复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第二章函数概念与基本初等函数复习指导理pdf

第二章 函数概念与基本初等函数 9 第第第第第 二 二二二二 章 章章章章 函数概念与基本初等函数 内容 要求 ABC 函数概念与基 本初等函数 函数的概念 函数的基本性质 指数与对数 指数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 函数是高中数学中极为重要的核心内容, 自然也是高考 考查的重中之重.函数从数量关系上反映了现实世界中变量 间的相互依存、 相互制约的变化规律.用集合、 映射观点来解 释函数概念比初中传统的函数定义深刻, 紧紧地抓住了映射 是一种特殊的对应、 函数是一种特殊的映射这个本质来研究 函数, 这是常量数学到变量数学的一个飞跃.因此, 函数的复 习应以理解、 运用函数的概念、 性质和函数的思想为主.当 然, 一些函数问题也涉及较多的运算, 要求我们掌握一定的 运算技能, 但切忌淹没在繁琐的计算和技巧中, 忽视对基本 概念的理解和思想方法的领悟. 纵观近年来的高考试题, 高考考查的内容几乎覆盖了中 学阶段的所有函数, 如一次函数、 二次函数、 反比例函数、 指 数与对数函数, 还有三角函数等, 也涉及了函数的所有性质, 且以考查三基、 通性通法为主.在小题、 解答题中每年都有函 数试题, 通常有3至4道小题,1至2道解答题(2 0 1 0年江苏 卷有1道函数大题,2 0 1 1年江苏卷有2道函数大题,2 0 1 2年 江苏卷有1道函数大题,2 0 1 3年江苏卷有1道函数大题, 2 0 1 4年江苏卷有1道函数大题, 其他省的高考试题中函数所 占的分值也比较大) , 考查的热点之一是函数的定义域、 值 域、 单调性、 奇偶性以及函数的图象及其变换; 在考查函数内 容的同时也注重考查能否用函数的思想观察问题、 解决问 题, 能否充分理解并运用函数模型.例如2 0 0 8年江苏高考第 1 3题求三角形面积的最大值问题, 就可以归结为求函数的最 大值; 又因函数、 方程、 不等式、 导数是相互关联的, 应学会对 具体问题进行分析, 进而建立相应的函数、 方程、 不等式模型, 最终解决问题, 这是本章的又一个重要内容, 也是高考命题的 又一个热点.此外, 函数具有极其丰富的内涵, 高考中常以基 本函数为载体, 考查其他的重要的数学思想方法, 比如化归 思想、 数形结合思想、 分类讨论思想和配方法、 换元法等. 注意把握考试说明要求, 如对“ 幂函数” 和“ 函数与方程” 的要求是A级, 这与“ 江苏省高中数学教学要求” 是一致的. “ 幂函数” 部分只须了解几个常见的幂函数的图象及性质; “ 函数与方程” 部分重在理解和运用函数与方程的联系, 体会 函数思想对于探讨方程的根等问题的作用.此外, 由于函数思 想的重要性以及它与其他内容的多向联系, 高考仍然会作多 层次多角度的考查, 且在填空题或解答题的后面部分, 极可能 出现接近或相当于C级要求的问题( 如2 0 1 0年江苏省高考第 2 0题,2 0 1 1年江苏省高考第1 9题,2 0 1 2年江苏省高考第1 8 题, 2 0 1 3年江苏省高考第2 0题,2 0 1 4年江苏省高考第1 9题). 预计在未来高考中, 函数仍然是考查的重点, 必考大题, 出现与导数结合的综合题可能是近年来高考命题的一个新 趋向. 1 .对本章的概念要特别重视理解和掌握.本章概念多, 具有较高的抽象性和严密性, 只有准确、 深刻地理解它们, 才 能用于解决问题.要在结合具体函数、 函数图象和实际应用 的基础上进行概括, 深入理解概念的本质和来龙去脉, 并学 会用适当的数学语言和形式加以准确表达. 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 0 2 .抓住重点, 学会比较.如掌握函数的单调性、 奇偶性 的判断方法和步骤; 对于各种基本初等函数, 通过比较, 掌握 它们的图象、 性质等方面的异同, 从而避免混淆, 使知识融会 贯通, 形成网络. 3 .以函数知识为依托, 强化思想方法的训练.如数形结 合的思想方法是本章的一条主线, 即利用函数图象的直观性 研究函数的性质, 帮助解决问题. 4 .深刻理解函数思想的价值, 加强与其他各章知识的 联系, 才能灵活地加以运用.函数的思想贯穿于中学代数的 始终, 代数式、 方程、 不等式、 数列等, 都可以从函数的观点加 以理解, 因此要加强函数、 不等式、 数列等各章之间的知识联 系和函数思想方法的训练. 第4课时 映射、 函数 与定义域 内 容 要 求 ABC 函数与定义域 1 .了解映射的概念, 会判断一个对应是否为映射.对映 射概念的学习要求很低, 只需初步了解一般集合之间的对 应, 不必做深入的探讨, 通常结合函数概念加以理解. 2 .结合具体函数及其应用, 从对应的观点来理解函 数的概念和构成函数的要素( 定义域、 值域、 对应法则) , 并体会函数是描述现实世界数量关系和变化规律的数学 模型. 3 .关于求函数的定义域, 根据课程标准的要求, 只需针 对一些简单函数, 应避免“ 人为地编制一些求定义域和值域 的偏题”. 1 .设A,B是非空集合, 如果按照某种对应法则f, 对于集 合A中的任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的 元素和它对应, 那么就称f:AB为从集合A到集合B 的一个映射. 2 .设A,B是非空数集, 如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有 唯一确定的数和它对应, 那么就称f:AB为从集合 A到集合B的一个函数.由定义可见, 函数是一种特 殊的映射. 3 .函数用来描述变量之间的依赖关系, 一个函数由对应法 则、 定义域、 值域三个要素构成. 4 .已知下列三个函数: (1)y=f( x) g(x) ; ( 2)y= 2nf( x)(n为 正整数) ; ( 3)y=l o gf(x)g(x).写出各个函数有意义时 f(x) ,g(x) 满足的条件: (1)g(x)0; (2)f(x)0; ( 3)f(x)0,f(x)1且g(x)0 . 1 .设集合A=a,b , 集合B=1,2,3 , 下列对应: f:a 1,b 3; h:a 1,b 1; g:a 1,b 2,3; k:a 1 . 其中是映射的有.( 填序号) 2 .已知函数f(x)= 2x+3,x0, 9-x 2 0, 即 x2或x0, -3x3, 解得-3x0或2 1 2, x1, x 3 2, 解得1 2 0时, 有( a-1) 2-4( a 2-1)2 a+10 , 解得10 ,f:xy= 1 x 2; A=R,B=R,f:xy=2x+1 . 2 .( 根据必修1 P 4 3习题2 . 1(3) 第8题改编) ( 1)若B=-1,3,5 , 试找出一个集合A, 使得f:x 3x+1是集合A到集合B的映射. 答案: A=-2 3, 2 3, 4 3 ( 2)若A=-1,3,5 , 试找出一个集合B, 使得f:x 3x+1是集合A到集合B的映射. ( 答案: 如 -2,1 0,1 6 ,答案不唯一, 可以再在集 合B中增加一些元素) 3 .求下列函数的定义域: ( 1)( 根据必修1 P 9 3复习题第1(4) 题改编)f(x)= x-2+ 1 x-4 ; 答案: 2,4)(4,+) ( 2)( 根据必修1 P 9 3复习题第1 2(1) 题改编)f(x)= l o g2(7- 3x) ;答案: -,7 3 ( 3)( 根据必修1 P 9 3复习题第1 2(2) 题改编)f(x)= 1 3 x -2 7; ( 答案: (-,-3) ( 4)( 根据必修1 P 9 3复习题第1 2(1) 题改编)f(x)= l o g2(4-3x-x 2) .( 答案: (- 4,1) ) 第二章 函数概念与基本初等函数 1 3 第5课时 函数的 解析式 内 容 要 求 ABC 函数的解析式 1 .了解函数的三种表示方法, 其中解析式是函数的一 种最重要的表示方法; 会求简单函数的解析式. 2 .这部分内容单独考查的可能性不大, 常通过具体问 题找出变量之间的函数关系, 再求出函数的定义域和值域, 进而研究函数的性质. 1 .对于函数, 我们有三种表示法, 分别是解析法、 图象法、 列 表法. 2 .已知fg(x) 的表达式, 求f(x) 的解析式常用配凑法、 换元法. 3 .已知函数的模型( 如指数函数、 二次函数等) 求解析式的 一般方法是待定系数法, 即先设出函数解析式, 然后根据 题设条件求待定系数. 1 .已知函数f(x)= 2x 2+ 3 x. ( 1)f(2)= 1 4,f(- 2)= 2; ( 2) 若f(x)= 2, 则x=- 2,1 2. 2 .设f(x)=x-1 x+1 , 则f(x)+f 1 x =0 . 3 .已知f(x)=x 2-4 x, 则f(x+ 2)=x 2- 4 . 4 .已知f(x+2)=2x+3, 则f(x)= 2x-1 . 5 .已知f(x)= 1 2 x+1,x0, -(x-1) 2, x0, 则使f(x)-1成 立的x的取值范围是-4x2 . 1 .函数解析式的常见求法 例1 在下列条件下, 分别求函数f(x) 的解析式: ( 1)已知f(x) 是一次函数, 且满足3f(x+1)- 2f(x- 1)=2x+1 7; ( 2)已知f x+ 1 x =x 3+1 x 3; ( 3)已知f 2 x +1 =l gx; ( 4)已知等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+ 1) 对一 切实数x,y都成立, 且f(0)=1 . 点拨 求函数f(x) 的解析式常用换元法、 待定系数法、 配方 法、 赋值法, 视已知条件的特点而定. 解 (1)设f( x)=a x+b(a0) , 代入3f(x+1)-2f(x-1)=2x+1 7得 a x+5a+b=2x+1 7 . 比较对应项系数得a=2,b= 7, f(x)=2x+7 . ( 2)由f x+ 1 x =x+ 1 x 3 - 3x+ 1 x , 得f(x)=x3-3x(x-2或x2). ( 3)令t=1+ 2 x , 则x= 2 t-1 ,f( t)= l g 2 t-1 , f(x)= l g 2 x-1 ( x1). ( 4)令x=0, 则已知等式化为 f(-y)=f(0)-y(0-y+ 1) , 即f( -y)=y 2-y+1 . 令x= -y, 则f(x)=x2+x+1 . 反思 第( 1) 题中已知函数是一次函数, 可以用待定系数法, 一 般地, 若已知函数的特征, 则常用用待定系数法; 第( 2) ( 3) 题用的是换元法、 配凑法; 第(4) 题用的是赋值法. 提醒 求函数的解析式要注意自变量的范围, 如本例的第 ( 3) 题. 拓展 1 .若二次函数f(x) 满足f( 2x)+f(3x+1)= 1 3x 2+ 6 x-1, 求f(x) 的解析式.( 答案:f(x)= x 2- 1) 2 .已知f 1-x 1+x = 1-x 2 1+x 2,则f( x) 的解析式 为f(x)= 2x x 2+ 1( x- 1). 2 .利用对称性求函数的解析式 例2 已知函数y=7x2-x与y=g( x)的图象关于 点( 3,-2) 对 称, 求g(x) 的解析式. 点拨 可利用点的对称求函数的解析式. 解 设函数g(x) 图象上任一点M(x,y) , 点M(x,y) 关于 点( 3,- 2) 的对称点为P(x1,y1). 由题意可得 x+x1 2 =3, y+y1 2 = -2, 解得 x1=6-x, y1= -4-y. 代入y1= 7x2 1-x1,得-4 -y=7(6 -x) 2-( 6 -x) , y= -7x 2+8 3 x-2 5 0 . 因此g(x) 的解析式为g(x)= -7x2+8 3x-2 5 0 . 反思 求与已知函数y=f( x) 的图象关于点(a,b) 对称的 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 4 图象相应的函数解析式g(x) 时, 可由对称点的坐标 之间的关系, 得g( x)=2b-f(2a-x).关于直线对 称也可利用对称点的坐标之间的关系. 拓展 已知函数y=4 x +2x的图象与函数y=g( x) 关于 直线x= -3对称, 求g(x) 的解析式.( 答案:g(x) =4 - 6 -x -2x-1 2) 3 .求实际问题中函数的解析式 例3 等腰梯形A B C D的两底分别为A D=2a,B C=a, B A D=4 5 , 作直线MNA D于点M, 交折线 A B C D于点N.记AM=x, 试将梯形A B C D位于直线 MN左侧的面积y表示为x的函数. ( 例3) 解 作B HA D,H为垂足, 作 CGA D,G为垂足.依题 意, 则有A H= a 2, A G= 3 2 a. 当点M位于点H的左 侧时,NA B, 由于AM =x,B A D=4 5 , MN=x,y=SA MN= 1 2 x 2 0x a 2 . 当点M位于点H,G之间时, 由于AM=x, MN= a 2, B N=x-a 2, y=S直角梯形A MN B= 1 2 a 2 x+x-a 2 = 1 2 a x-a 2 8 a 2 0, 2R-x 2 R 0, 解得0yf(x) f(y). ( 1)证明f(1)= 0; ( 2)证明f x y =f(x)-f(y) ; ( 3)求f(4) 的值; ( 4)如果f(x)+f(x-3)2, 求x的取值范围. 点拨 对于抽象函数可以利用赋值法, 化抽象为具体.本题 应充分利用f( x y )=f( x)+f(y) , 并结合x yf(x)f(y) 考虑函数的单调性. 解 (1)令x=y=1, 由得f( 1)=f(1)+f(1) , f(1)= 0 . ( 2)x= x y y, 由得f(x)=f x y +f(y) , f x y =f(x)-f(y). ( 3)令x=y=2,由得f(4)=f(2)+f(2)=2 . ( 4)由f(4)=2及题意得f(x)+f(x- 3)f(4) , fx(x-3) f(4) , x0, x-30, x(x-3)4, 解得30, 2 x, x0 . 若f( a)= 1 2, 则a= -1或2. 1 .求函数解析式常用换元法、 配凑法、 待定系数法、 赋 值法, 要能根据不同特征选择合适的方法.其中换元法和配 凑法基于对函数定义中对应思想的理解, 待定系数法适用于 第二章 函数概念与基本初等函数 1 5 已知或能确定函数解析式结构特征的情形, 赋值法一般适用 于由抽象函数方程给出的条件. 2 .求实际问题中函数的解析式, 要注意理解实际问题 的意义, 将其中的数量关系转化为函数关系, 必要时要借助 数学的其他知识, 如平面几何、 方程、 三角等; 此外, 要注意自 变量及参数的意义及取值范围. 1 .( 根据必修1 P 2 9习题2 . 1(1) 第5题改编) 已知函数 f(x)=a x+b, 且f(3)=0,f(5)=2, 则f(0)=- 3, ff(1) =- 5 . 2 .( 根据必修1 P 3 2习题2 . 1(2) 第1 0题改编) 已知f(1)= 1,f(2)= 0,则满足这两个条件的一个函数解析式 为f( x)= -x+2 . 3 .( 根据必修1 P 2 4练习第5题改编) ( 1) 已知f(x)= 1 x , 则f(n +1)-f(n)= - 1 n 2+n; ( 2) 二次函数f(x) 满足f(x+ 1)-f(x)=2x, 且f(0)= 1, 则f(x)=x 2-x+1 . 4 .( 根据必修1 P 2 9习题2 . 1(1) 第8题改编) 已知函数 f(x) ,g(x) 分别由下表给出: x123 f(x)213 x 123 g(x) 131 则f g(2) 的值为3, 不等式fg(x) 0时, 值域为 4a c-b 2 4a ,+; 当 a0,a1) 的值域为(0,+) , 对 数函数y=l o g ax(a0,a1)的值域为(-,+ ). 1 .已知函数y=x 2-2 x+2,x-3,2 , 则该函数的最 大值为1 7, 最小值为1 . 2 .函数y=-x 2-6 x-5的值域为0,2. 3 .函数y=2 x -1的值域是(- 1,+) . 4 .函数y= |x-3 | - |x+1 |的值域是- 4,4. 5 .已知函数y=x 2-2 x+3在区间0,m 上的最大值为 3, 最小值为2, 则m的取值范围是1,2. 6 .已知下列命题:y=2 1 x- 1的值域是( 0,+) ;y= 1-x 2 的值域是 0,1 ;y=x+3+x的值域是 - 3,+) ;y=x+1 x 的值域为 2,+).其中是 真命题的有.( 填序号) 1 .函数值域的求法 例1 求下列函数的值域: ( 1)y= 1 x+1 ,x -5,-3 ; ( 2)y=2 x-1 x+1, x3,5 ; ( 3)y=2 x 2-x+1 2x-1 ,x 1 2, + ; ( 4)y=x-x; ( 5)y=2x-3+1 3-4x; ( 6)y=x-3+5-x. 点拨 第(2) 题中的分式比较复杂, 可以通过分解转化为类 似第( 1) 题的较简单的问题求解; 第(3) 题可先拆项, 去掉平方后再运用基本不等式求解; 第( 4) 题与第(5) 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 6 题含有根号, 应设法去掉根号, 如第( 5) 题中, 可将 1 3-4x用t代替, 则有t0,x=1 3- t 2 4 ; 第( 6) 题可考虑平方后转化为求二次函数的值域. 解 (1)当x - 5,- 3 时,x+ 1 - 4,- 2 , 函数y= 1 x+1在x - 5,- 3 上单调递减, 所以它的值域 为 - 1 2, - 1 4 . ( 2)方法一: 利用初等函数的图象和性质( 化简画 图截取结论). ( 例1) y= 2x-1 x+1 =2- 3 x+1 ,x 3,5.将 y= -3 x 的图象向左 平移1个单位, 再向上 平移2个单位, 即得y =2- 3 x+1的图象. 由图象得函数在 3,5 上是增 函数, 求得ym a x= 3 2, ym i n= 5 4. 故函数的值域为 5 4, 3 2 . 方法二: 先用定义法或导数法证y=2 x-1 x+1 在x 3,5 上是增函数. y =2 ( x+1)-(2x-1)1 ( x+1) 2 = 3 ( x+1) 2, 故 y 0 , 于是y=2 x-1 x+1 在(-,- 1) 和( - 1,+) 上分 别为增函数. 由此求得ym a x= 3 2, ym i n= 5 4, 故函数的值域 5 4, 3 2 . ( 3)y=2 x 2-x+1 2x-1 =x( 2x-1)+1 2x-1 =x+ 1 2x-1 =x- 1 2 + 1 2 x- 1 2 + 1 2. x 1 2, x-1 2 0,x-1 2+ 1 2 x- 1 2 2x- 1 2 1 2 x- 1 2 = 2, 当且仅当x-1 2 = 1 2 x- 1 2 时, 即x= 1+ 2 2 时 等号成立. y2 + 1 2, 原 函 数 的 值 域 为 2+ 1 2, + . ( 4)设x=t(t0) , 则y=t 2- t=t- 1 2 2 - 1 4( t 0) , 所以y- 1 4, 即所求函数的值域为 - 1 4, + . ( 5)设1 3-4x=t(t0) 则x=1 3- t 2 4 , 所以y= -1 2( t- 1) 2+ 4( t0) , 所以y4, 所以函数的值 域为( -,4. ( 6)由 x-30, 5-x 0 得3x5,函数的定义域为 3,5. 又y 2 = 2 + 2 ( x-3) (5-x)= 2 + 2 1-(x -4) 2, 当x=4时, y 2 m a x=4; 当x=3或5时,y 2 m i n=2 . 2y 24 .y0, 2y2, 所给 函数的值域为2,2. 反思 (1)高考复习, 一定要重视基础知识.例如, 第(1) 题 看起来很简单, 但它是第( 2) 题的基础, 因为第(2) 题 中的复杂函数可以分解为基本函数, 体现了数学中 化繁为简、 化整为零的基本思想; 另外, 导数工具是 强有力的通用方法, 因为求函数值域本质上是求函 数的最大最小值, 后者常可用导数求解.如在本题 中, 运用导数法可以免去分式的变形技巧, 详见导数 应用部分.(2)应用换元法要注意新元的取值范围 和换元以后的可操作性.第(5) 题中换元法之所以可 行, 本质是基于( 5) 的两式中, 前者与后者有近似平 方的关系: y= - 1 2( 1 3-4x)+1 3-4x+1 3 2 -3 . 拓展 1 .对于求形如y=a x+b+ c x+d的值域问题, 常用换元法. 2 .已知a为实数, 函数f(x)=a1-x 2+ 1+x +1-x, 令t=1+x+1-x, 求t的取值 范围, 并把f(x) 表示为t的函数m( t).( 答案:t的 取值范围是 2,2 ,m( t)= 1 2 a t 2 +t-a, t2,2 ) 2 .求函数的最值 例2 已知函数f( x)=x 2+2 x+a x ,x 1,+). ( 1)当a= 1 2 时, 求函数的最小值; ( 2)如果对任意x1,+) ,f(x)0恒成立, 求 实数a的取值范围. 第二章 函数概念与基本初等函数 1 7 点拨 当a= 1 2 时, f(x)=x+ 1 2x+ 2 , 可以利用函数单调 性求最值; 对任意x1,+) ,f(x)0恒成立 可以转化为函数的最小值大于零. 解 (1)当a= 1 2 时, f(x)=x+ 1 2x+2 . 可以证明f(x) 在区间1,+) 上为增函数, 所以f( x) 在区间1,+) 上的最小值为f(1)= 7 2. ( 2)在区间1,+) 上,f(x)0恒成立等价于x 2+ 2x+a 0恒成立. 设y=x2+ 2x+a,x 1,+).当x=1时,y 有最小值3+a, 由3+a0得a-3 . 所以实数a的取值范围a- 3 . 反思 第(1) 题实际上是形如f( x)=x+a x ( a0) 的函数 单调性的问题, 以下结论可利用单调性定义或导数法 证明: 函数f(x)=x+a x ( a0) 在(-,-a 和a,+)上是增函数,在 -a,0)上和(0, a 上是减函数.第(2) 题是采用等价转化思想, 将问 题转化为一元二次不等式恒成立问题. 提醒 对于第(1) 题, 有同学由f( x)=x+ 1 2x +2 2x 1 2x + 2= 2+2, 得f(x) 的最小值为2+ 2, 错在x= 1 2x, 即x = 2 2 0, 0, 即 m0, ( -6m) 2-4 m(m+8)0, 解得0m1 . 综上, 0m 1 . ( 2)当m=0时,y=22; 当0 0). ( 2)x0, 2 2 5x+3 6 0 2 x 2 2 2 53 6 0 2 =1 0 8 0 0, y=2 2 5x+3 6 0 2 x -3 6 01 0 4 4 0, 当且仅当2 2 5x=3 6 0 2 x , 即x =2 4m时, 修建围墙的 总费用最少 , 最少费用1 0 4 4 0元. 反思 在求解实际问题的过程中, 要特别注意函数的定 义域. 1 .本课时介绍了求函数值域、 最值的常用方法, 有配方 法、 换元法、 导数法、 单调性法等, 以单调性法和导数法最为 基本和重要, 应视具体问题的特点采用不同的方法.此外还 有不等式法、 数形结合法( 在线性规划问题中比较突出) ; 对 于三角函数, 还可以利用三角函数的有界性, 详见三角部分. 2 .求最值和值域常为等价的问题, 可以相互转化.对于 一般的连续函数, 函数的值域就是介于最小值与最大值之间 的所有实数构成的数集; 而函数的最值也可以通过求值域中 数的最大值或最小值获得( 即求出函数值的取值范围). 如2 0 0 8年江苏高考题:x,y,zR*,x-2 y+3z= 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 8 0, y 2 x z 的最小值为 .可由x-2 y+3z=0得y= x+3z 2 , 代入y 2 x z 得 x 2+9 z 2+6 x z 4x z 6 x z+6x z 4x z =3, 当且 仅当x=3z时取“=”.其中利用了基本不等式a 2+b2 2a b. 1 .( 根据必修1 P 2 3例3改编) 已知f(x)=(x-2) 2+5 . ( 1) 当x-1,0,1,2,3,4 时,f(x)的值域为1 4, 9,6,5 ; ( 2) 当x-1,4 时,f(x) 的值域为5,1 4 ; ( 3) 当x3,4 时,f(x) 的值域为6,9. 2 .( 根据必修1 P 9 3复习题第5题改编) 已知函数f(x)= 2x+1,它的值域为-1,8 , 则它的定义域为-1, 7 2 . 3 .( 根据必修1 P 3 4例1改编) 函数y=-1 x ( x2,3 ) 的 最小值为-1 2, 函数y=x- 1 x ( x2,3 ) 的最小值为 3 2. 4 .( 根据必修1 P 3 3习题2 . 1(2) 第1 3题改编) 已知函数y= x 2, xa,b , 它的值域为0,1 6 , 则|a-b|的最大值为 8 .5 .( 根据必修1 P 2 9习题2 . 1(1) 第6题改编) 当a ( 2,+) 时, 直线y=a与抛物线y=x 2- 2 x+ 3有2个 交点. 第7课时 函数的 奇偶性 内 容 要 求 ABC 函数的奇偶性 函数的奇偶性应用 1 .了解函数奇偶性的含义, 会判断一些简单函数的奇偶性. 2 .能利用函数奇偶性解决一些其他问题. 3 .与后面将复习的函数的单调性相比, 函数奇偶性并 非函数的主要性质, 不要作深入的探讨.除了在填空题部分 以外, 解答题中不可能单独命题, 一般与函数的图象和函数 的其他性质相关联进行命题. 1 .研究函数的奇偶性, 主要是为了探讨函数图象的对称性. 因此, 奇偶性的定义来自于对称点的坐标特征.用代数语 言可表述为: 设函数y=f(x) ,xD, 对任意xD都 有f(-x)=f(x) , 则f(x) 是偶函数; 对任意xD都 有f(-x)=-f(x) , 则f(x) 是奇函数.由定义知,D关 于原点对称. 2 .函数f(x) 是奇函数, 且在x=0处有定义, 则f(0)= 0 . 3 .奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y轴 对称. 4 .一次函数y=k x+b(k0)为奇函数的充要条件是b = 0, 二次函数y=a x2+b x+c( a0) 为偶函数的充要条件 是b= 0 . 5 .任意一个定义域关于原点对称的函数f(x) 均可写成一 个奇函数g(x) 与一个偶函数h(x) 的和的形式, 其中 g(x)= f(x)-f(-x) 2 ,h( x)= f(x)+f(-x) 2 . 1 .判断下列函数的奇偶性: ( 1)f(x)=3x 2, xR; ( 2)f(x)=3x 2, x(-2,2 ; ( 3)f(x)= 2 x- 1 2 x ,xR. ( 答案: ( 1) 偶函数; (2) 非奇非偶函数; (3) 奇函数) 2 .若函数f(x)=l o ga(x+x 2+2 a 2) 是奇函数, 则实数 a= 2 2. 3 .奇函数f(x) 的定义域是R, 当x0时,f(x)= -x 2 +2x+ 2, 则函数f( x)在R上的表达式为f(x)= x 2+2 x-2,x0. 4 .设f(x) 是(-,+) 上的奇函数,f(x+2)= - f(x).当0x1时,f(x)=x, 则f(- 0 . 5)=- 0 . 5, f(3)=- 1,f(7 . 5)=- 0 . 5 . 5 .函数y=l o g22-x 2+x 的图象关于原点对称. 1 .函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性: ( 1)f(x)=3x 2+x; 第二章 函数概念与基本初等函数 1 9 ( 2)f(x)=1-x 2 +x 2-1; ( 3)f(x)= 1-x 2 x . 点拨 判断函数的奇偶性, 首先确定函数的定义域, 判断定 义域是否关于原点对称, 如果不关于原点对称就无奇 偶性, 如果关于原点对称再根据定义判断.第(2) 题较 特殊, 可结合函数图象的对称性加以理解. 解 (1)函数的定义域为R,f( 1)=4,f(-1)=2, f(-1)f(1) , 且f(-1)-f(1) ,f(x) 为非奇非偶函数. ( 2)函数的定义域为- 1,1 , 且f(-1)=f(1)=0, f(-1)= -f(1)=0, 所以f(x) 既是奇函数又是 偶函数. ( 3)令 1-x 2 0, x0, 得 -1x1, x0, 故f(x) 的定义域 为 -1,0)(0,1 , 关于原点对称.又f( -x)= 1 -(-x) 2 -x =-f(x) , 故f(x) 是奇函数. 反思 判断函数的奇偶性, 有时需要对函数解析式进行化简. 拓展 若函数f( x)= 1 2 l n(1+x)+l n(a-x) 为偶函 数, 则a= 1 . 2 .函数的奇偶性应用 例2 已知f( x)=2 ( x 2+1) 3x+p 是奇函数, 求实数p的值. 点拨 根据f(x) 为奇函数, 可得f( -x)= -f(x) 对定义 域中任意x均成立, 再用待定系数法求p的值. 解 f(x) 是奇函数,f( -x)= -f(x) , 2 ( x 2+1) -3x+p = - 2(x 2+1) 3x+p , 得-3x+p= -3x-p, 解得p=0 . 反思 已知函数的奇偶性求参数的取值, 一般是根据函数的 奇偶性定义: f(-x)=f(x) ,f(-x)= -f(x) , 与x无关得出方程( 组) , 然后解方程( 组). 拓展 已知f( x)=a x 2+ b x+3a+b是偶函数, 定义域为 a-1,2a , 则a= 1 3, b=0 . 例3 已知f( x)=x 1 2 x -1+ 1 2 . ( 1)求函数f(x) 的定义域, 并判断函数的奇偶性; ( 2)求证:f(x)0 . 点拨 确定奇( 偶) 函数中参数的值, 一般用奇( 偶) 函数的定 义, 然后用待定系数法, 也可用赋值法( 特殊值法).先 确定函数的定义域, 再根据定义判断.仔细观察, 似曾 相识.此题根据必修1 P 5 5习题2 . 2(2) 第8题改编 而来. 解 (1)函数的定义域为 ( -,0)(0,+). f(-x)= -x 1 2 -x -1+ 1 2 = -x 2 x 1-2 x + 1 2 = -x 2 x +1 2(1-2 x)=f( x) , 函数f(x) 为偶函数. ( 2)若x0, 则f(x)0 .又函数为偶函数,若 x0 . 反思 (1) 若函数f(x) 为偶函数, 则有f( x)=f(|x|) ; ( 2) 本题可认为f(x) 由两个奇函数f1(x)=x与 f2(x)= 1 2 x -1+ 1 2 的乘积构成. 拓展 已知f( x)=x 1 4 x -1+ a 为偶函数, 则a的值 为 1 2. 3 .函数的奇偶性与周期性 例4 已知f(x) 是定义在(-,+) 上的奇函数, 且f ( x) 的图象关于直线x=1对称.当x0,1时, f(x)=2 x -1 . ( 1)求证:f(x) 是周期函数; ( 2)当x1,2 时, 求f(x) 的解析式; ( 3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 0 1 3) 的值. 点拨 对于第(1) 问,只需证明f(x+T)=f(x) , 即可说明 f(x) 为周期函数; 对于第(2) 问, 由f(x) 在0,1 上的 解析式及f(x) 的图象关于直线x= 1对称, 求得f(x) 在 1,2 上的解析式; 对于第(3) 问, 由周期性求和. 解 (1)因为函数f( x) 为奇函数, 则f(-x)= -f(x). 因为函数f(x) 的图象关于直线x=1对称, 则f(2+x)=f( -x)= -f(x) , 所以f(4+x)= -f(2+x)= -(-f(x) ) =f(x) , 所以f(x) 是以4为周期的周期函数. ( 2)当x1,2 时,2-x0,1. 又f(x) 的图象关于直线x=1对称, 则f(x)= f(2-x)= 2 2 -x -1,x1,2. ( 3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(- 1) = -f(1)= -1, 又f(x) 是以4为周期的函数, f(0)+f(1)+f(2 0 1 3)=f(0)+f(1)=1 . 反思 (1)周期性的证明只需证f(x+T)=f(x). ( 2)求解析式时, 把定义域转化到已知解析式的定义 域上. ( 3)利用周期性求和是常见方法之一. 1 .判断函数的奇偶性, 首先要求函数的定义域, 判断定 义域是否关于原点对称, 如果不关于原点对称就无奇偶性, 如果关于原点对称再根据定义判断.另外要善于运用数形结 合思想, 借助函数的图象理解函数的奇偶性, 并用于解决有 关问题. 2 .利用函数的奇偶性求函数中参数的值或参数的取值 范围, 一般是利用函数奇偶性定义, 再运用特殊值法和待定 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 0 系数法等方法. 3 .注意一些函数的奇偶性不明显, 不能想当然直接作 出判断, 有时要先将函数解析式化简再判断. 1 .( 根据必修1 P 3 9例6改编) 函数f(x)=(x+2) 2的奇偶 性为既不是奇函数又不是偶函数; 当a=0时,f( x)= ( x+a) 2为偶函数. 2 .( 根据必修1 P 4 0练习第4题改编) 对于定义在R上的函 数f(x) , 下列命题中正确命题的序号为. 若f(-3)= -f(3) , 则f(x) 为奇函数; 若f(-3)-f(3) , 则f(x) 不是奇函数; 若f(0)0, 则f(x) 不是奇函数. 3 .( 根据必修1 P 4 4习题2 . 1(3) 第9题改编) 函数f(x)= m x 2+ ( 2m- 1)x+1为偶函数, 则实数m=1 2. 4 .( 根据必修1 P 4 4习题2 . 1(3) 第1 0题改编) 函数y= f(x) 在R上为奇函数. ( 1) 若当x0时,f(x)=- 2; ( 2) 若当x0时,f(x)=x+1, 则当x0时,f(x) =x-1 .( 提示: 可结合图象加以理解) 5 .( 根据必修1 P 5 5习题2 . 2(2) 第8题改编) 若f(x)= 1 2 x -1+ a是奇函数, 则a= 1 2. 第8课时 函数的 单调性 内 容 要 求 ABC 函数的单调性 函数的单调性应用 1 .理解函数的单调性概念及其几何意义, 会判断一些 简单函数的单调性; 会利用函数的单调性定义证明单调函 数, 会求常见函数的单调区间. 2 .理解函数最大( 小) 值的概念及其几何意义, 会用单 调性方法求函数的最大( 小) 值. 3 .会利用函数单调性解决其他问题. 4 .研究函数的性质时, 单调性是极其重要的一个方面, 它反映了函数的变化情况.因此, 函数单调性成为高考中的 热点内容, 并常与函数的导数结合起来命题( 详见“ 导数的应 用” 部分). 1 .设函数f(x) 的定义域为D, 若对于定义域D内的任意两 个值x1,x2, 当x1x2时, 都有f( x1) 0 . 3 .已知f(x)=a x 2+ b x+c(a0) , 当a0时, 结论正好相反. ( 第1 题) 1 .如图, 该函数的单调增区间是 - 1,1 2 , 单 调 减 区 间 是 1 2,+ 和(-,- 1) . 2 .给定下列函数:f(x)= 2x-1;f(x)= - 2x-1;f(x)= 1 x ;f( x)= -1 x ;f( x)=(x-1) 2; f(x)=-x 2- 2 x.其中满 足“ 对任意x1,x2(0,+) , 当x1f(x2) ” 的有.( 填序号) 3 .设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的单调减函数, 则 有a1 2. 4 .函数f(x)=a x,g(x)= -b x 在( -,0) 上都是单调 减函数, 则h( x)=a x 2+b x在( 0,+) 上是单调减函 数.( 填“ 单调增” 或“ 单调减” ) 5 .(1) 函数y=2x 2+ 8 x+ 3在区间- 2,+) 上为单调增 函数; ( 2) 若函数y=2x 2-m x+3, 当x -2,+) 时是单调增函数, 则m的取值范围是 (-,- 8. 6 .函数y= -