第一章-复变函数

场论与复变函数,通信工程学院场论与复变函数教学团队,2,主讲教师：张静Email:jzclass,课程编号：MS1009-01课程名：场论与复变函数（FieldTheoryandComplexVariableFunctions）课程性质：必修学分/学时：3/48考核方式：平时成绩+作业成绩+期末考试成绩教材：1.复变函数.西安交大高等数学教研室，第四版，北京：高等教育出版社，19962.矢量分析与场论.谢树艺，第三版，北京：高等教育出版社，2005,第一章复数与复变函数,1,第八章场论,8,第七章矢量分析,7,第六章共性映射,6,第五章留数,5,第四章级数,4,第三章复变函数的积分,3,第二章解析函数,2,第一章复数与复变函数第一节复数及其代数运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与方根第四节区域第五节复变函数第六节复变函数的极限和连续性,第一节复数及其代数运算,一、复数的概念,二、代数运算,三、共轭复数,一、复数的概念,(或者),的数称为复数。,(2)x和y分别称为复数z的实部与虚部，并分别表示为：,当y=0时，,因此，实数可以看作是复数的特殊情形。,(3)当x=0时，,称为纯虚数；,就是实数。,将形如,其中i称为虚数单位，即,设与是两个复数，,它们之间只有相等与不相等的关系。,相等,一、复数的概念,设与是两个复数，,(1)复数的加减法,加法,减法,(2)复数的乘除法,乘法,二、代数运算,四则运算,(3)运算法则,交换律,结合律,分配律,二、代数运算,三、共轭复数,1.共轭复数的定义,比如,2.共轭复数的性质,其中，“”可以是,三、共轭复数,复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。,整个十七世纪，很少有人理睬这种“虚构的量”。仅有极少数的科学家对其存在性问题争论不休。,1632年，笛卡尔在几何学中首先把这种“虚构的量”改称为“虚数”，与“实数”相对应。同时，还给出了如今意义下的“复数”的名称。,到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。,十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。,第二节复数的几何表示,一、复数的几种表示方法,二、曲线的复数方程,一、复数的几种表示方法,此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。,用坐标为的点来,表示复数,从而将全体复数和平面上的全部点,一一对应起来，,z平面。,1.1复平面,引进复平面后，复数z与点z以及向量z视为同一个概念。,在复平面上，从原点到点,所引的向量与该复数z也构成一一,对应关系(复数零对应零向量)。,比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。,一、复数的几种表示方法,1.1复平面,将复数和向量对应之后，除了利用实部,与虚部来给定一个复数以外，还可以借,(1)向量z的长度r称为复数z的模，记为,助向量的长度与方向来给定一个复数。,(2)向量z的“方向角”称为复数z的辐角，记为,P,一、复数的几种表示方法,1.1复平面,1.2复数的模与辐角,向量法:,复数的模,三角不等式,几何上,一、复数的几种表示方法,+,-,两点说明,(1)辐角是多值的，,(2)辐角的符号约定为：,逆时针取正号，顺时针取负号。,则有,1.2复数的模与辐角,一、复数的几种表示方法,由此就有如下关系：,主辐角,对于给定的复数设有满足：,且,则称为复数z的主辐角，或辐角的主值，记作,(z不在负实轴和原点),1.2复数的模与辐角,一、复数的几种表示方法,(1)已知实部与虚部，求模与辐角。,1.3相互转换关系,一、复数的几种表示方法,解,(1)已知实部与虚部，求模与辐角。,(2)已知模与辐角，求实部与虚部。,由此引出复数的三角表示式。,一、复数的几种表示方法,1.3相互转换关系,称为复数z的三角表示式。,如图，,有,由,一、复数的几种表示方法,2.1复数的三角表示,利用欧拉公式得,称为复数z的指数表示式。,但习惯上一般取为主辐角。,一、复数的几种表示方法,2.2复数的指数表示,解,复数z的三角表示式为,复数z的指数表示式为,设,乘法,即,2.3利用指数表示进行复数的乘除法运算,一、复数的几种表示方法,设,除法,2.3利用指数表示进行复数的乘除法运算,一、复数的几种表示方法,由于辐角的多值性，该等式两端都是由无穷多个数构成的两个数集，等式两端可能取的值的全体是相同的。也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和它相等，反过来也一样。,也就是说：,如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：,欧拉极其顽强的毅力！,其中，N为北极，S为南极。,这样的球面称作复球面。,对复平面上的任一点用直线将点,相反的，球面上除N点外的任意点，用一直线段把点和N连接起来，这条线的延长线与复平面相交于一点即,如图，作一球面与复平面在坐标圆点相切,p,p,3.1复球面,一、复数的几种表示方法,定义当z点无限远离原点时，或当无限变大时，点P就无限接近于N，即。与复球面上点N对应的复平面上的唯一点，称为无穷远点。,3.2无穷远点与无穷大,一、复数的几种表示方法,(2),(3),均无意义。,无意义。,3.2无穷远点与无穷大,一、复数的几种表示方法,(2)不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，,或者简称为复平面。,3.3扩充复平面,一、复数的几种表示方法,二、曲线的复数方程,如何相互转换？,(1),(2),在直角平面上,在复平面上,考察以原点为圆心、以R为半径的圆周的方程。,(2)在复平面上,(1)在直角平面上,例1指出下列方程表示的曲线,解:法1.,法2.,解:,解:,解:,由向量的性质,解:,由几何意义，圆的方程为,例4指出满足下列条件的点z的全体所构成的图形.,解:,解:,解:,如图:,另解:,第三节复数的乘幂与方根,一、复数的乘幂,二、复数的方根,复数z的乘幂，,一、复数的乘幂,利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。,定义,在上式中令r=1，则得到棣莫弗(DeMoivre)公式：,棣莫弗(DeMoivre)公式,一、复数的乘幂,例,复数求方根是复数乘幂的逆运算。,记作或,复数z的n次方根一般是多值的。,二、复数的方根,利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。,即,得,正实数的算术根。,二、复数的方根,描述,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,二、复数的方根,解,具体为：,解,具体为：,第四节区域,一、区域的概念,二、连通域,(1)称点集为点的邻域；,(2)称点集为点的去心邻域。,一、区域的概念,1.1邻域,(1)包括无穷远点在内且满足,的所有点的集合，,称为无穷远点的邻域。,(2)不包括无穷远点在内且满足,的所有点的集合，,称为无穷远点的去心邻域，,也可记为,1.2无穷远点的邻域,一、区域的概念,内点,1.3内点、外点与边界点,(1),考虑某平面点集G以及某一点，,外点,(1),边界点,一、区域的概念,1.4开集与闭集,一、区域的概念,1.5区域与闭区域,区域,平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件:,(1)D是一个开集；,(2)D是连通的，,闭区域,不连通,连通,有界区域:,称D为有界区域。,一、区域的概念,2.1平面曲线,连续曲线:,称为复变量实参数曲线方程。,光滑曲线:,有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。,二、连通域,考虑连续曲线,简单曲线,当时，,简单闭曲线,简单曲线且,简单、不闭,简单、闭,不简单、闭,不简单、不闭,或称为若尔当(Jardan)曲线,即无重点曲线,即起点与终点重合,2.1平面曲线,二、连通域,任一条简单闭曲线C：z=z(t)，ta，b，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。,指定C的两个可能方向中的一个作为正向，则C为带有,方向的曲线，称为有向曲线，仍记为C。,代表与C的方向相反(即C的负方向)的曲线。,如果,相应地，则,2.1平面曲线,二、连通域,逆时针方向。,简单闭曲线的正向一般约定为：,当曲线上的点P顺此方向沿曲线,前进时,曲线所围成的,区域边界曲线的正向一般约定为：,当边界上的点P顺此方向沿边界,前进时,所考察的区域,有界区域始终位于P点的左边。,始终位于P点的左边。,注意区域可以是多连域。,2.1平面曲线,二、连通域,2.2单连通域与多连通域,定义,复平面上的一个区域B，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称B为单连通域；非单连通域称为多连通域。,单连通域B，属于B的任何一条简单闭曲线，在B内可以经过连续的变形而缩成一点，而多连通域不具备这个特征。,特征,单连通域（无洞）,多连通域（有洞）,B,二、连通域,第五节复变函数,一、复变函数的定义,二、映射的概念,基本概念,定义,与实变函数定义相类似,一、复变函数的定义,一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。,比如,比如,一、复变函数的定义,例如:,基本概念复变函数与实变函数之间的关系,一个复变函数对应两个二元实变函数转化为对实变函数的研究,一、复变函数的定义,分开实部与虚部即得,代入得,映射,复变函数在几何上被看作是z平面上的一个,点集变到w平面上的一个点集的映射(或者变换)。,其中，点集称为像，点集称为原像。,函数、映射以及变换可视为同一个概念。,图形表示复变函数的几何意义,二、映射的概念,反函数与逆映射,一一映射,为w平面上的点集，,设函数的定义域为z平面上的点集,函数值集合,一个(或几个)点z，,函数,它称为函数的反函数，也称为映射,的逆映射。,若映射与它的逆映射都是单值的，则称映,射是一一映射。,则中的每个点w必将对应着中的,按照函数的定义，在上就确定了一个,二、映射的概念,(2)区域D可改写为：,令,则,可得区域D的像(区域)G满足,即,因此，它把z平面上的两族双曲线,分别映射成w平面上的两族平行直线,解,法1.,法2,88,第六节复变函数的极限和连续性,一、复变函数的极限,二、复变函数的连续性,若存在复数,记作,或,(1)函数在点可以无定义；,(2)趋向于的方式是任意的；,则称A为函数当z趋向于z0时的极限，,使得,(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的,一、极限,注,几何意义,当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域中,一、极限,定理一,设,证明,则,必要性,一、极限,充分性,则,当时，,如果,证明,定理一,设,则,一、极限,意义：此定理的意义在于，复变量函数极限问题，可转化为求实变量二元函数的极限问题,定理一,设,则,一、极限,定理二（四则运算法则）,一、极限,关于含的极限作如下规定：,(3),注：如何证明极限不存在？,选择不同的路径进行攻