实变函数论第2讲势的定义

第2讲势的定义,目的：掌握势的定义，熟悉势的性质，了解势的比较。重点与难点：势的定义及比较。,现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然的会涉及到这一组对象的个数。集合论也是这样，假如我们不考虑某个集合中元素的具体特性时，该集合含多少个元素则是一个最基本的概念，比如10个人组成的集合与十块砖头组成的集合，虽然其,第2讲势的定义,特征不同，但作为集合，它们含相同个数的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同的属性，但其元素个数不同，而是两个不同的集合。由此可见，集合所含元素的个数也是集合的一个重要的特征。,第2讲势的定义,怎样表示集合所含元素的多少呢？有限个元素组成的集合自然不成问题，把它的元素一个一个数出来就行了，但我们将要讨论的是无穷集，也就是集合所含的元素个数不是有限的，对于无穷集，“个数”一词实际是没有意义的，然而，不同的无穷集，它们是有明显的差别，比如自然数全体与实数全体显然不同，直觉上，实数当然比自然数多得,第2讲势的定义,多，那么自然数与有理数集呢？此时，直觉可能会发生错误，如果我们认为有理数比自然数多，那就大错特错了。因此，我们有必要了解如何对无限集进行计数，使我们得以分清有哪些集有相同的“个数”，哪些不然。现在还是让我们暂且回过头来，看看对有限集是如何计数的，设想有一堆石子，我们要知道它有多少个，当我们拿起第一粒石子时，,第2讲势的定义,心里默数着1，拿起第二粒石子时，心里默数着2，拿起最后一粒石子时，我们心里默数的最后一个数字就是石子的个数。在这个过程中，我们不知不觉间将每粒石子都编了号，第一粒石子就是一号，不妨记作，第二粒石子就是二号，不妨记作，如果有n个石子，则最后一粒石子就是第n号，记作，于是这堆石子,第2讲势的定义,第2讲势的定义,可记作。这个过程实际上建立了石子与自然数1到n之间的一个一一对应关系。如果我们想知道两堆石子是否有相同个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。这说明，我们想知道两个集合是否有相同,第2讲势的定义,个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。这说明，我们想知道两个集合是否有相同数量的元素，只需看能否在这两个集合之间建立一种一一对应关系，只要能建立这种关系，我们就有理由认为，它们有相同的数量，这种方法对无穷集也适用。,一势的定义问题1：回忆有限集是如何计数的？问题2：有限集的计数方法如何移植到无限集情形？,第2讲势的定义,第2讲势的定义,定义1假设是两个集合，如果在A与B之间存在一种一一对应关系，即对A中任一元素，通过与B中唯一元素对应，反之，对B中任一元素，A中也有唯一元素通过与之对应，则称集合A与集合B是对等的或它们有相同的势或基数，记作，或，满足上述条件的称为A和B之间的一个对应。,第2讲势的定义,显然，任何集合A与它自身是对等的，即;若，则也有，若，则。,例1作对应关系则是与之间的一一对应。,从例1看出，虽然是的真子集，甚至直觉上比的元素少很多，但他们却是对等的，这在有限集情形是做不到的，后面将会看到，一个集合可以与其真子集对等是无穷集的一个特征。,第2讲势的定义,第2讲势的定义,例2N与R1不对等，即。若不然，存在与的一个一一对应，将与N中n对应的元素记为，则上至少有一个单位长度的区间不含，不妨设此间分为三等分，则中至少不含，,以表示这个区间，将三等分，其左、右两个区间中至少有一个区间不含，记为，依此类推，可得一串闭区间，满足：（1），且的长度趋于0（2）。,第2讲势的定义,第2讲势的定义,由闭区间套定理知，但对任意,，换言之，,不在R1中，,这是不可能的。这一矛盾说明，N与R1不可能对等。,例2说明，两个无限集的确可能有不同的势，既然势可以不同，如何对其进行比较呢？下面的定义给出了比较的方法。势的比较问题3：如何判断两个有限集含相同数量的元素？问题4：从有限集所含元素个数的比较，启发我们如何比较无限集的势？,第2讲势的定义,第2讲势的定义,定义2假设A、B是两个集合，若A与B的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说A的势小于B的势，记作，或说B的势大于A的势，记作。,第2讲势的定义,问题5：从通常自然数大小的比较，对无限集的势我们自然会猜测什么？,第2讲势的定义,从直觉上判断，上述定义是自然和合理的，但有没有可能发生这样的情况呢，即A与B不对等，但A可以与B的真子集对等，B也可以与A的真子集对等？如果是这样的话，将会出现既有，又有，这显然是不合理的。伯恩斯坦（Bernstein）定理指出这种情况不会发生。,第2讲势的定义,*定理1(Bernstein)假设A，B是两个集合，如果A与B的某个子集对等，B又与A的某个子集对等，则。证明：不妨设使得，而是A和B1之间，是B和A1之间的11对应，于是。如果我们证明了，则由便知。,第2讲势的定义,记,第2讲势的定义,这就是说,第2讲势的定义,以表示对应关系的复合则可以看出，并且由的定义显然有，,第2讲势的定义,我们的目标是要证明，为此，不妨先对和进行分解：,第2讲势的定义,显然是两两互不相交的，且由于,第2讲势的定义,故,将A与A1的分解式调整一下顺序得：,第2讲势的定义,作A与A1之间的对应关系如下：,第2讲势的定义,则显然是A与A1的一一对应，从而AA1，证毕。,由Bernstein定理不难证明：若，且，则。从合理性方面讲，任何两个集合A和B的势都应该是可以比较大小的，即下面三种情况必有且仅有一种情况出现：,（i）；（ii）；（iii）。,第2讲势的定义,遗憾的是，至今尚无法证明或否认这是真的。Zermelo给集合论加上了一条公理，即Zermelo选择公理，依据这条公理便可证明（i）、（ii）、（iii）有且仅且一种情形发生。,第2讲势的定义,选择公理（Zermelo）设是一簇两两不相交的非空集，则存在集合L满足下列条件：（1）；（2）L与F中每一个集合有且只有一个公共元素。,三Zorn引理,第2讲势的定义,直观地看，可以从F的每个集合中各自仅取出一个元素来构造一个新的集合L，这条公理与后面要介绍曹恩（Zorn）引理是等价的。换句话说，可以由选择公理出发证明Zorn引理，也可以由Zorn引理出发证明选择公理。首先让我们对一般的集合引进所谓的序关系：,第2讲势的定义,定义3设S是一非空集合，如果在S的部分元素之间引进了某种序关系，满足（i）；（ii）若；（