第3章-常微分方程的边值和本征值问题

第三章常微分方程的边值问题和本征值问题,本章要研究的物理问题：薛定谔方程的定态解,本章内容,4,Numerov算法,1,2,3,边值问题的直接积分,打靶法求边值问题,4,5,一维薛定谔方程的定态解,打靶法求本征值问题,3.0边值问题与本征值问题,在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束，这样方程的解就能唯一的确定，这类问题称为边值问题。,边值问题,存在唯一的解,例如,本征值问题,在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束。方程存在一个待定参数，只有当待定参数取特定值的时候，方程才存在非零解，这类问题称为本征值问题。,本征解和本征函数为,例如,物理学中许多重要的微分方程具有如下形式,其中S(x)为驱动项。K2(x)是一个实函数，自变量x通常表示空间位置,物理学中边值问题和本征值问题的一般形式,例如泊松方程,对于这个方程，我们通常关心的是在r=0和r=+上满足某种约束条件的解，这个问题就是一个边值问题,边值问题的例子泊松方程,球对称形式为,作变换,为标准形式,量子力学中，中心势场V(r)中运动的粒子波函数满足定态薛定谔方程,本征值问题的例子薛定谔方程,在球坐标系下可写为,对于该方程，我们感兴趣的是对哪些能量本征值E，能够导出满足适当边界条件的物理上可以接受的非零解，这个问题就是一个本征值问题,在分离变量之后可得径向波函数R(r)满足的方程为,3.1Numerov算法,Numerov算法是处理下面的方程的一个高精度的算法,对yn+1或者yn-1解这个线性方程，就提供了一个对x向前或者向后积分的递推关系，其局部误差为O(h6).,代入递推关系,注意这个算法比四阶Runge-Kutta算法高一个精度，而且Numerov算法更有效率，因为每一步只需要在一个格点上计算k2和S。,必须强调的是Numerov算法只适用于本章给出的微分方程，对其它类型的微分方程是不适用的,例子利用Numerov算法解初值问题,首先，写出本问题的Numerov算法递推关系,而y1是未知的，需要一个一步迭代格式来产生y1，例如可选择Euler方法或Taylor级数展开，并利用初始条件,当然我们可以将y1展开到O(h6)，使它有与Numerov算法同样的精度,这里我们采用Taylor级数展开，并取,它可以保证有O(h3)的精度,来确定y1。,注意Numerov算法与前面所讲算法的区别,前面的算法都是首先,而Numerov算法则是,3.2边值问题的直接积分,电荷密度分布为,求解泊松方程,这个方程存在解析解,其中,应用Numerov算法，递推关系为,启动递推关系还需的值,为了求得，直接对方程积分,计算结果发现，当r增大时，的误差变大,这个渐进方程有两个线性独立的解,r很大时，方程的渐进形式为,为什么直接积分会不稳定？,这个齐次方程有两个线性独立的解其通解可以写成这两个函数的线性组合，组合的系数由边条件来决定。,r（常数）,常数（r1）,当r很大时，位势r-1，因而1。,解决这一困难的办法是，对数值解进行修正从数值结果中去掉“坏”的、非物理的成分具体地说，就是从数值解中减去随r作线性变化的部分，以保证解的物理行为,而计算(0)的误差或向前积分过程中的任何误差都会导致混入第一个解r，这个解最终将在r大时占支配地位,例如1+0.0001r,已知1+br,b为未知常数，需要从解中减去br。,n=600b=(phi(n)phi(n-100)/(100*h)fork=1:nphi(k)=phi(k)-b*k*h;end,线性修正后得到的解,对于本例，我们也可以采用向后积分的迭代格式来实施直接积分，即从r很大处（例如r=20）出发，取n+1=n=1，然后向后积分。,3.3打靶法求边值问题,考虑下面的边值问题,与常微分方程问题不同，边值问题的定解条件分散在两个端点上，无法直接启动递推关系进行计算，因此需要一些辅助的处理手段。,这样对于给定的参数，我们就可以通过积分这个初始问题得到y(b),打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数的初始问题来处理，即考虑如下初始问题,一般来说，由于可调参数的随意选择，y(b)和yb很难相等。,y(b)=yb,问题转化为求下面方程的根,可以使用二分法、弦割法来解这个方程,打靶法就是通过使用一个搜索算法去调整参数，使得y(b)和yb在误差容忍范围内相等，从而达到数值求解边值问题的目的,例子,其中解析解为,利用打靶法求解常微分方程边值问题,对于边值条件y(0)=a,y(1)=b，我们可以选择y(0)的值为可调参数，即y(0)=，这样就构成了一个含参数的初始问题，然后通过使用一个搜索算法去调整参数，使数值解在误差范围内等于y(1)。,对边值问题的其它类型的边值条件也可以用同样的方法来考虑。,对于边值条件y(0)=a,y(1)=b，如何利用打靶法来求解？,3.4打靶法求解本征值问题,考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动，分离变量后，空间部分满足的方程和边界条件可以写成,是弦的横向位移，k是波数,解析解为,策略：我们先猜测一个试验本征值k，同时任取一个非零数，把微分方程变化为一个初始值问题,然后从x=0向前积分产生一个数值解。如果该数值解在x=1处的值与边条件(1)=0在误差范围内不相等，就改变试验本征值的值，再度积分。重复这个过程，直到最终找到本征值和对应的本征函数。,相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数,注意：试验本征值k是一个可调参数，而参数只是一个任意选定的辅助参数，它的任意性是由于解的不唯一性引起的，并不影响本征值的求解，一般来说它可以由本征函数的归一化来确定。,k,(1)=0,问题转化为求下面方程的根,3.5一维薛定谔方程的定态解,在x=xmin和x=xmax处两点位势变为无穷大，也就是说在这两点上有刚壁，在这两点之间则是一个势阱。,一维位势V(x)中一个质量为m的粒子的量子力学定态,定解问题,其中,求使这个问题有非零解的能量本征值E及其相应的波函数,算法的思想为：由于我们要求的是一个束缚态解,因此取一个负的试验本征值，从xmin出发向前直接积分，可以产生一个数值解。,的归一化总是可以这样选择，使得两个函数值在xm上相等。这时如果它们的微商在xm上也相等，那么就可以断言这个试验本征值就是能量本征值.,为了判断这个试验本征值是不是一个能量本征值,可以在一个接合点xm上比较，其中接合点xm要这样选择，使得两个积分都是准确的。这里接合点xm的一个方便的选择是左转折点或右转折点。,数学表达式为,这里的提供了一个方便的标尺,先将Schrdinger方程做无量纲处理，可以写成,按照打靶法的思路，实现数值计算的具体