定积分的应用习题课课件

MathematicalAnalysis,数学分析,定积分的应用习题课,第十章,3,基本问题：几何体的度量,平面曲边图形面积平面曲线弧长空间旋转体体积与侧面积、表面积,统一思想：微元法,化整为零，积零为整以直表曲，以静识动,基本要求：理解思想，牢记公式,理解微元法以直代曲的科学依据（对函数的要求）；牢记各种坐标表示下，几何体度量的表达公式；掌握基本积分法及其适用的函数类型。,zwj,方法总结,一、平面图形的面积,1平面直角坐标系下,由两条连续曲线yf1(x)与yf2(x)以及直线xa,xb(ab)所围平面图形面积为,使用要点：去掉绝对值符号,1.求出端点及两条曲线交点坐标，将区间分段。,2.依据二函数之差在各分段区间上的符号去掉绝对值符号。,3.注意利用对称性以简化计算。,计算要点：三种积分法及其适用对象,特例：（1）其中一条曲线为x轴（2）无明确a，b端点，比如,曲线C由参数方程,给出,在,上y(t)连续,x(t)连续可微且x(t)0.,由曲线C及直线xx()a,xx()b和x轴所围,图形的面积计算公式为,2.参数方程表示下,给出,在,上x(t)连续,y(t)连续可微且y(t)0.,由曲线C及直线yy()a,yy()b和y轴所围,由极坐标方程,给出的曲线C与两条射线,所围成的平面图形,的面积:,3.曲线由极坐标方程表示,依据三角形面积：底高/2,二、平面曲线的弧长,参数方程表示下，平面光滑曲线C,的弧长为,平面光滑曲线弧长的计算,直角坐标方程表示下曲线,的弧长为,极坐标方程表示下曲线C,(5),的弧长为,三、旋转体的侧面积与体积,1.已知截面面积求立体体积,A(x),设f是a,b上的连续函数,是由平面图形,绕x轴旋转一周所得的旋转体.,旋转体的体积为,2.旋转体的体积与侧面积,旋转体的侧面积为,在参数方程,旋转体的体积为,下，,旋转体的侧面积为,zwj,习题释疑,类题指引：三角函数有理式的积分，一般采取万能代换变换t=tan(x/2)可化为有理函数的积分,类题指引：,单项三角函数整式偶次幂“倍角降次”奇次幂“分解出一次”再利用正余弦平方和,类题指引：,单项三角函数正余弦混合式，均为偶次者“倍角降幂”；含有奇次项者分解出一次，再利用三角恒等式转化,类题指引：,型的积分，通过简单变量替换,转化为型的积分,再分别通过三角代换x=rsint,x=rtant,转化为三角函数有理式的积分。,zwj,例题选讲,例1.,设有平面曲线C1：y=x2,C2:,1.求由平面曲线C1与C2所围平面图形D的周长与面积。,2.求由平面图形D围绕x轴旋转一周得到旋转体的表面积与体积。,例2.,设有平面曲线C：x=sint-cost,y=sint+cost，t0,/2,1.求平面曲线C的长度。,3.求由平面图形D围绕x轴旋转一周得到旋转体的表面积与体积。,2.求平面曲线C与直线x=-1，x=1，y=0所围图形D的面积。,例3.,1.求对数螺线：y=2e，-,的长度。,2.求对数螺线：y=2e，-,与射线=-,=所围图形的面积。,例4.,求抛物线：y=x2及其在点（-1,1），（1,1）处的切线所围平面图形D的面积。,习