复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第一章集合与常用逻辑用语复习指导理pdf

第一章 集合与常用逻辑用语 1 第第第第第 一 一一一一 章 章章章章 集合与常用逻辑用语 内 容 要 求 ABC 集 合 集合及其表示 子集 交集、 并集、 补集 常用逻 辑用语 命题的四种形式 充分条件、 必要条件、 充分必要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 集合、 常用逻辑用语总的要求是A或B级, 因为在中学 数学课程中它们的定位主要是“ 数学语言” , 是整个高中数学 的基础知识和工具, 高考不会在这些内容上做太多文章, 出 难题.从2 0 1 2年、2 0 1 3年江苏高考以及首批进入高中数学课 程改革的高考试卷看, 对集合和常用逻辑用语的考查都是以 容易题为主, 少数题属于与其他知识点综合的中档题. 1 .集合 集合作为数学中的一个原始概念, 只要能理解集合的概 念即可.重在将集合作为一种语言来学习, 感受用集合语言 简洁、 准确地表示数学对象, 为以后的学习和运用数学语言 表达和交流打下基础.因此在学习集合时, 要会将一些常用 的数集、 点集用集合语言表示, 并善于将集合语言、 符号语言 和图形语言相互转换. ( 1)集合及其表示是A级要求, 对集合概念的理解要 求不高, 主要从语言的角度学习集合的表示.集合有三种 表示方法, 一是列举法, 二是描述法, 三是图示法, 学生往 往对描述法不太理解, 复习时要抓住描述法的关键 对集合元素共性的刻画.例如,2 0 1 0年的集合题是根据简 单数集的交集, 求集合中字母表示的数的值. 2 0 1 1年的集 合考查内容较多, 第1题是求简单数集的交集; 第1 4题考 查了两个平面点集的交集非空, 求集合中参数的取值范 围; 在第2 0题中, 还用到集合的符号表达, 强化了集合作 为一种语言的功能. 2 0 1 2年主要在第1题对集合的并集运 算及第2 3题对集合的概念、 组成、 元素与集合的关系作了 重点考查; 2 0 1 4年的第1题对集合的交集运算作了考查. ( 2)关于子集, 主要应理解这个概念的意义, 并学会能 判断一个集合是否是另一集合的子集, 但不要证明.要结合 日常生活经验、 不等式( 组) 的解集、 点集来理解包含关系.例 如2 0 0 8年广东省高考的一道集合方面的题目, 就是与生活 知识密切相关的.又如不等式组 x-30 的解集是不等 式 x|x-30 解集的子集, 其中反映了逻辑上的“ 且” 关系. 2 0 1 3年的第4题考查了集合的子集个数问题. ( 3)集合间的基本运算也是高考经常涉及的问题, 现在 定为B级要求.重在理解两个集合的并集、 交集和补集的含 义, 并从数学语言的角度分别用符号语言、 集合语言和V e n n 图来表示. ( 4)从近年来江苏高考试题看, 集合考查的题型主要是 填空题.由于集合作为语言的基础性和工具性作用, 考查的 知识点常与方程( 组) 、 不等式的解集、 点集、 函数的定义域等 知识结合; 考查的数学思想主要有数形结合思想、 分类讨论 思想、 函数与方程思想, 例如运用数形结合的思想, 求交集或 并集时常要借助于数轴进行, 另外处理抽象集合的关系等问 题时, 常画韦恩图. 2 .常用逻辑用语 常用逻辑用语的复习要注意把握好尺度与分寸, 不要随 意加深和拓展, 重点是四种命题及其它们的关系和充分条件、 必要条件的判断.对于逻辑联结词, 不要求掌握对含有逻辑联 结词的命题的否定, 不研究含有逻辑联结词“ 或” “ 且” “ 非” 的 命题的逆命题、 否命题与逆否命题.对真值表不作要求, 能对 含有一个量词的命题进行否定即可.对于充要条件这一内容, 要给予足够的重视, 不但能够判断具体命题的充要关系, 还要 会判断抽象命题的关系, 还要能够探求和证明充要条件, 这一 内容在容易题、 中档题和难题中均有可能出现. 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 1 .由于本章内容相对简单, 主要体现在数学语言和符 号的运算上, 它与数学中其他知识可以进行一些综合, 但鉴 于这一章的内容在 考试说明 中的能力要求最多是B级, 故 不宜太难.复习的重点和难点在于集合的表示方法与运算. 2 .充要条件的探求, 一般是先探求必要条件, 再探求充 分条件; 而充要条件的证明, 一定要分充分性和必要性证明, 注意书写格式要求, 不能忘记下结论, 一般是“ 两步一结论”. 3 .集合与简易逻辑结合在一起复习, 可以相得益彰, 加 深对双方的理解.例如, 简单的逻辑联结词“ 或” 、 “ 且” 、 “ 非” 的含义可以分别与集合的运算“ 并” 、 “ 交” 、 “ 补” 的意义对应 起来复习, 如AB= x|xA或xB ; 必要条件、 充 分条件的意义的理解, 可以结合集合之间的包含关系理解, 如当AB时, 则xA是xB的充分条件. 第1课时 集合的概念 及运算 内 容 要 求 ABC 集合及其表示 子集 交集、 并集、 补集 1 .理解集合语言的作用, 掌握集合的表示方法: 列举 法、 描述法和图示法( 韦恩图).理解集合的包含和相等关系 ( 不要求证明包含和相等关系). 2 .理解两个集合的并集与交集的含义, 会求两个简单 集合的并集与交集.理解给定集合的一个子集的补集的含 义, 会求给定子集的补集.会用韦恩图表示集合的关系及 运算. 3 .在近几年的江苏高考中, 集合主要以小题形式考查, 涉及集合的表示方法、 集合之间的关系和运算, 常与其他知 识交汇, 如方程、 不等式、 函数等, 要学会不同数学语言之间 的转换.对于两个简单集合的交集、 并集, 以及求一个集合的 子集的补集要适当控制难度. 1 .一般地, 一定范围内某些确定的、 不同的对象的全体构成 一个集合, 集合中的每一个对象称为该集合的元素, 简 称元. 2 .集合的元素具有确定性、 互异性、 无序性. 3 .集合的表示方法有列举法、 描述法、 图示法. 4 .如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素( 若a A, 则aB) , 那么称集合A为集合B的子集, 记为A B或BA, 读作“ 集合A包含于集合B” 或“ 集合B包含 集合A”. 5 .如果AB, 并且AB, 这时集合A称为集合B的真子 集, 记为AB或BA, 读作“ 集合A真包含于集合B” 或“ 集合B真包含集合A”. 6 .一个集合有n个元素, 则它的子集的个数为2 n, 真子集的 个数为2 n- 1, 非空真子集的个数为2n- 2 . 7 .交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集 合, 叫做集合A与B的交集, 记作AB, 即AB =x|xA, 且xB. 8 .并集: 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的 集合, 叫做集合A与B的并集, 记作AB, 即AB= x|xA, 或xB. 9 .补集: 设AS, 由S中不属于A所有元素组成的集合称 为S的子集A的补集, 记作SA, 即SA=x|xS, 且 xA. 1 0 .ABA(B) ,AB=BA,AA= A,A=. 1 1 .A(B)AB,AB=BA,AA=A,A =A. 1 2 . S(SA)=A,SS=,S=S,ASA=, ASA=S. 1 3 .A(BC)=(AB)(AC) ,A(BC)= ( AB)(AC) ;S(AB)= SA SB, S(AB)= SA SB. 1 4 .AB=AABAB=B. 1 5 .记有限集合A,B,C中的元素个数分别为c a r d(A) , c a r d(B) ,c a r d(C) , 则有: ( 1)c a r d(AB)= c a r d(A)+c a r d(B)-c a r d ( AB) ; ( 2)c a r d(ABC)= c a r d(A)+c a r d(B)+c a r d(C) - c a r d(AB)-c a r d(AC)-c a r d(BC)+ c a r d(ABC). 1 .已知集合A=1,2,4 ,B=2,4,6 , 则AB= 1,2,4,6. 2 .集合A=3,l o g2a ,B=a,b , 若AB=2 , 则 AB=2,3,4. 3 .若全集U=R, 集合M=x| -2x2 ,N=x| x 2- 3 x0 , 则M(UN)=x| -2x0. 4 .设集合A=1,2 , 则满足AB=1,2,3 的集合B 的个数是4 . 5 .设M,N是两个非空集合, 定义M与N的差集为M-N 第一章 集合与常用逻辑用语 3 =x|xM, 且xN , 则M-(M-N)=MN. 1 .集合的概念 集合是由元素构成的, 集合中的元素具有确定性、 互异 性和无序性.当集合的元素满足一定的条件时, 就可以用描 述法表示.要研究集合中元素的情况, 就需要注意条件的意 义和实质, 或必要时对条件进行恰当的分类. 例1 已知集合A= a+2,(a+1) 2, a 2+3 a+3 , 若1 A, 求实数a的值. 点拨 集合中元素的性质是高考考查的问题之一, 主要根据 元素的互异性来确定集合, 解决此类问题关键在于找 准问题的切入点, 对各种情况进行排查和验证, 从而 得出正确的结果. 解 若a+2=1, 则a= - 1, 此时( a+1) 2 =0,a 2+3 a+ 3= 1, 不合题意, 舍去. 若( a+1) 2 =1 , 则a =0或-2 . 当a=0时, a+2=2,a 2+3 a+3=3, 符合题意; 当a= - 2时, a+2=0,a 2+3 a+3=1, 不合题意, 舍去. 若a 2+3 a+3=1, 则a= -1或a= -2, 舍去. 综上, a=0 . 反思 解答一个与元素有关的命题, 必须先弄清楚研究的 是什么样的集合, 它是用什么方法表示的, 是列举 法, 还是描述法; 其次要准确把握集合中元素的属 性, 是数集还是点集等; 要与常见的用集合描述的相 关知识联系起来, 如函数的定义域、 值域, 不等式的 解集等. 拓展 设集合A= ( x,y)|(x-a) 2+( y-a) 25, a Z , 若(1,2)A, 求a的值. 略解 因为 ( 1,2)A, 所以(1 -a) 2+( 2 -a) 25, 解得0 a3 .又因为aZ, 故a=1或2 . 2 .集合的运算 例2 已 知 集 合A= x|x 2 +x-2 0 ,B= x 2 x-11 ,C= x|a x 2+2 x+c0.若集 合A,B,C满足 (AB)C=, (AB)C =R , 求a,c. 点拨 由 (AB)C=及(AB)C=R可得C= R(AB) , 求出AB, 即可求出C, 再由C求出 a,c. 解 根据题意, 得A= x| - 2x1 ,B=x| 1x 3 , 故AB=x| - 2x3.由 (AB)C= ,(AB)C=R, 而全集为R, 故C= R(A B) , 所以C=x|x3.又因为C=x| a x 2+2 x+c0 , 所以a0知, 方程有两个互为倒数的正根, 故必有一 根在区间( 0,1 内, 从而方程至少有一个根在区 间 0,2 内. 综上所述, m的取值范围是(-,- 1. 反思 上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物 线x2+m x-y+2=0与线段x-y+1=0( 0 x 2) 的公共点在线段上, 本题也可以利用公共点 内分线段的比的取值范围建立关于m的不等式 来解. 3 .关于有限集合的交集、 并集的元素个数问题 例4 求1到2 0 0这2 0 0个数中既不是2的倍数, 又不是3 的倍数, 也不是5的倍数的自然数共有多少个? 点拨 若设集合A=1到2 0 0的2的倍数 ,B=1到2 0 0 的3的倍数 ,C=1到2 0 0的5的倍数 , 本题实际 上是求ABC的补集的元素个数. ( 例4) 解 如图, 先画出V e n n图, 不难看 出 不 符 合 条 件 的 数 共 有 ( 2 0 0 2)+2 0 03+(2 0 0 5)-(2 0 01 0)-2 0 0 6- 2 0 0 1 5+2 0 0 3 0=1 4 6, x 为不大于x的最大整数, 所以符合条件的数共有2 0 0- 1 4 6=5 4( 个). 反思 分 析2 0 0个 数 分 为 两 类,即 满 足 题 设 条 件 ABC的和不满足题设条件的两大类, 而不 满足条件的这一类标准明确而简单, 因此可考虑用 排除法. 高考复习指导 数学( 教师用书) 4 1 .在研究集合的交、 并、 补集时, 要注意数轴和韦恩图 的运用. 2 .在处理含参数的集合的交、 并、 补集时, 要特别关注 端点的问题. 3 .要善于将集合语言与其他数学语言的互译. 1 .( 根据必修1 P 7练习第4题改编) 集合A= (x,y)| 0 x2,-1y1,x,yR 所表示的点集构成图形 的面积为4 . 2 .( 根据必修1 P 1 3练习第4题改编) 若集合A= (x,y)| x+y=0 ,B= (x,y)|x-y=2 , 则AB= (1, -1) . 3 .( 根据必修1 P 1 3练习第1题改编) 设集合A=5, l o g2(a + 3 ) , 集合B=a,b.若AB=2 , 则A B=1,2,5. 4 .( 根据必修1 P 1 7复习题第6题改编) 设集合A=x| 1-6” 的原命题、 逆命题、 否命题、 逆否命题中假命题 的个数是2 . 3 .已知命题p: 关于x的不等式x 2+2 a x+40对任意实 数x恒成立; 命题q: y=l o g(2 -a)x在(0,+) 上单调递 减.若p且非q为真, 则a的取值范围是( -2,1). 4 .已知f(x)=x 2, g(x)= 1 2 x -m,x1-1,3 , x20,2 ,使f(x1)g(x2) , 则m的取值范围是 1 4, + . 第一章 集合与常用逻辑用语 5 1 .判断语句是否是命题及命题的真假 例1 判断下列语句是否是命题.若不是, 请说明理由; 若是, 请 判断命题的真假. ( 1) 实数的平方是正数; (2) 奇数的平方仍是奇数; (3) 所有 的质数都是奇数; ( 4)6x+ 38; (5) 若x+y和 x y 都是 有理数, 则x, y都是有理数; (6) 设A,B为两个集合, 若 AB=B, 则AB. 点拨 能够判断真假的语句就是命题, 否则不是命题. 解 ( 1)是命题, 但是假命题, 当x=0时, 它的平方不是正数; ( 2) 是命题, 为真命题, 设x=2k+ 1(kZ) , 则x 2=4 k 2+ 4k+1=4(k 2+ k)+1也是奇数; ( 3)是命题, 但是假命题, 因为2也是质数; ( 4)不是命题, 这种含有未知数的语句, 其真假与未知数 的取值有关, 当x的取值不定时, 其真假也不定; ( 5)是命题, 但是假命题, 如x=1 - 2,y=1 + 2,x+ y=2, x y = -1; ( 6)是命题, 但是假命题, 应为BA. 反思 判定一个语句是不是命题, 关键是能否判断其真假; 在说明一个命题是假命题时, 能举出反例即可. 2 .四种命题及其关系 例2 判断下列命题的真假: ( 1)命题 “ 若a xb, 则x b a ” ; ( 2)命题 “ 若b= -2, 则b 2 =4” 的逆命题; ( 3)命题 “ 若x=3, 则x 2-2 x-3=0” 的否命题; ( 4)命题“ 全等三角形的对应边相等” 的逆否命题. 点拨 先写出相应的命题, 再判断真假; 或者利用等价命题 的原理和规律判断真假. 解 (1)若a0, 则x 6 0 . ( 2)是“p且q” 形式的复合命题, 其中p: 一个内角为 9 0 , 另一个内角为4 5 的三角形是等腰三角形,q: 一 个内角为9 0 , 另一个内角为4 5 的三角形是直角三 角形. ( 3)是“p或q” 形式的复合命题, 其中p: 有一个内角为 6 0 的三角形是正三角形,q: 有一个内角为6 0 的三 角形是直角三角形. 提醒 对于逻辑联结词的问题, 只要求根据两个命题会写出 “ p且q” 、 “p或q” 和“ 非p” 形式的命题即可, 或是根 据命题能分析其构成即可( 如本例) , 对于含有逻辑联 结词的命题的真假的判断不要求掌握. 4 .含有量词的命题的否定 例4 (1)命题 “xR,x2+a x+1b, 则a c 2 b c 2( a,bR) ” 与它的逆命题、 否命题、 逆否命题中, 真命 题的个数为2 . 提示 若ab,c 2=0, 则a c2=b c2. 原命题为假命题. 若a c 2b c2, 则c20且c20, 则ab. 逆命题 为真命题.又逆命题与否命题等价,否命题也为 真命题.又逆否命题与原命题等价,逆否命题为 假命题. 2 .( 根据选修1 1 P 1 9复习题第5题改编) 命题“ 若a b=0, 则a,b中至少有一个为零” 的逆否命题是若a,b都不为 零, 则a b0 . 3 .( 根据选修1 1 P 1 9复习题第8题改编) 分别写出下列命 题的逆命题、 否命题、 逆否命题, 并判断它们的真假. ( 1)当cb c, 则ab; ( 2)若a b=0, 则a=0或b=0 . 解 (1)逆命题: 当c0时, 若ab c; 真命题. 否命题: 当c0时, 若a cb c, 则ab; 真命题. 逆否命题:当c0时, 若ab, 则a cb c; 真 命题. ( 2)逆命题: 若a=0或b=0, 则a b=0; 真命题. 否命题: 若a b0, 则a0且b0; 真命题. 逆否命题: 若a0且b0, 则a b0; 真命题. 4 .( 根据选修1 1P 1 5例1改编) 写出下列命题的否定: ( 1)所有能被2整除的整数都是偶数; ( 2)存在一个无理数, 它的平方是有理数. 解 (1)存在能被2整除的整数不都是偶数; ( 2)任意一个无理数, 它的平方都是无理数. 第3课时 充要条件 内 容 要 求 ABC 充分条件、 必要条件、 充分必要条件 1 .本节内容充要条件高考作为B级要求, 在江苏高考 中几乎是每年必考.考查的形式可能是填空题, 也可能是解 答题, 2 0 0 8年江苏高考在大题中出现, 要求考生求充要条件. 2 .充要条件这一内容可能出现的形式主要有: (1) 判断 两个命题的充要关系, 或选填使得一个结论成立的充分条 件, 或选填使得一个结论成立的必要条件等; ( 2) 在大题中求 一个命题成立的充要条件; ( 3) 已知两个命题的充要关系, 求 变量的范围; ( 4) 证明两个命题之间的充要关系.总之, 充要 条件主要作为一种数学语言的呈现方式, 来考查学生的数学 思维能力和表达能力. 1 .如果“ 若p则q” 成立, 那么p是q的充分条件. 2 .如果“ 若q则p” 成立, 那么p是q的必要条件. 3 .如果“ 若p则q” , 且“ 若q则p” 成立, 那么p是q的充 要条件. 1 .已知M=1,2 ,N=a 2 , 则“ a=1” 是“NM” 的充 分不必要条件. 2 .“a=2” 是“ (a-1) (a-2)=0” 的充分不必要条件. 3 .设an 是等比数列, 则 “a1a22 是 x+y4, x y 4 的 ; ( 2)“=” 是“t a n=t a n” 的 ; ( 3)“a2, y2, 根据不等式的性质易得x+y4, 第一章 集合与常用逻辑用语 7 x y 4, 但反过来, 不一定成立, 如x= 1 3, y=2 4 . ( 2)当= 2 时, t a n,t a n均不存在, 则=不 是t a n= t a n 的充分条件; 反过来, 当t a n=t a n 时, =k+(kZ) , 所以=又不是t a n= t a n的必要条件. ( 3)当=2 2-4 a0, 即a1时, 方程有根;a0 时, x1x2= 1 a 0, 方程有负根; 又a=1时, 方程 根为x= -1, 所以填“ 充分不必要条件”. ( 4)若x+y=0与x- a y =0互相垂直, 则x- a y =0 的斜率必定为1, 即a=1, 反之亦然. ( 5)必要条件很容易验证,MN, 显然M,N均 不为空集, 则MN.设M= 1 ,N=2 , MN, 但MN=, 所以 “MN” 不是 “MN ” 的充分条件. ( 6)从题设条件直接判断有一定的困难, 故可以先 判断其逆否命题, 即 “ x=2且y=3”是“x+ y=5”的什么条件? 易判断是充分不必要条 件, 所以, “ x+y5” 是“x2或y3”的充 分不必要条件. 提醒 (1) 在判断时注意反例的应用; (2) 在判断“ 若p则q” 是否正确有一定的困难时, 则可以先判断它的逆否命 题“ 若非q则非p” 是否正确, 因原命题与它的逆否命 题具有相同的真假性, 从而可以对原命题作出判断 ( 如( 6) ). 2 .充要条件的证明与探求 例2 设nN*, 求证: 一元二次方程x2-4x+n=0有整 数根的充要条件是n=3或4 . 证明 充分性: 当n=3时,x2-4x+3=0,