实变函数论课件22讲

第22讲Fubini定理(续),目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。重点与难点：Fubini定理及其证明。,基本内容：一可测函数的截口问题1：微积分中累次积分的内层积分是什么意思？,第22讲Fubini定理(续),第22讲Fubini定理(续),问题2：对LnLm任意集合E及E上的可测函数f(x,y)，如果考虑关于f(x,y)的重积分化为累次积分问题，首先应考察什么？可测函数截口的定义：fx，fy。,第22讲Fubini定理(续),定义3如果是上的函数，则对每个，记，它是定义在上的函数。,第22讲Fubini定理(续),类似地，如果上相对于的可测函数，即对任意及任意，通常称该函数为-可测函数，则对任意，是上的可测函数，对任意是上的可测函数。,第22讲Fubini定理(续),证明：对任意及任意，任取，则,第22讲Fubini定理(续),由于,故,即,由此得可测，同理可证是上的可测函数，证毕。,定理6设，对任意，记，则是上的可测函数，是上的可测函数。,第22讲Fubini定理(续),则。,证明：设M是使得定理成立的那些的集类，我们证明M具有如下性质：(i)若,第22讲Fubini定理(续),(ii)若是M的互不相交的可数集列，则。,第22讲Fubini定理(续),(iii)设，且,则,显然若则事实上，此时,第22讲Fubini定理(续),由此立知,为证(1)，记,由于,第22讲Fubini定理(续),故由测度的可数可加性知单调递增收敛到，由于每个，即,由单调收敛性定理立得,由此得(i)。,第22讲Fubini定理(续),若是M中互不相交的有限个集合，则，从而对任意,第22讲Fubini定理(续),由定理5知及均是可测函数，注意到及，于是,第22讲Fubini定理(续),由非负可测函数积分的有限可加性立得,进而,这说明，M中任意有限个不交的集合之并仍在M中，再利用(i)立得(ii)。,则，且,且，则，,第22讲Fubini定理(续),至于(iii)的证明只需注意到若,便容易证得。事实上，若,第22讲Fubini定理(续),由(ii)的证明知,故,第22讲Fubini定理(续),进一步,由于,第22讲Fubini定理(续),因此由及知,进而,这说明，依(iii)的假设，,令，则且,第22讲Fubini定理(续),由(i)立知,所以,第22讲Fubini定理(续),记,对任意正整数,由上面的证明知是含所有可测矩形的,有限不交并的单调类，于是,且是单调递增的集列，,由(i)知。定理证毕。,所以对任意及任意k,l,第22讲Fubini定理(续),有，不妨取，,则,二Fubini定理的特殊形式,第22讲Fubini定理(续),定理：设,则,第22讲Fubini定理(续),三Fubini定理定理7富比尼（Fubini）定理设f是Rn+m上的LnLm-可测函数，(i)若，且(a)则分别是Rn和Rm上的可测函数，且(b),第22讲Fubini定理(续),(ii)若f满足(c)则f(x,y)是Rn+m上的可积函数。(iii)若f(x,y)是Rn+m上的可积函数，则对几乎所有的是Rm中的可积函数；同样，对几乎所有的是Rn中的可积函数，并且等式(b)成立。,第22讲Fubini定理(续),证明：首先假设f是非负的，由定理5知是有意义的。设，且，则，由定理6知(b)成立。故(b)对所有-非负简单函数f成立，即,对一般的-可测函数f，可作简单函数序列fk，使且fk处处收敛到f，则,第22讲Fubini定理(续),由Levi定理知单调递增收敛到，再一次利用Levi定理得。但由fk的单调收敛性及Levi定理知，故。,第22讲Fubini定理(续),类似可证，其中。为证(ii)，设是一般的-可测函数，且。,第22讲Fubini定理(续),第22讲Fubini定理(续),将(i)中的f换成|f|，便不难得|f|是上的可积函数，从而由易知也是上的可积函数。,第22讲Fubini定理(续),最后证(iii),由于是域，由f的-可测性不难证明均是可测的。又因为在中可积，故也可积,将(i)依次应用于立知均是上的可积函数，均是上的可积函数。,第22讲Fubini定理(续),因为，故对使得且的每个是中的可积函数,但由的可积性知记，则，且对任意，从而在上可积，,同理可证对几乎所有的是上的可积函数，在等式(b)中，用代替代替f，等式仍成立，同理用代替代替f，(b)也成立，将所得的两等式相减立得，类似可得。证毕。,第22讲Fubini定理(续),第22讲Fubini定理(续),注：虽然Fubini定理中加上了“f是-可测函数”的条件，但这一条件可以换成“f是上的可测函数”。这是因为，若f是上的可测函数，则对任意，是可测集，由本章3定理2知存在，使，且。,我们知道，去掉一个零测集并不影响函数的积分，所以只需在定理7的(i)中，将等式(a)改成对几乎所有的及几