.,一般地，,5.常系数非齐次线性微分方程求法-比较系数法,1）型,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,设非齐次方程特解为,代入原方程,设非齐次方程特解为,代入原方程,可得,设非齐次方程特解为,代入原方程,总结：对于方程,其特解的形式为,的特解，其中,的特解，其中同上。,其特解的