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文档简介

1,一阶隐式微分方程,一阶显式微分方程,一阶隐式微分方程,例求解微分方程,2,解：方程右端分解因式，得,从而得到两个方程,故原方程的通解可以表示为,通解也可以表示为,3,一、不显含x或y的方程与参数法,引入参数t将上式用参数曲线表示为,就可以得出微分方程用参数形式表示的解。,4,由参数的微分法知,方程的解为,5,例(参数法)求微分方程,解：令,解得,由于,积分得,故原方程参数形式的通解为,消去此参数t,得到通解为,6,二、可解出y或x的方程与微分法,7,若求出方程的通解为,代入原方程得通解为,情形1：,情形2：,8,情形3：,若能求出通积分，,同理若解出x，完全类似。,则得到参数形式的通积分,其中是参数。,则得到参数形式的解,如果还有解,9,例(微分法)：求解方程,解：令,则原方程可写成,两边对x求导得到,整理化简后得方程,10,对,积分得该方程的通解为,得原方程的一个解,又从,得另一个解,又得方程的一个解,11,Clairaut方程,二阶连续可微，且,利用微分法求解此方程.,因此通解为,12,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,三、奇解与包络,13,例单参数曲线族,R是常数，c是参数。,x,y,o,显然，,是曲线族的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。,14,求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去C而得到的曲线中。,15,设由,能确定出曲线为,则,对参数C求导数,从而得到恒等式,16,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线L在其上每一点(x(C),y(C)处均与曲线族中对应于C的曲线相切。,注意：C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,17,例1求直线族,的包络，这里是参数，p是常数。,解：,对参数求导数,联立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,18,例2求直线族,的包络，这里c是参数。,解：,对参数c求导数,联立,得,从得到,从得到,因此，C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验，是所求包络线。,19,20,2p-判别曲线,结论：方程的奇解包含在下列方程组,消去p而得到的曲线中。,注意：p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,21,例3求方程,的奇解。,解：,从,消去p，得到p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,而是方程的解，且正好是通解的包络。,22,例4求方程,的奇解。,解：,从,消去p，得到p-判别曲线,经检验，不
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