常微分方程课件--可降阶的高阶方程

1.7可降阶的高阶方程,n阶微分方程的一般形式是:,(1.7.1),一、可降阶的高阶方程,(1.7.2),对上式进行k次积分,可求出方程(1.7.2)的解.,求解方法:,若能求得其通解为:,即,它是一个一阶方程,通解是:,则方程可化为:,即,解:令,积分上式四次,得原方程的通解为:,2、不显含自变量t的方程,求解方法:,方程的一般形式为:,(1.7.3),即有新方程:,它比原来的方程降低了一阶.,所以,于是原方程化为:,代入原变量得:,故原方程的解为:,3、全微分方程和积分因子,若方程,的左端是某个n-1阶微分表达式,对t的全导数，即,称(1.7.4)为全微分方程，显然有,(1.7.4),(1.7.5),若求得（1.7.5）的全部解:,则它也一定是(1.7.4)的解.,方程,但乘以一个合适的因子,因子.,例求解方程,解：原方程可以写成,即,积分后得通解为,故有,例求解方程,解:方程两边乘以因子,方程化为:,故有,解得,故原方程的解为,4、可降阶的高阶方程的应用举例,例、追线问题,轨迹.,解:首先我们建立点M运动时所满足的微分,方程模型.,标,根据条件有,（1.7.7）,图1.7,（1.7.6）,把（1.7.6）代入（1.7.8），并记,（1.7.8）,得:,（1.7.9）,即,由（1.7.9）和（1.7.10）得到M的追线方程,于是（1.7.11）变为,（1.7.10）,（1.7.11）,由此得,（1.7.12）,讨论方程,由图1.7知,在点M未追上点P之前,点P的横,所以积分上式得:,即,假设开始追逐是,点P和M同在一条平行于,由上式得:,（1.7.13）,（1.7.14）,(1.7.13)减去(1.7.14)得:,即,为了使点M有可能追上点P,我们假设,（1.7.15）,此时,由(1.7.15)得到追线方程为:,从而得追线方程:,当,时,就得到相遇点的坐标是,追上所需的时间是,例、悬链线问题,有一绳索悬挂在A和B两点(不一定是在同一,水平线),如图3.2所示.设绳索是均匀的,柔,软的,仅受绳本身的重量作用,它弯曲如图中的,形状,试确定该绳索在平衡状态时的形状.,图3.2,这一段在下面三个力的作用下平衡:,(1)在点P的张力T,方向沿着P点的切线方向;,(2)在点C的水平张力H;,在某一点Q处,不一定是CP的中心,见图3.3由于,现将张力分解为两个分力：水平方向分,两式相除，并利用关系式,（为点的切,线斜率）得：,是在最低点处的张力，是常数，但,距离时，段弧所增加的重量设绳索的密度,（1.7.1）,或,又由于,故,从而方程（1.7.16）化为：,（1.7.1）,记,为绳索最低点到坐标原点的距离，,则有：,分离变量，积分得：,即,式中,把初始条件,代入,（1.7.1）上式得：,（1.7.1）,上式两端同时乘以,，故（1.7.1）变为,得：,两式相加得：,即,积分上式，得：,把初始条件,代入上式得,得绳索的方程：,上式表示的曲线叫做悬链线,此时，绳索在最低点与点之间的一段,弧长是：,例BobBeamon的跳远记录,目前的跳远世界记录是Mikepowell在1991,年创造的，成绩是8.95m.但我们最感兴趣的是,BobBeamon在1968年于墨西哥城奥运会上创造的,当时世界记录，成绩是8.90m这个成绩超过以前,记录55cm.有人认为部分原因是