天津第一中学数学相似三角形的判定及有关性质资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 12 第一学期 第一周第一学期 第一周 课程内容 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 12 1、准备知识要点： 全等三角形知识；有关比例的相关性质和计算。 2、本阶段知识要点： 如何求证等积式比例式；用比例的方法求证线段相等；用三角形相似的方法求证角 等。 在相似形这一讲我们学习了比例；平行线分线段成比例；相似三角形的性质；三角形 相似的判定等知识。在习题上出现了通过比例、相似进行计算；相似求角；用比例的方法 证平行；用比例的方法证线段相等，以及求证等积式比例式等题型，其中求证等积式比例 式是重点也是难点. 一道求证等积式比例式习题，往往使同学感到束手无策，这是由它的不直观性和同学 对求证这类习题的规律和方法掌握不熟练或运用不灵活的缘故。 因此，掌握求证等积式比例式的解题方法和规律是非常必要的。 因为大家在初中阶段学习过相似三角形的相关知识，这里我们只对常见的习题，除比 较简单和可以直接使用定理的以外，谈谈求证等积式比例式的证题思路和方法： 一证明两个三角形相似. 一证明两个三角形相似. 遇这类题先将等积式根据比例的基本性质变成比例式，然后看第一、三比例项，第二、 四比例项是否在两个可能相似的三角形中，如果在，根据已知与图中已知证明两个三角形 相似即可得解；如果第一、三比例项，第二、四比例项不在两个可能相似的三角形中，进 行更比再试看能否证明，在证明中如需添加辅助线，可根据形成的三角形和证明的需要添 加，此类题的难点往往在证明一组角相等. 例 1、如图，已知：在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，DEBC 交 AC 于 F，交 BA 延长线于 E. 求证：AD 2 DEDF 分析：欲证 AD 2 DEDF，首先把它写成比例式 AD DE DF AD ，DE，AD 在DAE 中， AD，DF 在DFA 中，因此需证DAEDFA，1 是两个三角形的公共角，只要由已知 证2E 即可. 证明：ABAC，D 为 BC 中点， AD 2 1 BCDC. 2C. 1 D F A B C E 2 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 12 ABAC，DEBC， CB90，EB90. CE，2E. 又11， DAEDFA. AD DE DF AD . 即 AD 2 DEDF. 二等线段代换 二等线段代换 把等积式变成比例式后，找不到两个可能相似的三角形，就要考虑比例式中的线段是否 有与图中的线段相等，如果有，进行线段的等量代换再证明，此类题的难点往往是线段相 等比较隐含. 例 2、如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，BEAC 于 E，EGBC 于 G，L 是 AF 的中点. 求证：CD 2 EGDL 分析：欲证 CD 2 EGDL，需证 CD EG DL CD ，找不到两个可能相似的三角形，由已 知条件可知 CDDE，因此只要证 DE EG DL DE ，可证EGDDEL，已知可知12， 只需证EDGDLE，或 DEEL 即得解. 证明：连结 DE，EL， AB=AC.ADBC. BD=DC. 又 BEAC. DE=BD=CD. EDGDBEDEB2DBE. 同理DLELAELEA2LAE. ADBC，BEAC. DBE+C=90. LAE+C=90. DBE=LAE. EDG=DLE. ADBC，EGBC. ADEG. 1=2. EGDDEL. DE EG DL DE . CD EG DL CD . 即 CD 2 EGDL. 三利用中间比介绍： 三利用中间比介绍： C D E G B 2 L A F 1 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 12 如果一个比例式，直接用两三角形相似解决不了，又没有等线段代换，就找等于这两个 比的第三个比来介绍，找第三个比可能应用到的知识有：相似三角形对应边成比例；平行 线截得成比例线段定理；射影定理以及和圆有关的成比例线段定理等等.难点在找出中间的 比. 第三比往往是两对相似三角形的公共比， 例 3、如图，在ABC 中，ABAC，ADBC，E 为 AC 中点，ED 延长线交 AB 延长 线于 F. 求证：ABAFACDF 分析：欲证 ABAFACDF，需证 AC AB AF DF ，无法通过证两个三角形来证明，又没有 等线段代换，就得寻求第三比介绍，不难看出 AB、AC 在相似ABD 和CAD 中，DF、 AF 在相似的FDA 和FBD 中，这两对相似的三角形的 共有的线段比是 AD BD ，因而得解. 证明：ABAC，ADBC， ABDCAD. AC AB AD BD . E 是 AC 的中点， DE 2 1 ACEC. C2. C+DAC=90.1+DAC=90. 1=C. 2=3. 1=3. 又F=F. FDAFBD. AD BD AF DF . AC AB AF DF . 即 ABAFACDF. 找第三比要注意充分利用已知中线段的等量关系，相等的线段往往是第三比中的一 条，是两个比相等的“桥”.经常通过作平行线完整图形为平行线截得比例线段及三角形相似 创造条件，使问题得以解决. 例 4、如图，在ABC 中，D 是 AC 上一点，E 是 CB 延长线上一点，ADBE，连结 DE 交 AB 于 F. 求证：EFBC=FDAC. C F D E 3B A 1 2 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 12 分析：欲证；EFBC=FDAC，需证 FD EF BC AC ，只能寻求中间比来证明. 已知 BE AD，可由 ？ BE FD EF 找第四比例项的方法，作出辅助线 DGAB 交 BC 于 G.这样 BC AC BG AD BG BE FD EF =问题就解决了. 证明：过 D 作 DGAB 交 BC 于 G. 则 BC BG AC AD BG BE FD EF ，. BC AC BG AD ADBE， BC AC FD EF . EFBCFDAC. 此题用同样的方法，还可通过作下列图辅助线证得，请同学们试试看. (1) 过 D 作 DHBC 交 AB 于 H 过 E 作 EKAB 交 CA 延长线于 K (2) (3) 过 E 作 ELAC 交 AB 延长线于 L H B A C D E F B F C D A E K L A B C D E F A C F D BG E 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 12 四利用第三积介绍. 四利用第三积介绍. 有的题证明三角形相似的条件不易找出，找第三比也比较困难，就试着找出等于等积 式两边的第三个量来证明.应用的知识有射影定理、圆中成比例线段定理，相似三角形的性 质与判定等. 例 5、如图，已知：ABC 中，AD、BF 分别是 BC、AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂 线交 AB 于 E ，交 BF 于 G，交 AC 延长线于 H. 求证：DE2EGEH. 分析：欲证 DE2EGEH，D、E、G、H 四点在同一直线上，无法证明三角形相似， 也没有等线段代换及比的传递，注意观察图形，由 AD BC，DEAB，根据射影定理可 得 DE2AEBE，只要证明 AEBEEGEH，AEHGEB 就可证出. 证明：ADBC，DEAB， DE2AEBE EHAB，BFAC， H2900，12900. 1H. RtAEHRtGEB. BE EH EG AE =. AEBEEGEH. DE2EGEH. 五把求证等积式比例式转化为求证垂直、求证角等.求证线段等，使证明简化. 五把求证等积式比例式转化为求证垂直、求证角等.求证线段等，使证明简化. 例 6、已知：正方形 ABCD，E 是 AB 的中点，F 是 AD 上的一点，且 AF1/4AD， EGCF，垂足为 G. 求证：EG2CGFG. 分析：欲证 EG2CGFG，由已知条件显然只 要证明 CEEF，根据射影定理就可直接得出. 证明：连结 CE，EF. E 是 AB 中点，AF1/4AD， ABADBC， 2 1 BC AE BE AF . 又AB90. AEFBCE. 12. 23900， 1390. 即 CEEF. A F E B C D G 1 3 2 A B C H D G E F 2 1 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 12 又EGCF， EG2CGFG. 以上是求证等积式比例式的基本思路和方法，在具体问题中，还要注意灵活运用规律， 综合使用知识，只有多练，多用才能把握规律，提高解决问题的能力.上述解题方法在求证 圆中等积式比例式时同样适用. 题型一、用比例的方法求证线段相等. 题型一、用比例的方法求证线段相等. 常用的方法 (1) nm n b m a =，Q， ba = 常用 m b m a =Q， ba =. (2) efbefa= 22 ，Q， . . 22 ba ba = = (3) ， 2 1 = +ba a Q . ba = 例 1例 1如图，梯形 ABCD，ADBC，对角线 AC，BD 相交于 O，过 O 的直线 EFBC，交 AB 于 E，交 CD 于 F. 求证：OE=OF 证明一：ADBC，EFBC， ADEFBC. . BC OF BC OE DC DF AB AE DC DF BC OF AB AE BC OE = = = ， ， OE=OF. 证明二：EFBC， ， DC DF BC OF AC AO BC OE = ADBC，EFBC， ADEF， A D E B C F O 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 12 . . BC OF BC OE DC DF AC AO = = OE=OF 说明：（1）此题直线 EF 可上、下移动，同样可以证明线段相等.如： 求证：EM=FN 求证：EP=FQ 请同学们试加证明. （2）证明一的证明方法，是证明此类习题的“通法”，同学应掌握. 例 2例 2如图，在ABC 中，A=90o，ABDE，ACFG 是正方形，CD 交 AB 于 M，BF 交 AC 于 N. 求证：AM=AN 证明：A=90o， ABDE，ACFG 是正方形， E、A、C，三点共线， G、A、B 三点共线. 设正方形 ABDE，ACFG 的边长分别为yx,， ABDE， yx y x AM + =， 同理 yx x y AN + =. . , x AN x AM yx y x AN = + = AM=AN. 说明：在等边三角形，正方形和圆的图形中，证明时往往设yx,或ba,，这样使习题 直观易证. A D E B C F M N A D C B E F P Q A B C D F E G N 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 12 例 3例 3如图，DEBC，CD、BE 交于 O， AO 延长线交 BC 于 M，交 DE 于 N. 求证：BM=CM. 证明一：过 O 作直线lBC， 交 DB 于 P，交 EC 于 Q. 由例一可证：OP=OQ PQBC， MC O AM AO BM OPQ =. BM=MC 证明二：过 B 作 BFDC，交 AM 延长线于 F，连结 CF. BFDC DB AD OF AO =. DEBC， . . EC AE OF AO EC AE DB AD = = BECF 四边形 BFCO 是平行四边形. BM=CM 证明三：DEBC， CM EN AM AN BM DN =， BM EN OM ON CM DN =. CM BM BM CM =. CM2=BM2. CM=BM. 证明四：DEBC， . . CM DN BM DN BC DE OC OD CM DN BC DE AB AD BM DN = = =， BM=CM. 说明：证明一，证明二是以图形的特点证明的，为此同学们要掌握图形的特点. A B C D E P Q N O M A B C D E F N O M A B C D E N O M 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 12 证明三，证明四，体现了证题方法的灵活性，要求同学们要有较强的“比的传 递”的能力. 题型二、用三角形相似的方法求证角等 题型二、用三角形相似的方法求证角等 用三角形相似的方法求证角等，是求证角等的重要方法，求证三角形相似常用“SAS”或 “SSS”，更多的是使用“SAS”，要注意证题的灵活性. 例 1例 1如图，ABBD，CDBD，AD，BE 相交于 E，EFBD. 求证：1=2. 证明：ABBD，CDBD， EFBD， ABEFCD. . DF BF CD AB EC BE DF BF EC BE CD AB = =， 又ABF=CDF= Rt， ABFCDF. 3=4. 1+3=90o， 2+4=90o， 1=2. 说明：此题的思路是：要求1=2，需求3=4，需求ABFCDF，通过已知可以 求得. 例 2例 2如图，已知 ABCD，对角线 AC，BD 交于 O，且 BD=2BC. 求证：ABC=COD. 分析：此题不难，但不易想出，要证 ABC=COD，由ABC+BCD=180o， COD+BOC=180o，需证BCD=BOC， 只要BOCBCD 即可得解. 证明： ABCD 是平行四边形 ， BO=OD. BD=2BC， . 2= BO BC BC BD 又1=1， BOCBCD. BCD=BOC. ABCD， ABC+BCD=180o. A B C D E F 1 2 3 4 B A C D O 1 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 12 / 12 COD+BOC=180o, ABC=COD. 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 11 1如果0 432 = zyx ，那么 zyx zyx + + 的值是（ ） A7 B8 C9 D10 2如果ABCABC，相似比为 k (k1)，则 k 的值是（ ） AA：A BAB：AB CB：B DBC：BC 3若ABCABC，A=40，C=110，则B等于（ ） A30 B50 C40 D70 4三角形三边之比 3：5：7，与它相似的三角形最长边是 21cm，另两 边之和是（ ） A15cm B18cm C21cm D24cm 5如图 ABCDEF，则图中相似三角形的对数为（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 6在比例尺 1：10000 的地图上，相距 2cm 的两地的实际距离是（ ） A200cm B200dm C200m D200km 7已知线段 a=10，线段 b 是线段 a 上黄金分割的较长部分，则线段 b 的长是（ ） 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 11 A8：3 B3：8 C8：5 D5：8 11ABCD 中 E 是对角线 AC 上任一点，过 E 的直线，PS 分别交 AB 的延长线，BC、 AC、AD、CD 的延长线于 P、Q、E、R、S。 求证：EPEQ=ERES 12ABCD 中，E 为 BC 中点，F 为 CD 中点，AE、AF 分别交 BD 于 P、Q，求证： BP=PQ=QD 13RtABC 中，ACB=90CDAB 于 D，DEAC 于 E， 求证： BD CE AC AD = 14ABC 中，AM 平分BAC，D 为 AM 的中点，DNAM，DN 交 BC 的延长线于 N，求证：MN2=BNCN 15正方形 ABCD 中，E 是 AB 中点，F 是 AD 上一点，且 AF=4 1 AD，EGCF 于 G，求 证：EG2=CGFG 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 11 1AD 是ABC 的内角平分线，自 D 向C 的外角平分线作垂线，与 AC 的延长线交于 F，又自 D 向B 的平分线作垂线交 AB 于 E.求证：AD2AEAF. 2在 RtABC 中，AD 是斜边 BC 的高，F 是 AD 的中点，BF 延长线交 AC 于 E，EG BC 于 G，G 为垂足.求证：EG 是 AE 和 EC 的比例中项. 3已知：在平行四边形 ABCD 中，过 A 作直线 AF，交 BD 于 O，交 BC 于 E，交 DC 延 长线于 F.求证：OA2OFOE. 4在ABC 中，D 为 BC 中点，过 D 作直线交 AC 于 E，交 BA 延长线为 F. 求证： EC AE FB AF . 5已知：在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边的高，B 的平分线交 AD 于 F，交 AC 于 E. 求证： AE EC FD AF . 6如图，已知：ABCD 是平行四边形，KFDC. 求证： BK CD DK CG . 7在ABC 中，D 为 BC 边的中点，E，F 分别在 AB、AC 上，且 AEAF，EF 与 AD 交 于 M. 求证： ME MF AC AB . 8已知：M、N 为正方形 BC、CD 上的点，且 BMCN，AM 与 BN 交于 P 点. 求证：BP2APMP. 9如图，AB=AC，ABAC，D、E 分别是 AB、AC 的三等分点. 求证：ADE=EBC. A B C D E F K G 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 11 10已知：O 是ABC 内一点，A、B、C 与 O 的连线分别交对边于 M、N、P，求证： 1= PB AP NA CN MC BM 11已知 P 是ABC 内任一点 求证： 1=+ CF PF BE PE AD PD 1、（几何证明选做题）如图，,90BD AEBCACD= = o ，且 6,4,12ABACAD=，则BE = 。 必会基础题答案： 必会基础题答案： 1C 2D 3A 4D 5C 6C 7A 8D 9B 10D 11分析：将乘积式变为比例式 )( EC EA EQ ER ES EP = 12分析： 3 1 2 1 = BD DQ AB DF BQ DQ 3 1 2 1 = BD BP AD BE PD BP 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 11 13分析：由 EDCB，得： AB AC BD CE = 再利用ACDABC 得证。 14分析：先证 MN=AN 再利用ABNCAN 15分析：可证：ACB=90 利用AEFBCE 提高拓展题答案： 提高拓展题答案： 1此题用证两个三角形相似的方法证明，但同学们证另一组角等时较为困难. 证明：如图, 12，34，56， BCFABCBAC， 451. F9004， 71800811800（9005）1 1800900（51） 9004， 7F. 又12， AEDADF. AF AD AD AE . AD2AEAF. 2此题用等线段代换证明较简单，可用中间比来证明. 证明：如图，延长 GE 与 BA 延长线交于 H. ADBC，EGBC， ADHG. EH AF BE BF EG DF . AFDF. EGEH. ABAC，EGBC， 12， RtAHERtGCE. EH EC AE EG =. EG EC AE EG =. EG2=AEEC. 即 EG 是 AE 和 EC 的比例中项. A E 2 D A C G F H B 1 C F E B 1 2 3 4 7 8 5 6 D 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 11 3证明：如图， QABCD 是 ， ADBC. OB OD OE OA . 同理 OB OD OA OF =. OA OF OE OA . OA2OEOF. 4此题是通过添加平行线传递比解决的，平行线可有多种添法. 证明：过 A 作 AGFD 交 BC 于 G. 则 CD DG EC AE BD DG FB AF =,. QBD=CD EC AE FB AF =. 5此题图形有多对三角形相似，使用射线定理传递比，使证明简捷. 证明：如图，Q如图，QABAC，ADBC. 3+DAC900，C=DAC=900. 3C 又Q1=2. BAFBCE. BC AB EC AF . Q1=2 , RtBDFBAE. AB BD AE DF =. QAB2BDBC, AB BD BC AB . AE DF EC AF =. 即 AE EC DF AF =. 6.有平行线就有成比例线段，要学会利用平行传递比，并注意使用更比. 证明：是ABCDQ ， ADBC，ABDC. FB CF AF GF AF GF CD CG =,. KFDC. A B C D E F O A B C D G E F A B C D E F 1 2 3 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 11 BK DK FB CF . BK DK CD CG =. BK CD DK CG . 7此题较为复杂，等积介绍也是传递比的一种方法. 证明：如图分别过 E、F 作 BC 的平行线，交 AD 于 P、Q 则 DC FQ AC AF BD EP AB AE =,. DCAFFQACBDAEEPAB,=. QAEAF，BDDC ABEPACFQ. EP FQ AC AB . QEPBC，FQBC， EPFQ. ME MF EP FQ . ME MF AC AB . 8此题用转化证垂直方法证明. 证明；如图，QABCD 是正方形, AB=BC, ABC=C. 又QBMCN, ABMBCN. 12. Q13900, 23900 即 BPAM. 又QABAC, BP2=APMP. 9 证明一：过 E 作 EHBC，H 是垂足. 设 AB 的长为 3a， D、E 分别是 AB、AC 的三等分点， AD=2a，AE=a，EC=2a. AB=AC，ABAC， C=45o，BC=23a. EHBC， EH=HC=2a， A B C D E H A B C D M N P 1 23 A B C D F E