上海交大附中数学总第二次小练习pdf

1 2014 年高三数学练习（二）年高三数学练习（二） 题号一二三总分 11415181920212223 得分 评卷 复核 时间：时间：120 分钟分钟 一一、填空填空题（本大题满分题（本大题满分 56 分）本大题有分）本大题有 14 题，每个空格填对得题，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 1、设 3 sin112f xaxb x ，其中, a b为实常数，若lg55f，则lg20f的值为_. 2、在平面直角坐标系中，长度为 1 的线段AB在x轴上移动（点A在点B的左边） ，点0,1P与点A连成直线， 点1,2Q与点B连成直线，则直线PA与直线QB的交点R轨迹的直角坐标方程是_. 3、已知关于x的方程lg2lg1kxx仅有一个实数解，则实数k的取值范围是_. 4、已知ABC的外接圆半径R为 1，A、B、C的角平分线分别交ABC的外接圆于点 111 ABC、 、，则 111 coscoscos 222 sinsinsin ABC AABBCC ABC 的值为_. 5、甲、乙两运动员乒乓比赛在进行中，甲必须再胜 2 局才最后获胜；乙必须再胜 3 局才最后获胜，若甲、乙两人 每局取胜的概率都是 1 2 ，则甲最后获胜的概率是_. 6、某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界） ，其边界是长轴长为2a，短轴长为2b 椭圆. 已知岛上甲、 乙导航灯的海拔高度分别为 12 ,h h， 且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计） ，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 1 、 2 ，那么船只已进入该 浅水区的判别条件是_. 7、若点 0 x使得 00 f xx，则我们称 0 x是函数 f x的一个不动点，那么函数 11 1f xx xx 的所有不 动点组成的集合为_. 8、函数 22 22 217f xxxx的最小值为_. 9、若方程 4 40 xax的各个实根 12 , k x xx4k 所对应的点 1 4 , x xi1,2,i .,k均在直线yx的同 侧，则实数 a 的取值范围是_. 10、已知函数 2 cos3 sinyaxx的最小值为3，则实数a的取值范围是_. 2 11、已知数列 n a定义如下： 12 1,2aa， 21 21 1,2, 22 nnn nn aaan nn . 若 2013 2 2014 m a ，则 正整数m的最小值为_. 12、已知对任意的正实数，已知关于x的方程axex的解存在且唯一，记该方程的解记为lw a. 我们可以用符 号“lw”来表示一些方程的解，例如方程2tan tan x ex的解为arctan lw 2k，k. 那么方程x x 72的 解用“lw”可表示为_. 13、设ABC的内角ABC、 、所对的边abc、 、成等比数列，则 sincotcos sincotcos ACA BCB 的取值范围是_. 14、在正三棱锥PABC中，ABa，2PAa，过A做平面交平面PBC的边PB、PC分别于D、E两点. 当 截面ADE的周长最小时，ADE的周长是_. 二、二、选择题（本大题满分选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得题，每题有且只有一个正确答案，选对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 15、如果命题“坐标满足方程,0F x y 的点都在曲线C上”是不正确的，那么_. A. 曲线C上的点的坐标都满足方程,0F x y . B.曲线C上的点的坐标不都满足方程,0F x y . C.坐标满足方程,0F x y 的点有些在C上，有些不在C上. D.有不在曲线C上的点，其坐标满足方程,0F x y . 16、若复数 1 1 w w 的实部为 0，Z是复平面上对应 w1 1 的点，则点,Z x y的轨迹是_. A.一条直线B.一条线段C.一个圆D.一段圆弧 17、 22 1 1 cos 359sin 361 tt xy 2013 , k tk 所表示的曲线类型可能是_. A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线 18、设, a b，且0ab ，那么直线0axyb和曲线 22 bxayab所表示的图形可能是_. y xO O x y Ox yy xO A.B.C. D. 3 三三、解答题（本大题满分解答题（本大题满分 78 分）本大题共分）本大题共 5 题，解答下列各题须写出必要的步骤题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19、 （本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 7 分. 如右图，在三棱锥ABCP中，BCAB，kPABCAB（k是一个正 的常数） ，点O、D分别是AC、PC的中点.OP垂直于底面ABC. （1）求证：OD平行于平面PAB； （2）当 2 1 k时，求直线PA与平面PBC所成的角； （3）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰为PBC的重心？ 20、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分. 抛一枚质地不均匀的硬币n次，得到正面的概率为p，得到反面的概率为1p，随机变量表示其中得到正 面的次数. （1）写出随机变量的分布率； （2）求 1 1 的数学期望. 21、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分. 设,0P a bb 是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点1,b的直线，记Q是直线l与抛物线 2 2xpy0p 的异于原点的交点. （1）已知1a ，2b ，2p .，求点Q的坐标； （2）已知点,0P a bab 在椭圆 2 2 1 4 x y上， 1 2 p ab . 求证：点 Q 落在双曲线 22 44xy=1 上； （3）已知动点,0P a bab ， 1 2 p ab . 若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨 迹落在哪条曲线上？并说明理由. 22、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分. 已知 1 a为首项的数列 n a满足： 1 3 3 nn n n n aca a a a d . （1）当 1 1a ，1c ，3d 时，求数列 n a的通项公式； （2）当 1 01a时，1c ，3d 时，试用 1 a表示数列 n a前 100 项的和 100 S； （3）设,m d ，且满足3dm，若 1 1 0a m ， 1 c m ，求证：数列 2 1 a m ， 32 1 m a m ， 62 1 m a m ， 92 1 m a m 成等比数列当且仅当3dm. 4 23、 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 11 分. 设0a ，函数 22 2 11 13 xa f x ax 0 x . （1）当 1 3 a 时，求函数 f x的最小值； （2）证明：当 1 5 a 时，函数 f x有零点. 5 2014 年高三数学练习（二年高三数学练习（二） （参考答案）（参考答案） 一一、填空填空题（本大题满分题（本大题满分 56 分）本大题有分）本大题有 14 题，每个空格填对得题，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 1、设 3 sin112f xaxb x ，其中, a b为实常数，若lg55f，则lg20f的值为_. 【答案答案】1 【解析解析】知识点：函数函数的奇偶性 【参考解答参考解答】 由正弦函数sin是以2为周期的函数知： 3 sin112f xaxb x . 令1tx， 3 sing xaxb x（显然 g x是奇函数） ，则上式等价于 3 1sin22f tatb tg t（1 式） 在上式中，令1lg5t ，即lg5 1lg2t ，以及根据g是奇函数得： 5lg5lg22lg22fgg 这说明lg23g . 再根据 1 式，所求的lg20f即为： lg201 lg2lg221ffg . 2、在平面直角坐标系中，长度为 1 的线段AB在x轴上移动（点A在点B的左边） ，点0,1P与点A连成直线， 点1,2Q与点B连成直线，则直线PA与直线QB的交点R轨迹的直角坐标方程是_. 【答案答案】22y x 【解析解析】知识点：解析几何 【参考解答参考解答】 设,0A a，1,0B a，直线PA与QB的交点为,R x y. 当0a 时，两直线不相交，故0a . 此时直线PA和QB的方程分别为:1 PA x ly a 和 2 :1 QB lyxa a . 由此容易解得这两条直线的交 点为 2 2,R a a . 也就是R的横纵坐标分别为： 2 R xa， 2 R y a . 将2 R ax带入 2 R y a 得到点R的横纵坐标满足方程：22 RR yx ，故R点轨迹即为： 22y x . 6 3、已知关于x的方程lg2lg1kxx仅有一个实数解，则实数k的取值范围是_. 【答案答案】 ,04k 【解析解析】知识点：函数、数形结合 【参考解答参考解答】 注意到： 2 1 lg2lg1 1 x kxx kxx 由图像知： 当0k 时， 直线ykx与抛物线的一段弧 2 11yxx 仅有一个公共点， 而当0k 时， 直 线ykx与 2 11yxx 仅 有 一 个 公 共 点 的 充 分 必 要 条 件 为 直 线ykx与 抛 物 线 2 11yxx 相切，此时容易求得4k . 综上，k的取值范围为 ,04k . 4、已知ABC的外接圆半径R为 1，A、B、C的角平分线分别交ABC的外接圆于点 111 ABC、 、，则 111 coscoscos 222 sinsinsin ABC AABBCC ABC 的值为_. 【答案答案】2 【解析解析】知识点：三角函数 本题直接计算比较难，但可以通过取ABC为正三角形形，通过特殊值法得到 正确答案. 【参考解答参考解答】 如上图所示，联结 1 BA，则 11 2 A A ACABC ，故 1 2 A ABAB ，则由正弦定理以及 22 ABC 可得： 1 2sin 2 A AAB ，从而利用积化和差可得： 1cos 2sincossinsin 2222222 AAAAAAA AABBB sinsinsinsinABBCB. 同理可得 1cos sinsin 2 B BBAC、 1cos sinsin 2 C CCAB 带入所需求得表达式既得所求为 2. 7 5、甲、乙两运动员乒乓比赛在进行中，甲必须再胜 2 局才最后获胜；乙必须再胜 3 局才最后获胜，若甲、乙两人 每局取胜的概率都是 1 2 ，则甲最后获胜的概率是_. 【答案答案】 11 16 【解析解析】知识点：概率 【参考解答参考解答】 甲获胜有如下六种可能： 1）甲胜、甲胜；2）甲胜、乙胜、甲胜3）乙胜、甲胜、甲胜 4）甲胜、乙胜、乙胜、甲胜5）乙胜、甲胜、乙胜、甲胜6）乙胜、乙胜、甲胜、甲胜 其发生的概率依次为 1 1 1 111 , 4 8 8 16 16 16 . 故甲胜的概率为 11111111 48816161616 . 6、某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界） ，其边界是长轴长为2a，短轴长为2b 椭圆. 已知岛上甲、 乙导航灯的海拔高度分别为 12 ,h h， 且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计） ，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 1 、 2 ，那么船只已进入该 浅水区的判别条件是_. 【答案答案】 1122 cotcot2hha 【解析解析】知识点：圆锥曲线 【参考解答参考解答】 如右图所示，设船在点P进入浅水区（也就是P在该椭圆内部）当 且仅当 12 2PFPFa 1122 cotcot2hha. 7、若点 0 x使得 00 f xx，则我们称 0 x是函数 f x的一个不动点，那么函数 11 1f xx xx 的所有不 动点组成的集合为_. 【答案答案】 51 2 【解析解析】知识点：解方程、信息题 【参考解答参考解答】 即解方程 f xx 1111 11xxxx xxxx ，两边平方后得到： 8 222 111 12112xxxxxxx xxx 两边再平方（将 2 xx看做一个整体）可得： 22 22222 14214xxxxxxxxxx 22 222 15 211010 2 xxxxxx 显然 0 xf x， 故 15 0 2 x 应舍去， 带入检验发现 15 2 x 确实是该函数的不动点. 故 f x 的不动点全体不动点所组成的集合为 15 2 . 8、函数 22 22 217f xxxx的最小值为_. 【答案答案】17 【解析解析】知识点：函数、数形结合 【参考解答参考解答】 22 2 217xx所表示的是几何意义是抛物线 2 xy 上动点 2 ,P x x到定点 2, 17A的距离PA，而 2 x表示的则是P 到x轴的距离 P PH，其中 P H是P在x轴上的投影. 本题即要求 P PAPH的最小值. 易知A点在抛物线的上方，而 P H在抛物线的下方，如右图所示： 设 A H为A在x轴上的投影. 在图像上可以地感觉到：当P运动到AP与x轴重合，即图中的 P 点时取到 最小值. 下面我们来说明 PA PHPAAP 过P做 A PBAH，垂足为B，则PAAB（三角形斜边大于直角边） ，且 PA PHBH， 17 PAA PAPHABBHAH 故所求函数 22 22 217f xxxx的最小值为17， “”APOx，即2x . 综上，本题所求的最小值为17. 9 9、若方程 4 40 xax的各个实根 12 , k x xx4k 所对应的点 1 4 , x xi1,2,i .,k均在直线yx的同 侧，则实数 a 的取值范围是_. 【答案答案】6a 或6a 【解析解析】知识点：函数、数形结合 【参考解答参考解答】 方程的根显然不等于 0，因此 4 40 xax 3 4 xa x . 那么 4 40 xax的实根是曲线 3 yxa与曲线 4 y x 的交点的横坐标. 如右图所示， 注意到， 由于 3 yx在增长或减小的速度远大于yx （可以用严格代数语言来说明） ，且yx与 4 y x 的交点为2, 2和2,2，因此所有交点在yx同侧等 价于成立着下述的不等式组： 3 0 2 2 a xa x 或 3 0 2 2 a xa x 解得6a 或6a . 【注注】在本题中实际上根据图像（或者说是代数语言几何化）不难说明：方程 4 40 xax有且仅有两个根. 10、已知函数 2 cos3 sinyaxx的最小值为3，则实数a的取值范围是_. 【答案答案】 3 12 2 a 【解析解析】知识点：函数 【参考解答参考解答】 令sin11xtt ，于是原函数化为： 2 13g tatt . 由 g t在1,1t 内的最小值为3得： 2 133g tattt 1,1t ，故 113 10atttt1,1t 2 130tatat 1,1t 2 3a tt 1,1t （1 式） 当0, 1t 时，1 式总成立； 10 当01t 时，易得 2 02tt ，此时 2 33 2 a tt ； 当10t 时，则易得 2 1 0 4 tt ，此时 2 3 12a tt ； 故我们得到 3 ,12 2 a . 反之，对任意的 3 ,12 2 a ，我们要验证y确实可以取到最小值3： 22 3 3sinsin3sinsin0yaxxxx a （2 式） 又此时 2 sinsinxx的值域为 1 ,2 4 、而此时 31 ,2 4a ，因此确实存在实数x使得 2 式成立. 综上所述，a的取值范围为 3 12 2 a. 11、已知数列 n a定义如下： 12 1,2aa， 21 21 1,2, 22 nnn nn aaan nn . 若 2013 2 2014 m a ，则 正整数m的最小值为_. 【答案答案】4029 【解析解析】知识点：数列 【参考解答参考解答】 21 21 22 nnn nn aaa nn 21 221 nnn nanana ，记 nn bna，则可得 211nnnn bbbb 即 n b成等差数列，且 11 11ba ， 22 24ba知：32 n bn，故 2 3 n a n . 那么 20132201321 2324029 201420142014 m am mm 故使得 2013 2 2014 m a 的最小的正整数m为4029. 12、已知对任意的正实数，已知关于x的方程axex的解存在且唯一，记该方程的解记为lw a. 我们可以用符 号“lw”来表示一些方程的解，例如方程2tan tan x ex的解为arctan lw 2k，k. 那么方程x x 72的 解用“lw”可表示为_. 【答案答案】 2 ln2 loglw 7 xe 11 【解析解析】知识点：等式 【参考解答参考解答】 令2lnxy，则 1 27ln2 7 xy xye . 原因是基于如下的等式： ln2 11 272 77 xxx xxxe ln2 1 ln2ln2 7 x xe 又02ln 7 1 ，则根据已知：2ln 7 1 y ey有惟一解. 再由题设中所给出的记号，该解可写为 ln2 lw 7 y . 故 2 ln2ln2 ln2lwloglw 77 xxe 也就是27 x x 的解为 2 ln2 loglw 7 xe . 13、设ABC的内角ABC、 、所对的边abc、 、成等比数列，则 sincotcos sincotcos ACA BCB 的取值范围是_. 【答案答案】 5151 , 22 【解析解析】知识点：三角函数、不等式、数列 【参考解答参考解答】 设abc、 、的公比为q，则baq， 2 caq而 sincotcossincoscossin sincotcossincoscossin ACAACAC BCBBCBC sinsinsin sinsinsin ACBBb q BCAAa . 因此，所求的即为公比q的取值范围 又因为abc、 、成等比数列，故最大边只能是a或c，因此abc、 、要构成三角形的三边，当且仅当 abc（c为最大边时）且bca（a为最大边时）. 即有不等式组 2 2 abcaaqaq bca aqaqa 2 2 10 10 qq qq 1551 22 5151 22 q qq 或 从而 5151 22 q ，因此所求的取值范围是 5151 , 22 . 14、在正三棱锥PABC中，ABa，2PAa，过A做平面交平面PBC的边PB、PC分别于D、E两点. 当 截面ADE的周长最小时，ADE的周长是_. 【答案答案】 11 4 a 12 【解析解析】知识点：立体几何 【参考解答参考解答】 图 14-1图 14-2图 14-3 题目中的截面以及截面ADE如图 14-1 所示. 其中2PAPBPCa，ABBCAC. 我们将这个正三棱柱沿PA打开，得到的图形如图 14-2 所示. 注意到：展开后的图形如图 14-2，则ADE的周长为 （图 14-1 中）ADDEAEADDEA E（图 14-2 中） 故最周长应该就是 AA 的长度，其中ADEA四点共线. 下面我么计算 AA . 我们提供两种做法： 方法一：如图 14-3 所示，过B、C分别作 B BH AA 、 C CH AA ，垂足分别为 B H、 C H. 先计算 B ABH的正弦值. 注意到2ABCPBC ，而容易求得 1 cos 4 PBC，故 2 7 sincoscoscos21 2cos 28 BB ABHABHABCPBCPBC 那么 11 22sin 4 BBCCBB AAAHH HA HAHBCABABHBCa 方法二：如图 14-3 所示，设 AA 与PB、PC分别交于F、G. 则易知/ /AABC，故AFBFBCABP ，从而AFABa，同理有A Ga. 又由两个内角相等可知：AFBPCB，相似比为 1 2 AB PB ，故 1 22 a FBBC. 此时有 3 4 FGPFPBBF BCPBPB 故 3 4 FGa，因此 11 2 4 AAAFFGa . 综上，截三角形周长最小时，该截面三角形的周长为 11 4 a. 13 三三、解答题（本大题满分解答题（本大题满分 78 分）本大题共分）本大题共 5 题，解答下列各题须写出必要的步骤题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19、 （本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 7 分. 如右图，在三棱锥ABCP中，BCAB，kPABCAB（k是一个正 的常数） ，点O、D分别是AC、PC的中点.OP垂直于底面ABC. （1）求证：OD平行于平面PAB； （2）当 2 1 k时，求直线PA与平面PBC所成的角； （3）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰为PBC的重心？ 【解析解析】知识点：立体几何 【参考解答参考解答】 我们这里仅提供几何的做法，建立空间直角坐标系的方法这里不加赘述. （1）由于O、D分别是AC、PC的中点，故OD为APC边AP上的中位 线，因此/ /ODAP. 又由于AP在面APB中，故OD平行于平面PAB. （2）如右图所示：BCAB，OCOA，OBOCOA（直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半） 又OP面ABC，故有 222222 PBOBPOOAPOPA 即PAPB，同理可得PCPB，PCPBPA 取BC中点E， 连接PE， 则由BCPO，BCOE（OE是等腰三角形OBC的中线） 得BC面OPE. 做PEOF 于F，则OF在面ABC上的投影为OE，故根据三垂线定理可得OFBC，故OF 面PBC 因此OFDF. 连结DF，由于/ /ODAP，故ODF是AP与平面PBC的夹角. 下面我们来计算ODF. 由已知的比例关系，可不妨设1 BCAB，2PCPBPA. 则1 2 AP OD， 2 1 2 AB OE， 则易得： 2 7 2 1 4 22 OAAPOP，故 22 15 2 PEOEOP，则 7 30 OP OE OF PE . 在直角ODF中， 30 210 sin OD OF ODF，故PA与平面ABC的夹角即为 30 210 arcsin. （3）由第二小问的前半段过程，我们所做的OF垂直于平面PBC，故F就是O在平面PBC内的射影. 若F为重心，由ED、分别为BCAC、的中点可以知道：DFB、共线. 又易得OB 面PAC，故PCOB. 而O面PBC中的射影为F，那么根据三垂线定理PCBD，故 BD既是PC边上的中线又是高，故BCPB，结合PBPA得到1k . 反之，1k时，三棱锥ABCO为正三棱锥，故O在平面PBC内的射影恰为PBC的重心. 14 20、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分. 抛一枚质地不均匀的硬币n次，得到正面的概率为p，得到反面的概率为1p，随机变量表示其中得到正 面的次数. （1）写出随机变量的分布率； （2）求 1 1 的数学期望. 21、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分. 设,0P a bb 是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点1,b的直线，记Q是直线l与抛物线 2 2xpy0p 的异于原点的交点. （1）已知1a ，2b ，2p .，求点Q的坐标； （2）已知点,0P a bab 在椭圆 2 2 1 4 x y上， 1 2 p ab . 求证：点 Q 落在双曲线 22 44xy=1 上； （3）已知动点,