第一章-非线性分析绪论理工大

非线性分析（NonlinearFunctionalAnalysis）,西安理工大学理学院应用数学系,教材(TextBook)张鸿庆.泛函分析.大连理工大学出版社,2007,参考书目(Reference)1、胡适耕.应用泛函分析.高等教育出版社,20012、赵义纯.非线性泛函分析及其应用.北京:高等教育出版社,1989,理论教学：32学时学分：2学分课程代码：000250课程类型：学位课课程性质：专业基础课,考试方法,1.期终考试占70%;2.平时成绩占20，包括作业和课堂回答问题；3.创新成绩占10，根据课堂内容所进行的创新活动，如科技小论文、心得体会、对课程改革的建议等，以读书报告的形式提交两次.,第一章非线性分析绪论,一.分析数学的发展历程：,1.初创现代分析数学的发展应该起源于微积分的发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数“的理论的完善也归功于极限论的建立。经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿（16421727）和莱布尼茨（16461716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。,在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等著名学者使微积分学产生萌芽。牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。,流数术：,“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”牛顿的微分和积分的观点互逆运算：微积分学基本定理。(1736年发表)莱布尼兹：考察切线，第一次引入了符号，沿用至今。,1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是已死量的幽灵，因为是费马略去的无穷小量，还是牛顿的，一直到莱布尼茨的,又是又不是，招之即来，挥之即去，“鬼使神差”。达朗贝尔将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系。,欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天文，物理，力学问题，著有无穷小分析引论。拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶在分析学方面都作出了巨大贡献。,但至此，微积分学的基础还没有找到合适的解决办法。所以，法国哲学家伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一个其存在性是无从想象的东西的艺术。”,柯西分析教程：“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值，其差可以任意小，则该固定值称为这一串数的极限”，他将分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无限趋向”，“要多小就有多小”一类不严格的语言。魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思想“算术化”，出现了至今通用的语言。语言柯西准则构成微积分的基础“极限论”的基础。,2.微积分的基础,3.实数理论,在十九世纪分析学发展的同时，人类也完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成了一个循环论证。梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极限论的实数理论。,勒贝格（1875-1941）创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。复变函数论的发展，形成复分析。以函数空间为背景的泛函和算子理论泛函分析。此外还有傅立叶分析等。,4.20世纪分析学的发展,20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。流形上的分析结合了微分几何学偏微分方程多复变函数论，成为当代数学的主流方向。外微分形式反函数理论，成为当代分析学的基础知识。,同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理论是算子理论。泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔伯特空间巴拿赫空间广义函数论成为常识。现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。,从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫长的历史。数学成为现代科学的基础，已经成为人类的共识。,二.从“数“到”泛函分析“的知识体系,数（自然数整数有理数实数复数）,变量,函数（描述变量之间的变化关系）,极限,函数的分析性质，实数理论的建立（有限维欧式空间上的定义的函数）,实分析（Lebesgue积分理论,函数空间的研究（Hilbert空间，Banach空间无限维空间）,函数空间上定义的函数，即泛函或算子,派生：微分几何学，复变函数，微分方程等；现代：流形流形上的分析学。,三、用现代数学的观点看已学过数学知识,从上面的发现过程看来，可以归结为：,第一阶段：变量取的是“数“，函数就是通常所说的函数第二阶段：变量取的是“函数空间中的元素”函数变成了泛函。所以，总是首先对变量所在的“空间”研究清楚，才能研究定义在这个“空间”上的“函数”。,变量所在的“空间”，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他上面定义的分析性质来说，“空间”的分析性质是十分重要的。,小学就开始学习“距离空间”。如，直线上点与点之间的距离。中学时学习的,作为两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离。,其实，现在我们知道，还可以采用很多方法定义距离。,2.在空间上定义拓扑定义收敛性,一般说来，中有界闭集合一定是紧的，这就是数学分析中所说的致密性定理。,但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连续性“条件（Arzela-Ascoli）.,5.现在我们看看“函数空间”,1在上连续的函数的全体构成一个集合。按照通常的加法和数乘，构成一个线性空间，把里面的元素视为点。,1Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它是Lebesgue可积的.2积分与极限交换顺序的问题,6.另三个典型的例子可以看到人类认识的发展：,3在通常意义和Lebesgue意义下都无法解释的“函数”,四、几个问题,a.极值问题从函数极值到短程线问题,半正定极小,半负定极大,泛函的极值：短程线，障碍问题,（1）捷线问题：,初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定点A滑行到定点B（B低于A但不在同一条垂直于地面的直线上），为使滑行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？,A,y,B,x,分析：,A,y,B,x,(2)短程线,众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：,要在山坡上修建一条最短的公路连接两个居民点A、B，问如何选线？,分析：设山坡的曲面方程为F(x,y,z)=0,设连接A、B的曲线为：,y=y(x),z=z(x),则A、B间曲线的弧长是,所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函,的最小值,（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成最大面积的曲线。,设曲线方程为是定长，则面为，求A在约束条件之下求最小值等周问题。,历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年,（1）在具有给定周长的所有平面图形中，圆的面积最大。（2）在所有给定面积的平面图形中，圆的周长最小。（1）在具有给定表面积的所有立体图形中，球的体积最大。（2）在具有给定体积的所有立体图形中，球的表面积最小。,等周定理：,其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。,（4）绕过障碍,拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘，则弧长为,但是要保证其中是W的边界方程。,（5）球面上的短程线,（6）不动点定理从一维到高维求解非线性问题,i.设在上连续，且，则存在,使得,即：连续且将映到自身，那么在中有不动点，此为Schauder不动点。,ii.压缩映象原理,如果函数定义在上，且存在使得那么存在唯一的使得,iii.高维,如果一个连续映射把一个闭单位球映到自己，那么这个闭单位球内有这个映射的不动点。,还有类似的压缩映射原理,iv.无限维,在Banach空间上，有Schauder不动点原理，Brower不动点原理，LeraySchauder不动点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。,函数的迭代与不动点,设连续函数f:RR，复合函数f(f(x)记作f2(x)f(f(x),类似的定义f(f(f(x)=f3(x),f(f(f(x)=fn(x),称为函数的迭代。视n次迭代fn为R中的一个映射。,若存在xR，使fn(x)=x，则称x是映射fn的不动点。fn的不动点的集合记作Fix(fn)可以考察：n，极限是什么（对具体函数或给f一定的条件）?也可以考察，在哪些条件下，fn有不动点，Fix(fn)有什