上海交大附中数学总第一次小练习pdf

1 2014 年高三数学练习（一）年高三数学练习（一） 题号一二三总分 11415181920212223 得分 评卷 复核 时间：时间：120 分钟分钟 一一、填空填空题（本大题满分题（本大题满分 56 分）本大题有分）本大题有 14 题，每个空格填对得题，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 1、方程组 2 712 1 1 xx y xy 的解集是_. 2、 已知三个球的半径 1 R， 2 R， 3 R， 且 321 32RRR， 则它们的表面积 1 S， 2 S， 3 S满足的等量关系是_. 3、已知, x y ，且 1 2 121 999 x y ，则将y表示成x的函数，则其解析式为y _. 4、设函数 2 2f xx，若 f af b，且0ab，则ab的取值范围为_. 5、已知 1 F、 2 F是椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C0ab的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 12 PFPF . 若 21F PF的 面积为 9，则b _. 6、不等式 22 23 24 2 xxxx 的解集是_. 7、已知函数 sintanf xxx. 项数为 27 的等差数列 n a满足 22 ， n a，且公差0d . 若 1 f a 227 0f af a，则当k _时，0 k f a. 8、某地街道呈现东西、南北向的网格状，相邻街距都为 1. 两街道相交的点称为格点，以互相垂直的两条街道 为轴建立直角坐标系，现有下述格点2,2、3,1、3,4、2,3、4,5、6,6为报刊零售点. 请确定一个 格点（除零售点外）_为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 9、一个口袋里有 5 个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出 5 个小 球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是_. 10、若 n an 1 . 3 1 2 1 1，nbn1,2,3,.n ，则 120141220142 b aabaa 320143 .baa 201320142013 baa_. 11、满足方程 22 2 2 13 log2cos 2cos4 xyyy xy 的所有实数对, x y _. 2 12、已知M是椭圆 22 1 169 xy 在第一象限的弧上一动点，MNy轴，垂足为N，当OMN面积最大时，它的 内切圆半径r _. 13、已知x ，函数 f x满足 1 ff x x ， 2 2ffx x . 若当1,2x时， 12f xxx， 则函数 1 4 yf x在区间1,100内的零点的个数为_. 14、将函数 2 462yxx0 6x，的图像绕坐标原点逆时针旋转0，得到曲线C. 若对于每 一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为_. 二、二、选择题（本大题满分选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案选对得题，每题有且只有一个正确答案选对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 15、在 8 个数形成的集合中，平均数，中位数，惟一的众数和全距（最大数与最小数值差）都是 8，能成为这个集 合中的一个元素的最大数是_. A. 14B. 13C. 12D. 11 16、分别记函数1 2 xxy的图像为 1 C，定义在集合A上的函数 11 2 yx x 的图像为 2 C. 若 1 C与 2 C关于 直线xy 对称，则集合A为_. A.1,00,1B.1,01,C., 10,1 D. , 11, 17、在平面直角坐标系xOy中，方程4|2 2 yxyx所表示的图形围成的多边形的面积为_. A. 2B. 4C. 8D. 16 18、若某个实数x使得含有 1 sinax， 2 cosax， 3 tanax为数列的 n a为等比数列，则使得1 cos n ax 的 n等于_. A. 5B. 6C. 8D. 12 三三、解答题（本大题满分解答题（本大题满分 78 分）本大题共分）本大题共 5 题，解答下列各题须写出必要的步骤题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知ABC的三个内角A、B、C满足BCA2，设 2 cos CA x ， 11 cos coscos f xB AC . （1）试求函数)(xf的解析式及其定义域； （2）求函数 f x的值域. 3 20、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 底面是等腰直角三角形， 90ACB， 侧棱2 1 AA，ED、分别是 1 CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G. （1）求BA1与平面ABD所成角的大小； （2）求点 1 A到平面AED的距离. 21、 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分. 已知双曲线 2 2 :1 2 x Cy，设过点 3 2,0A 的直线l的方向向量1,ek w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m之间的距离； （2）证明：当 2 2 k 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6. 22、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 已知函数( )yf x的反函数为 1 fx . 若对给定的实数0a a ，函数yf xa与 1 yfxa 互为 反函数，则称 yfx满足“a和性质” ；若函数yf ax与 1 yfax 互为反函数，则称 yf x满足“a 积性质”. （1）判断函数 2 10g xxx是否满足“1 和性质” ，并说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求所有满足“2 和性质”的一次函数； （3）设函数 0yfxx对任何0a ，满足“a积性质”. 求( )yf x的表达式. 23、 （题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分. 已知 n a是公差为d的等差数列， n b是公比为q的等比数列。 （1）若31 n an，问是否存在,m k ，使得 1mmk aaa 说明理由； （2）找出所有数列 n a和 n b，使对一切n ，成立着 1n n n a b a ，说明理由； （3）若 1 5a ，4d ， 1 3bq，试确定所有的整数p，使数列 n a中存在某个连续p项的和是数列 n b 中的一项，并请证明. 4 2014 年高三数学练习（二年高三数学练习（二） （参考答案）（参考答案） 一一、填空填空题（本大题满分题（本大题满分 56 分）本大题有分）本大题有 14 题，每个空格填对得题，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 1、方程组 2 712 1 1 xx y xy 的解集是_. 【答案答案】 0,1 , 2, 1 ,3,4 ,4,5 【解析解析】知识点：方程与方程组 【参考解答参考解答】 2 712 1 1 xx y xy 1 1 y xy 或 1 1 y xy （此时需检验解的合理性）或 2 0 7120 1 y xx xy 0 1 x y 或 2 1 x y 或 3 4 x y 、 4 5 x y 故本方程组解集为 0,1 , 2, 1 ,3,4 ,4,5. 2、已知三个球的半径 1 R， 2 R， 3 R， 且 321 32RRR， 则它们的表面积 1 S， 2 S， 3 S满足的等量关系是_. 【答案答案】 123 23SSS 【解析解析】知识点：立体几何 【参考解答参考解答】 由球的表面积公式 2 4SR得： 4 i i S R 1,2,3i 带入已知的 123 23RRR即得： 312 23 444 SSS 123 23SSS 故 123 ,S SS所满足的等量关系为 123 23SSS. 3、已知, x y ，且 1 2 121 999 x y ，则将y表示成x的函数，则其解析式为y _. 【答案答案】 31 2 x 5 【解析解析】知识点：数列等比数列与等差数列，函数 【参考解答参考解答】 由已知等式得： 19131 31 1 29 122 xxx y y y y 根据函数 1fyy y在 时的单调性即得： 31 2 x y . 4、设函数 2 2f xx，若 f af b，且0ab，则ab的取值范围为_. 【答案答案】0,2 【解析解析】知识点：函数、不等式 【参考解答参考解答】 由 f x在 0,2内单调递减、 在 2,中单调递增知： 使得 f af b的满足ab的正实数, a b 只能是：02ab. 那么 2 2f aa， 2 2f bb， 故 22 22ab， 即 22 4ab. 由此，, a b可表示为2cosb， 2sina，且由02a知0, 4 ，则 4cossin2sin2ab 故ab的取值范围为0,2. 5、已知 1 F、 2 F是椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C0ab的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 12 PFPF . 若 21F PF的 面积为 9，则b _. 【答案答案】3 【解析解析】知识点：解析几何 【参考解答参考解答】 由 12 PFPF ，故根据勾股定理以及三角形面积公式可得： 1 2 222 2 1212 12 4 1 9 2 PF F PFPFFFc PFPFS 因此 2 22 2 121212 2436PFPFPFPFPF PFc 6 又在该椭圆中， 1 F、 2 F为焦点，因此 12 2PFPFa，带入上式中即得： 22 4436ac 2 4363bb 故b的值为 3. 6、不等式 22 23 24 2 xxxx 的解集是_. 【答案答案】0,4 【解析解析】知识点：不等式、函数 【参考解答参考解答】 2 2 22 3 24 2223 224 20 xxxxxxxx 2 24 2220222 xxxxxx xx 21004xxx 故解集为0,4. 7、已知函数 sintanf xxx. 项数为 27 的等差数列 n a满足 22 ， n a，且公差0d . 若 1 f a 227 0f af a，则当k _时，0 k f a. 【答案答案】14 【解析解析】知识点：函数函数的奇偶性和单调性 在本题中，注意到 f x是, 2 2 上单调递增的奇函数. 当数列 n a的最中间 的一项为 0 时，根据 n a成等差数列以及对称性知，就会成立着 1227 0f af af a（1 式） 故不难猜出本题的答案为 14. 那么可不可能有其他14k ，使得0 k a 时依然有题设中的等式成立呢？甚至，可不可能存在这样的等差 数列 n a，使得 1227 ,.,a aa中没有任何一项为 0 呢？ 这是我们值得我们这道题目本身以外值得考虑的. 【参考解答参考解答】 容易知道 f x是奇函数. 根据上面的分析我们知道14k 时为原题的一个正确答案. 下面证明 14 0a 时，1 式不可能成立. 不妨假设0d （0d 时同理可证） 7 若 14 0a，则根据 n a成等差数列知： 2814 20 ii aaa 28 ii aa 1,2,.,13i 则根据 f x是单调递增的奇函数知： 2828 0 iiiii f afaf af af a 故 13 12272814 1 0 ii i f af af af af af a 同理可证 14 0a时， 1227 0f af af a. 这说明 14 0a时，1 式不再成立. 因此 14 0a， 且根据0d 知：不存在其他的14k ，使得0 k a . 故本题答案为 14. 8、某地街道呈现东西、南北向的网格状，相邻街距都为 1. 两街道相交的点称为格点，以互相垂直的两条街道 为轴建立直角坐标系，现有下述格点2,2、3,1、3,4、2,3、4,5、6,6为报刊零售点. 请确定一个 格点（除零售点外）_为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 【答案答案】3,3 【解析解析】知识点：不等式、函数 【参考解答参考解答】 对于任意该街道上的一个格点, x y，它到这报刊零售点, a b的距离为：xa yb，那么, x y到这六个点的距离和为： 223134xyxyxy234566xyxyxy 233246xxxxxx214356yyyyyy 则根据解析中的结论， 我们知道： 264223xxxxx的每个括号中最小值取到 分别在24x 、23x 、3x . 那么当3x 时，这三个括号同时取到最小值，则关于x的表达式 23324xxxxx也就能取到最小值. 同理，我们可以得到y在34y时取到最小值. 这时，发行站设在,3,3x y 和3,4时都能取到最 小值，但3,4为一个零售点，而题设要求发行站不在零售店. 因此发行站应该设在格点3,3处. 【注注】在计算一般的 1122 . kk f xn xxn xxn xx（ 12 ,., k n nn ，且 1 x 2 . k xx）时， 可以采取如下方法：将 f x写为一共 12 . k nnn项如下所示（其中 i xx有 i n项）. 1122 . nn f xxxxxxxxxxxxx 8 那么和上述方法类似，由首末配对知： f x在最中间的点（或区间）取到极值. 同样，由于有理数可以在提取一个分数公因子后变为整数，因此用此法也可以解决 12 ,., k n nn 时的情 形. 9、一个口袋里有 5 个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出 5 个小 球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是_. 【答案答案】 2 5 【解析解析】知识点：组合计数、概率 【参考解答参考解答】 视这五个球为不同的球. 从袋中将五个球一个一个摸出有5! 120种可能. 两个白球相邻有2! 4!48种可能；两个红球相邻也有2! 4!48种可能；两个白球与两个红球同时相邻 有2! 2! 324 种可能. 故根据容斥原理，相邻两球不同色的肯能情形有 12048482448（种） 从而所求概率为 482 1205 . 10、若 n an 1 . 3 1 2 1 1，nbn1,2,3,.n ，则 120141220142 b aabaa 320143 .baa 201320142013 baa_. 【答案答案】 2027091 2 【解析解析】知识点：数列 【参考解答参考解答】 我们对于一般的n，求 112211 . nnnnn b aabaabaa . 112211 . nnnnn b aabaabaa 1111 111111 1.1 232 341 nin nnninn 统计在上式和式当中出现多少个 1 n 、 1 1n 、.、 1 2 得上式： 111 12.11 .2.1 12 nn nn 1121 . 2224 n nnn 故本题即为我们求得的结论在2014n 时的特例，此时所求即 12027091 42 n n . 9 11、满足方程 22 2 2 13 log2cos 2cos4 xyyy xy 的所有实数对, x y _. 【答案答案】 1 , 2 2 k k 【解析解析】知识点：不等式 【参考解答参考解答】 由 2 2cos0 xy ， 利用均值不等式便得到上述等式得左边 2 2log 21. 而右边 2 1 1 1 2 y . 因 此左边右边，等号取到当且仅当 1 2 y 且 2 2cos1xy . 由此，在已知中左右两边相等，于是我们可得： 2 1 cos0cos 222 1 11 2 22 x xxkk y yy 12、已知M是椭圆 22 1 169 xy 在第一象限的弧上一动点，MNy轴，垂足为N，当OMN面积最大时，它的 内切圆半径r _. 【答案答案】 2 2 【解析解析】知识点：解析几何参数方程、平面几何 【参考解答参考解答】 由M在 22 1 169 xy 第一象限的弧上，可设4cos ,3sinM0 2 . 则 11 3sin4cos3sin2 22 OMN SONOM 故当 4 时， MON S取到最大值 3. 此时 3 2 3sin 42 ON ，4cos2 2MN，根据勾股定理得： 2295 2 8 22 OMONMN 因此Rt OMN的内切圆半径r为： 262 26 2 OMN S r OMONMN . 10 13、已知x ，函数 f x满足 1 ff x x ， 2 2ffx x . 若当1,2x时， 12f xxx， 则函数 1 4 yf x在区间1,100内的零点的个数为_. 【答案答案】4 【解析解析】知识点：函数方程 【参考解答参考解答】 我们将已知条件改写为： 1 2 2 2 1 fxf x f xf x 式 式 令 2 x y ，则由 2 式可得： 12 2 x fyfff yx 再由 1 式即可得到： 2 2 x ffx （3 式） 在 3 式中置2x为x，得到 4f xfx对任意x 成立. 在1,2x时，由已知所给的表达式知： 2 119 123 444 f xxxxx 在该区间内只有一个零点 2 3 x. 在 1 ,1 2 x 中： 1 1,2 x ，此时根据 2 式及已知所给出的表达式知： 2 111111137 12 4444 f xf xxxxx 而在 1 ,2 2 x 时，2 1 1 x ，容易验证此时0 4 731 2 xx 在该区间内中没有零点. 故在 1 ,2 2 x 时， 1 4 g xyf x仅有一个零点 2 3 x. 再根据 4f xfx对任意x 成立知： 11 故在区间2,8中， g x仅有一个零点6x 在区间8,32中， g x仅有一个零点24x 在区间32,128中， g x仅有一个零点96x 故 0g x 在区间1,100恰有有 4 个零点96,24, 6, 2 3 xxxx. 14、将函数 2 462yxx0 6x，的图像绕坐标原点逆时针旋转0，得到曲线C. 若对于每 一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为_. 三、三、选择题（本大题满分选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案选对得题，每题有且只有一个正确答案选对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 15、在 8 个数形成的集合中，平均数，中位数，惟一的众数和全距（最大数与最小数值差）都是 8，能成为这个集 合中的一个元素的最大数是_. A. 14B. 13C. 12D. 11 16、分别记函数1 2 xxy的图像为 1 C，定义在集合A上的函数 11 2 yx x 的图像为 2 C. 若 1 C与 2 C关于 直线xy 对称，则集合A为_. A.1,00,1B.1,01,C., 10,1 D. , 11, 【答案答案】B 【解析解析】知识点：函数 【参考解答参考解答】 注意到：1 2 xxy与 11 2 yx x 互为反函数，故集合 2 C的定义域A实际上为 1 C所对应函数的 值域. 记 2 1f xyxx，那么 f x的定义域为 ,11,. 当1,x时， f x单调递增，故此时 f x的值域为 1 ,1,ff . 当, 1x 时， 2 1 1 f x xx 随着x的增大， 2 1x 、x都减小，故 2 1 1xx 增大， f x减小，故此时 f x单调减，那么此时 12 f x的值域为1 ,1,0ff . 即 2 C对应曲线的定义域为：1,01,. 故本题选 B. 17、在平面直角坐标系xOy中，方程4|2 2 yxyx所表示的图形围成的多边形的面积为_. A. 2B. 4C. 8D. 16 【答案答案】D 【解析解析】知识点：函数函数图像 【参考解答参考解答】 本题中关于y是带绝对值的，我们很自然的一个想法就是把绝对值去掉，那么可以采用的方法就是分类讨 论了. Case One0y时. 方程化为 2 24xyx，即 222xyxx， 故2x或xy 2. Case Two0y时，方程化为：222xyxx 故2x或2xy 根据上述讨论，我们得到 2 24xxyy所围成的图形如右图所示：这是一 个平行四边形，容易求得面积为：1644. 故本题选 D. 18、若某个实数x使得含有 1 sinax， 2 cosax， 3 tanax为数列的 n a为等比数列，则使得1 cos n ax 的 n等于_. A. 5B. 6C. 8D. 12 【答案答案】D 【解析解析】标签：数列，三角函数 【参考解答参考解答】 由sin x，cosx，tan x成等比数列知： 22332 cossintansincos1coscosxxxxxxx 于是得到： 44 4 2264 11coscos 1 coscot coscoscossin xx xx xxxx 我们继续将数列写下去可得： 22 4 3 tansin 1 coscos xx a xx ， 2 5 1cos cot tansin x ax xx ， 22 6 2 cotcos 1sin xx a x ， 13 4 3 7 cot cot cot x ax x ， 6 4 8 2 cot cot cot x ax x ， 5 9 cotax， . 容易得到： 4 cotn n ax 4n 因此使得 4 1 coscot n axx 的仅有8n . 故本题选 D. 三三、解答题（本大题满分解答题（本大题满分 78 分）本大题共分）本大题共 5 题，解答下列各题须写出必要的步骤题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知ABC的三个内角A、B、C满足BCA2，设 2 cos CA x ， 11 cos coscos f xB AC . （1）试求函数)(xf的解析式及其定义域； （2）求函数 f x的值域. 【解析解析】知识点：函数函数的基本性质、三角函数 【参考解答参考解答】 （1）由于BCA2， 180CBA，故 60B， 120CA，则： 2 2 2coscos 1 coscos2 22 1 2coscoscoscos43 21 2 ACAC ACxx f x ACACACx x 又由 60 2 0 CA 以及 2 430 x 得： 1 cos,1 22 AC x ，且 2 3 x. 故 f x的解析式为 2 2 43 x f x x ，定义域为 1 , 2 3 2 3 , 2 1 （2） 2 2 43 x f x x ，在 f x的定义域内0x，故 2 3 4 f x x x 而 3 4x x 在其定义域内上是一个单调递增的函数，故 f x在其定义域内分段单调递减，也就是 f x 在 2 3 , 2 1 和 1 , 2 3 都是减函数. （应当注意的是不能说 f x单调递减，因为 1 1 2 ff .） 14 在 13 , 22 x 时， f x的值域为 311 , 222 ff ； 在 1 , 2 3 x时， f x的值域为 3 1 ,2, 2 ff . 故 f x在其整个定义域中的值域为 1 ,2, 2 . 20、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，底面是等腰直角三角形， 90ACB，侧棱2 1 AA，ED、分别是 1 CC与BA1的中点，点E在 平面ABD上的射影是ABD的重心G. （1）求BA1与平面ABD所成角的大小； （2）求点 1 A到平面AED的距离. 【解析解析】知识点：立体几何 本小题主要考察线面关系和直棱柱等基础知识，同时考察空间想象能力和推理运算能力我们只提供立体几 何算法，建立坐标系的算法应该要掌握. 【参考解答参考解答】 （1） 图 11-1图 11-2 如图 11-1 所示，连接BG. 则由点E在平面ABD上的射影是G知：BG是BE在面ABD中的射影，那 么EBG就是BA1与平面ABD所成的角，记AB中点为F. 连结EF、CF. 由D、E分别是 1 CC、 1 AB的中点，以及DC平面ABC，故四边形CDEF为矩形. 连结DE 由G是ADB的重心可知：DFG，且 1 3 FGFC，而在直角三角形EFD中，FDEG （如图 11-2 15 所示） ，所以 由射影定得： FDFGEF 2 = 2 3 1 FD 带入1EF ，得：3FD . 则在EFD再次使用由勾股定理，易得：