第八章-线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数

第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数(P148),基本内容:常点和正则奇点邻域上的幂级数解法;勒让德多项式、贝塞尔函数等特殊函数;非齐次方程的通解.本章难点:正则奇点邻域上的幂级数解法.本章既是本课程下篇的基础,也是学习近代物理的基础,所以学好本章具有重要意义.,2020/5/30,第八章,2,8.1常点邻域方程的级数解勒让德方程,1常点邻域方程的级数解2勒让德方程,2020/5/30,第八章,3,1常点邻域方程的级数解,方程的一般形式,定解条件：,(8.1),（8.2）,为应用解析函数理论设p(z)、q(z)、y(z)是分别由p(x)、q(x)、y(x)唯一确定的复变函数.为了书写方便变量仍记作x.,2020/5/30,第八章,4,1)方程的常点：,在,是解析的，则,2)解的存在和唯一性定理：设函数,在,则(8.1)存在唯一的满足条件(8.2)的解析函数,3)求解步骤：,b)将,、,、,在,并比较(x-x0)的同幂项系数，给出系数ak的递推公式；,称为方程的常点。,内是解析的，,.,；,c)运用系数递推公式，将系数确定至两个积分常数；,上的幂级数展开式代入方程，,d)讨论.,确定x0为方程常点，设,2020/5/30,第八章,5,2勒让德方程,在第十二章“球坐标系下的分离变数法”中，勒让德多项式和球函数要用此处结果，在那里,取值待定、而,1)同一般形式比较,均在,上解析，故,是方程的常点,x0=0.,2020/5/30,第八章,6,2)设,将以上诸式代入勒让德方程，得,的系数：,2020/5/30,第八章,7,3)定系数：,2020/5/30,第八章,8,4)讨论：解在,上是绝对且一致收敛的，在物理上需要考虑,处的收敛问题，P151具体论证了y0(x)在x=1发散,所以,要求,有限值,是数学问题有物理意义的必然要求.,，,y0(x)退化为l=2n次多项式,y1(x),仍发散舍去；,：,多项式,y0(x)仍发散舍去.,总之,l=整数：方程的两个特解中有一个退化为l次多项式(l阶勒让德多项式),另一个发散级数解舍去.,.,y1(x)退化为l=2n+1次,2020/5/30,第八章,9,5),阶勒让德多项式,上式中k=1,2,2020/5/30,第八章,10,若选取,则使得yl(1)=1,此时yl(x)称为l阶勒让德多项式,由上式易得，,、,、,、,注:本征值问题,本征值：,本征函数：,Pl(x)的表达式在第十二章中要用,、,2020/5/30,第八章,11,8.2正则奇点邻域方程的级数解柱贝塞尔方程(P153),1.正则奇点邻域方程的级数解,4.柱贝塞尔方程(m=0或整数的情况),2.柱贝塞尔方程(,和正整数的情况),3.柱贝塞尔方程(m=半整数的情况),2020/5/30,第八章,12,1正则奇点邻域方程的级数解,（1）,（2）,当,(1)与(3)总是线性无关的,2)在正则奇点邻域上方程幂级数独立解,或,（3）,1)方程的奇点x0:是p(x)高于一阶或q(x)高于二阶的极点.正则奇点x0:(Fuchs富克斯定理)是p(x)不高于一阶的极点或q(x)的不高于二阶的极点.在奇点x0邻域上运用级数解法是不方便的,故本课程只研究正则奇点邻域上的幂级数解.,2020/5/30,第八章,13,3)指标方程,p-1是p(x)在,上展开式中的负一次幂项系数,上展开式中的负二次幂项系数,a)判定x0为正则奇点,代入方程各幂次系数为零,c),s1-s2=非整数，取系数递推公式中s=s1、s2分别给出y1、y2；,若s1-s2=整数，仍取系数递推公式中s=s1、s2分别给出y1、y2，,d)必要的讨论.,4)求解步骤：,b)将,若二者线性相关，则另取,代入方程从头开始；,q-2是q(x)在,2020/5/30,第八章,14,思考与讨论题,1.何谓方程的常点？在常点邻域方程的幂级数解有怎样的形式？2.二阶线性齐次常微分方程在常点邻域的幂级数解法的主要步骤有哪些？其中要注意的要点是哪些？作业：p175：8.1(1)、(3)，8.2,2020/5/30,第八章,15,2柱贝塞尔方程(,和正整数的情况),(在柱坐标系、球坐标系中求解定解问题时将遇到),在区域,上解析，显然x0=0是,的单极点，q(x)的二阶极点，所以x0=0是方程的正则奇点；,1),2)设,2020/5/30,第八章,16,而,系数递推公式,，(k=1,2,),c0任意，s1=m,s2=-m,s1-s2=2m0或正整数,2020/5/30,第八章,17,2),给出,如下,其中利用了,取,则,m阶贝塞尔函数；,给出第二个特解：-m阶贝塞尔函数,类似取,2020/5/30,第八章,18,a)若m是非整数与非半整数时，,与,线性独立，通解,b)m阶贝塞尔函数,中m的对任何实数都适用，只是,与,线性相关.,当m=整数时,3)讨论：,2020/5/30,第八章,19,3柱贝塞尔方程(m=半整数的情况),先讨论,的情况：,:,c0任意,所以,2020/5/30,第八章,20,当取:,时，推导同2，可得,当取,时，常数,任意,2020/5/30,第八章,21,则,1)可以验证：,显然它与,线性无关,所以,方程的通解为,因此,在保证,与,线性独立的前提下,可取,则,2)对,的情况，可知,与,线性独立，则,阶贝塞尔方程的通解为,的初等函数表示见第十三章P285286.,；,阶贝塞尔,讨论：,则,2020/5/30,第八章,22,4柱贝塞尔方程(,或整数的情况),=,(当k+1-m=0或负整数时，(k+1-m),它与,线性相关,所以第二个特解应取为:,经过P161164的推导(推导过程较为复杂,故不作要求),可得与,线性独立的第二个特解为,阶诺依曼(Neumann)函数,所以当m为0或正整数时，m阶贝塞尔方程的通解为,综上所述：只要,是实数，通解总可以写成上式,2020/5/30,第八章,23,8.3高斯方程和库默尔方程(P167)8.4非齐次方程的通解(P172),非齐次方程：,相应的齐次方程：,1齐次方程的通解2非齐次方程的通解,（1）,（2）,2020/5/30,第八章,24,若已知第一个特解为y1(x),则齐次方程的通解为,只所以为通解,是因为上式中含有两个不定积分;若两个不定积分改为带有固定下限的积分，则上式为与y1独立的第二个特解.,（3）,由y1、y2组成的朗斯基行列式：,证明:设y1、y2是独立特解，则,（4）,1齐次方程的通解,2020/5/30,第八章,25,再由(3)、(4),证毕.,2020/5/30,第八章,26,2非齐次方程的通解,含有两个积分常数是方程(1)的通解;而y1、y2分别是(2)的两个线,性独立特解.设y3是(1)的任意特解,（5）,y1上式-y3(3)式，,令,，则上式成为,为求,作如下代换：,，,2020/5/30,第八章,27,则上方程化为：,而,由(5)与(6)式,=,（6）,2020/5/30,第八章,28,由齐次方程的第二个特解,此式中含有两个不定积分，所以实际上是非齐次常微分方程的通解.,证毕.,2020/5/30,第八章,29,例求方程,解:化为一般形式(必须),易得:,齐次方程的通解，,所以第二个特解为