天津第一中学数学数列1资料文pdf

高三数学(文) 第二学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 9 第二学期 第四周第二学期 第四周 课程内容 数列专题求数列的通项公式、数列求和 2014-2015 学年 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 9 无穷数列 有穷数列 按项数 2 2 21,2 1 (1)2 n n a ana an an = =+= = + = n nn n n 常 数 列 : 递 增 数 列 : 按 单 调 性 递 减 数 列 : 摆 动 数 列 : 本阶段知识要点：利用等差数列、等比数列的概念、基本性质、基本规律和方法求一 般数列的通项公式和前 n 项和 数列可视为以正整数数集或它的有限子集1，2，n为定义域的特殊函数，因此 可用函数的观点来研究数列，等差数列，等比数列是两类重要的特殊数列。虽然内容简 单，然而计算技能、推理技能训练突出，应用十分广泛，是本章学习的基础和重点。 有关 数列的应用题是应用问题的重要分支，请同学们注意联系身边的有关问题。 此外，数列问 题还常常涉及一些其他数学知识，诸如函数、方程、不等式等。本周将就此类问题深入研 究 。 现将等差数列、等比数列的基本知识简单回顾一下： 1.数列的有关概念： （1）数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数 N*或它的 有限子集1,2,3,n上的函数。 （2）通项公式：数列的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是 该数列的通项公式。如: 2 21 n an = 。 （3）递推公式：已知数列an的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与他的前一项 an-1 （或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。 如: 12 1,2, aa = 12 ( 2) nnn aaan =+ 。 2数列的表示方法： （1）列举法：如 1，3，5，7，9， （2）图象法：用（n, an）孤立点表示。 （3）解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。 3数列的分类： 4数列an及前 n 项和之间的关系: 123 nn Saaaa =+ 1 1 , (1) , (2) n nn Sn a SSn = = 5等差数列与等比数列对比小结： 等差数列 等比数列 一、 定义 1 (2) nn aad n = 1 (2) n n a q n a = 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 9 二、 公式 1 ( ) 1 1 n aand =+ ( ) ( ) , nm aanm dnm =+ 2 ( ) 1 2 n n n aa S + = ( ) 1 1 2 n n nad =+ 1 1 1 n n aa q = ,() n m nm aa qnm = 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 11 n n n naq S aq aa q q qq = = = 三、 性质 1 , ,2 a b cbac =+ 成等差 ， 称b 为a与c的等差中项 2若 mnpq +=+ （ m 、 n 、 p 、 * q ）， 则 mnpq aaaa +=+ 3 n S ， 2nn SS ， 32 nn SS 成等差数 列 1 2 , , a b cbac = 成等比 ， 称b 为a与c的等比中项 2若 mnpq +=+ （ m 、 n 、 p 、 * q ），则 mnpq aaaa = 3 n S ， 2nn SS ， 32 nn SS 成等比数 列 通项公式是研究数列的关键问题：通项公式是研究数列的关键问题： 首先我们明确，并非所有的数列都有通项公式，也并非所有的数列的通项公式是唯一 的.求通项公式时常用到一个公式： = = ) 2 ( ) 1 ( 1 1 n S S n S a n n n 这个公式体现了数列通项 与前 n 项和公式之间的关系，有着异常重要的地位.归纳起来，求通项公式的常用方法有： 观察法，公式法，归纳猜想法，递推法等.举以下例题说明. 例 1例 1用观察法写出下列数列的通项公式： ? ? , 20 1 , 12 1 , 6 1 , 2 1 . 2 , 2 , 4 , 2 , 1 . 1 3 3 3-3，9，-27，81， 41，-2，3，-4， ? ? , 14 , 3 2 , 10 , 2 2 , 6 . 6 , 9 17 , 7 10 , 5 5 , 3 2 . 5 71，-1，1，-1， 81，0，1，0， 90，-1，0，-1， 100，1，0，1， 112，4，2，4， 125，-3，5，-3， 13a,b,a,b,(ab) 149,99,999 162，22，222， ) 9 1 , ( , , , . 16 a N n aaa aa a ? 170.2，0.22，0.222， ? , 6 5 , 5 6 , 4 3 , 3 4 , 2 1 , 2 . 18 190，5，8，17，24，37， ? , 2 1 , 3 2 , 1 , 2 . 20 解：解： 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 9 2 cos 2 sin 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 ) 13 ( ) 1 ( 4 1 ) 12 ( ) 1 ( 3 2 cos 4 2 sin 2 ) 11 ( 2 cos 2 ) 1 ( 1 ) 10 ( 2 cos 2 ) 1 ( 1 ) 9 ( 2 sin 2 ) 1 ( 1 ) 8 ( 2 1 2 sin ) 1 ( ) 1 ( ) 7 ( 4 2 ) 6 ( 1 2 1 ) 1 ( ) 5 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 4 ( 3 ) 1 ( ) 3 ( 1 ) 2 ( 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 n b n a a b a a a a or n n a n a a n a a n a a n a a a n a n n a n n a a n n a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + = + + = + = = + = = = = = = + = = = = + = + + = = = = + = = + + + + + + 或 或 或 或 或 或 ） （ n a n a n a a a a a a n n n n n n n n n n n n n 2 ) 20 ( ) 1 ( ) 19 ( ) 1 ( 1 1 ) 18 ( ) 10 1 ( 9 2 ) 17 ( ) 1 10 ( 9 ) 16 ( ) 1 10 ( 9 2 ) 15 ( 1 10 ) 14 ( 2 1 = + = + = = = = = + 例 2例 2已知数列an的前 n 项和为 Sn=n 2 +n-1,求其通项公式 an 解：解：n=1 时,a1=S1=1+1-1=1 n2 时,an=Sn-Sn-1=n 2 +n-1-(n-1) 2 -(n-1)+1=2n = = ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 n n n a n 例 3例 3数列an 中，a1=1,an+1=2an+2 n-1 (nN * ) （1）写出数列的前四项 （2）求证这数列的通项公式为 an=(n+1)2 n-2 (nN * ) 解：解：（1）a1=1, a2=2a1+2 0 =2+1=3 a3=2a2+2=6+2=8 a4=2a3+2 2 =16+4=20 (2) 4 1 2 2 , 4 1 2 2 1 1 1 1 = + = + + + + n n n n n n n n a a a a 即 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 4 1 2 1 2 : 4 1 2 1 2 + = + = n n n n n n n a n a a 的等差数列 公差为 是首项为 例 4例 4设函数 f(x)=log2x-logx4 (0x1)，数列an的通项 an 满足 ) 2 ( n a f =2n .求数列an 的通项公式 解：解： n a a n a n n f n n a n a a n n a n n 2 ) 2 ( , 2 ) 2 (log 2 4 log 2 log 2 ) 2 ( 1 1 4 2 2 = = = = 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 9 ) ( 2 0 , 1 2 0 1 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 + = Q （B）P ，且 379 ,2,3 a aa + 成等 比数列。 （）求数列 n a 的通项公式； （）设数列 n a 的前 n 项和为 n S 求 1 ( ) (18) n n S f n nS + = + 的最大值。 13.已知数列 n a 的前 n 项和为 n S ，满足 ) ( 2 2 + = N n n a S n n （1）求证：数列 2 + n a 为等比数列； （2）若数列 n b 满足 n n n T a b ), 2 ( log 2 + = 为数列 2 + n n a b 的前 n 项和，求证： . 2 1 n T 14.已知数列 n a 满足 1 21 + = nn aa ， 1 3 = a . ()求证：数列1 n a 是等比数列； ()求数列 n a 的通项公式和前n项和 n S . 15.已知 n a 是公差为 1 的等差数列， n b 是公比为 2 的等比数列， n n T S , 分别是 , n n b a 的前 n 项和，且 . 45 , , 4 10 3 6 + = = T S b a （I）求 n a 的通项公式； （II）若 , 6 b S n 求 n 的取值范围。 一、选择题 1.已知等比数列 n a 的公比为正数，且 3 a 9 a =2 2 5 a ， 2 a =1，则 1 a = A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 2. 已知数列 n a 满足 12 4 30,10 3 nnn aaaa + += 则 的前 项和等于（ ） A ( ) 10 6 13 B ( ) 10 1 13 9 C ( ) 10 3 13 D ( ) 10 3 1+3 3.公差不为零的等差数列 n a 的前n项和为 n S .若 4 a 是 37 aa 与 的等比中项, 8 32 S = ,则 10 S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4.设 n S 是等差数列 n a 的前 n 项和，已知 2 3 a = ， 6 11 a = ，则 7 S 等于 A13 B35 C49 D 63 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 13 5.已知 n a 为等差数列，且 7 a 2 4 a 1, 3 a 0,则公差 d （A）2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D）2 6.等差数列 n a 的公差不为零，首项 1 a 1， 2 a 是 1 a 和 5 a 的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7. 设首项为1,公比为 2 3 的等比数列 n a 的前n项和为 n S ,则 （ ） A 21 nn Sa = B 32 nn Sa = C 43 nn Sa = D 32 nn Sa = 8.等差数列 n a 的前 n 项和为 n S ，已知 2 11 0 mmm aaa + += ， 21 38 m S = ,则m = （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 9.设 n a 是公差不为 0 的等差数列， 1 2 a = 且 136 , a a a 成等比数列，则 n a 的前n项和 n S =（ ） A 2 7 44 nn + B 2 5 33 nn + C 2 3 24 nn + D 2 nn + 二、填空题 1.设等比数列 n a 的公比 1 2 q = ，前n项和为 n S ，则 4 4 S a = 2.若数列 n a 满足： 11 1,2() nn aaanN + = ，则 5 a = ；前 8 项的和 8 S = .（用数字作答） 3. 已知等比数列 n a 是递增数列, n S 是 n a 的前n项和,若 13 aa ， 是方程 2 540 xx += 的 两个根,则 6 S =_. 4.在等差数列 n a 中, 6 , 7 2 5 3 + = = a a a ,则 _ _ 6 = a . 5. 若等比数列 n a 满足 2435 20,40 aaaa +=+= ,则公比q=_;前n项 n S =_. 6.设等差数列 n a 的前 n 项和为 n s ,若 63 12 as = ,则 n a = . 7.等比数列 n a 的公比 0 q , 已知 2 a =1， 21 6 nnn aaa + += ，则 n a 的前 4 项和 4 S =_ 8. 等差数列 n a 中, 7199 4,2, aaa = (I)求 n a 的通项公式; (II)设 1 ,. nnn n bbnS na = 求数列 的前 项和 9. 已知 n S 是等比数列 n a 的前n项和, 4 S , 2 S , 3 S 成等差数列,且 234 18 aaa += . ()求数列 n a 的通项公式; ()是否存在正整数n,使得 2013 n S ?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明 理由. 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 13 必会基础题答案 （一）选择题 必会基础题答案 （一）选择题 1C 2A 3C 4C 5A 6B 7 D 8A （二）填空题（二）填空题 53 9 01 84 10 31 n ., . 或 或 11 （三）解答题（三）解答题 12解：设an共有 2n 项；a1, a2a2n-1,a2n 公比为 q，易知 q1，则 即 或 舍 , ) 3 1 ( 108 108 , 3 1 ) ( 1 ) 1 ( 9 , 0 1 4 3 ) ( 9 , 1 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 1 1 2 1 2 4 3 4 2 2 2 2 2 1 = = = = + = = + + = = n n n n a a q q q q a q q a a a a q q a q q a . 5 lg 5 4 3 lg 4 lg 3 lg 4 lg 3 0 lg , 0 lg , . 3 lg ) 4 ( 4 lg lg ) 3 1 ( 4 1 4 项之和最大 的前 则 项和最大 要使前 n n n n n n a n n a a n n a a = + + = = + 13解：依题意，得： 2 , 3 , 20 3 15 2 14 15 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = = = + + = + + = + + = + q d q b d a q b d a q b d a b a 解得 14第一年欠款 200001.1-4000 记 R1 第二年后欠款 R11.1-4000 记 R2 第三年后欠款 R21.1-4000 记 R3 假定十年还清欠款，即 R100，故得 200001.1-4000 1.1-4000 1.1-40000(上式中含 10 个 4000)，两边同除以 1.1 10 得 + + + + ? 3 2 1 . 1 1 1 . 1 1 1 . 1 1 ( , 2 1 . 1 1 . 1 2 ) 1 1 . 1 ( 20 4 1 . 1 . 01 1 1 . 1 20000 4000 ) 1 . 1 1 10 10 10 10 10 10 . , , 2 01 . 0 1 . 0 1 ) 1 . 0 1 ( ) 1 . 1 ( 2 10 1 10 10 10 款 即十年时间足够还清欠 故假定为真 又 + + + = + = ? C C 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 13 15设数列an的公比为 q, a1a6=a3a4 = = = = = = = = = = + 2 1 3 32 2 3 1 3 1 3 32 3 32 3 1 , 9 32 11 1 1 6 1 6 1 6 1 6 1 q a q a a a a a a a a a 或 或 解得 不存在 符合条件的 不是完全平方数 由于 则同理有 若存在题设要求的 对于 舍去 或 解之得 则 若存在题设要求的 对于 或 所求数列的通项必为 m m a m m a a a m m n n m m m m m m m n n n n n n = + = = = = = = = + + = = = = 249 8 16 11 . 0 8 2 11 ) 2 ( 4 , , 2 3 1 , 3 ), ( 1 2 8 2 , 0 8 2 7 2 9 4 2 3 1 2 3 1 3 2 ) 2 3 1 ( 2 , 2 3 1 , 2 3 1 2 3 1 2 6 2 6 6 2 1 2 1 1 6 1 提高拓展题答案： 1解： 提高拓展题答案： 1解：设 ) ( 2 1 m a m a n n + = + + m a a n n + = + 2 1 1 = m 1 1 + + n a 是以 4 为首项，2 为公比为等比数列 1 2 4 1 = + n n a 1 2 1 = + n n a 2解：2解： ) 1 ( 2 1 = n a a n n ) 2 ( 2 2 1 = n a a n n ) 3 ( 2 3 2 = n a a n n 2 2 2 3 = a a 1 2 1 2 = + a a n n n a a n = + + + = 2 1 ) 1 ( 2 1 2 ? 1 2 = n n a n 3解：3解： ) 1 ( 2 3 1 4 2 2 4 1 3 2 1 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 + = + = n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ? ? ) 1 ( 2 1 + = n n a a n ) 1 ( 4 + = n n a n 4解：4解： n n n n n a a a 1 1 1 2 2 1 + + + + = 1 1 2 1 1 1 + + + = n n n a a 设 n n a b 1 = 1 1 2 1 + + + = n n n b b n n n b b 2 1 1 + = 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 13 n n n b b 2 1 1 = 1 2 1 2 1 = n n n b b 2 3 2 2 1 = n n n b b 3 2 3 2 1 = b b 2 1 2 2 1 = + b b n n b b 2 1 2 1 2 1 3 2 1 + + + = ? n n 2 1 2 1 2 1 1 ) 2 1 ( 1 2 1 1 2 = = n n n n b 2 1 2 2 1 2 1 2 1 = + = 1 2 2 = n n n a 5解：5解： 设 ) 1 ( 2 1 1 B n A a B An a n n + + = + + B A An a a n n 2 1 2 1 2 1 2 1 1 = = = 1 2 1 2 1 2 2 1 B A A 解得： = = 6 4 B A 3 6 4 1 = + a 6 4 + n a n 是以 3 为首项， 2 1 为公比的等比数列 1 ) 2 1 ( 3 6 4 = + n n n a 6 4 2 3 1 + = n a n n 6解：6解：由 n n n a a 2 1 + = + ，得 1 1 2 + = n n n a a 1 1 2 = n n n a a 2 2 1 2 = n n n a a 2 1 2 = + a a 2 2 2 1 ) 2 1 ( 2 1 1 = = n n n a a 1 2 2 2 1 + = + = n n n a a 7解：7解： 由 2 3 1 + = n n a a 得： ) 1 ( 3 1 1 + = + n n a a 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 13 3 1 1 1 = + + n n a a 即 1 + n a 是等比数列 1 1 3 ) 1 ( 1 + = + n n a a 1 3 2 1 3 ) 1 ( 1 1 1 = + = n n n a a 8解：8解： 由 n n n a a 2 2 1 + = 得 1 2 2 1 1 = n n n n a a 2 n n a 成等差数列， ) 1 ( 2 1 2 + = n a n n 1 2 2 = n n n n a 9解：9解： n n n n a a a a ) 2 ( 2 4 2 2 1 = = + 2 1 2 1 ) 2 ( 2 2 1 1 + = = + n n n n a a a a （ 1 n ） 2 1 2 1 2 1 1 = + n n a a （ 1 n ）设 2 1 = n n a b 即 ) 1 ( 2 1 1 = + n b b n n n b 是等差数列 2 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1 1 n n a a n = + = 2 2 + = n a n 10解：10解：（1） 1 2 2 2 1 = n n n n S S S S 1 1 2 = n n n n S S S S 2 1 1 1 = n n S S 1 n S 是首项为 1，公差为 2 的等差数列 1 2