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广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 1 / 14 广东省广东省 20162016 年高考信息卷年高考信息卷 数学（文史类） （十三） 一、选择题（题型注释） 1已知集合 2 |Mx xx， |2 , x Ny yxR，则MN （ ） （A）(0,1 （B）(0,1) （C）0,1) （D）0,1 2已知复数 3 21 i z i ，则的虚部是 （ ） （A） 1 5 （B） 1 5 （C） 1 5 i （D） 2 5 3平面向量a与b的夹角为 2 3 ，(3,0)a ，| 2b ，则|2 |ab（ ） A13 B37 C7 D3 4执行如图中的程序框图，若输出的结果为 21,则判断框中应填（ ） （A）5i （B） 6i （C）7i （D）8i 5 己 知 函 数(1)f x是 偶 函 数 ， 当(1,)x时 ， 函 数( )f x单 调 递 减 ， 设 1 (),(3),(0) 2 afbfcf，则, ,a b c的大小关系为（ ） A B C D 6 若函数( )2sinf xx(0)的图像在(0,2 )上恰有一个极大值和一个极小值， 则 的取值范围是（ ） 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 2 / 14 A 3 ( ,1 4 B 5 (1, 4 C 3 4 ( , 4 5 D 3 5 ( , 4 4 7已知直线 5 12 x 和点(,0) 6 恰好是函数( )2sin()f xx的图象的相邻的对称轴 和对称中心，则( )f x的表达式可以是 A( )2sin(2) 6 f xx B( )2sin(2) 3 f xx C( )2sin(4) 3 f xx D( )2sin(4) 6 f xx 8已知 0.6 log0.5a ，ln0.5b ， 0.5 0.6c 则（ ） （A）abc （B）acb （C）cab （D）cba 9已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实 数的取值范围是 ( ) A B C D 10要得到函数 ycos2x 的图象，只需将函数 ysin2x 的图象沿 x 轴( ) A.向右平移 4 个单位 B.向左平移 4 个单位 C.向右平移 8 个单位 D.向左平移 8 个单位 11已知函数的部分图象如图所示， 则函数的解析式为( ) A B C D 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 3 / 14 12 设)(xf，)(xg分 别 是 定 义 在R上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当0x时 ， ( ) ( )( ) ( )0fx g xf x g x，且0)3(g，则不等式( ) ( )0f x g x 的解集是 ( ) A( 3,0)(3,) B( 3,0)(0,3) C(, 3)(3,) D(, 3)(0,3) 二、填空题 13已知奇函数( )f x在0 x 时， 2 ( )logf xx，则( )f x在区间 1 2, 2 的值域 为 . 14 若 点( , )P x y满 足 线 性 约 束 条 件 20 220 0 xy xy y ， 则zxy的 取 值 范 围 是 15若点(cos,sin)P在直线2yx 上，则 3 cos(2) 2 的值等于 . 16已知直线21axby（其中, a b为非零实数）与圆 22 1xy相交于,A B两点，O 为坐标原点，且AOB为直角三角形，则 22 12 ab 的最小值为 . 三、解答题（题型注释） 17已知函数( )sin()(0) 6 f xAx 相邻两个对称轴之间的距离是 2 ，且满足， ()3. 4 f （1）求( )f x的单调递减区间； （2） 在钝角ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边， sinB=3sin,2,( )1C af A, 求ABC 的面积。 18已知函数( )cos()(0,0,0) 2 f xAxA 的图象过点（0，1 2 ） ，最小 正周期为 2 3 ，且最小值为1. （1）求函数( )f x的解析式. （2）若, 6 xm ，( )f x的值域是 3 1, 2 ，求 m 的取值范围. 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 4 / 14 19 在等差数列 n a中， 1 3a ， 其前 n 项和为 n S， 等比数列 n b的各项均为正数， 1 1b ， 公比为 q，且 22 12bS， 2 2 S q b . （1）求 n a与 n b； （2）设数列 n c满足 1 n n c S ，求 n c的前 n 项和 n T. 20椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 (1, ) 2 A，离心率为 1 2 ，左、右焦点分别为 12 ,F F， 过 1 F的直线交椭圆于,A B两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）当 2 F AB的面积为12 2 7 时，求直线的方程. 21某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间，按 年龄分组：第 1 组25,30)，第 2 组30,35)，第 3 组35,40)，第 4 组40,45)，第 5 组45,50)，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频率分布表. （1）求正整数, ,a b N的值； （2）现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1,2,3 组 的人数分别是多少？ （3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人 在第 3 组的概率. 22已知函数 2 ( )(1)ln1f xa xx （1）当 1 4 a 时，求函数( )f x的极值； （2）若函数( )f x在区间2,4上是减函数，求实数 a 的取值范围； 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 5 / 14 参考答案参考答案 1A 【解析】 试题分析：由 M 中不等式变形得：(1)0 x x，解得：01x，即0,1M ； 由 N 中的20 x y ，即(0,)N ，则(0,1MN ，故选 A. 考点：交集及其运算. 2B 【解析】 试题分析：由 3 (1 2 )221 21(12 )(1 2 )555 iiii zi iii ，则复数 z 的虚部是 1 5 ，故 选 B. 考点：复数代数形式的乘法运算. 3A 【解析】 试题分析：平面向量a与b的夹角为 2 3 ，(3,0)a ，| 2b ， 21 | |cos3 2 ()3 32 a bab ， 22 2 |2(2 )4494 4 1213abababa b ， 故选 A. 考点：平面向量数量积的运算. 4C 【解析】 试题分析：模拟程序框图执行过程，如下； 开始，1,0is，不输出，进入循环，1 是奇数？是， 2 0 11,1 12si ， 不输出，进入循环，2 是奇数？否， 2 123,2 13si ，不输出，进入循环， 3 是奇数？是， 2 336,3 14si ，不输出，进入循环， 4 是奇数？否 2 6410,4 15si ，不输出，进入循环， 5 是奇数？是， 2 10515,5 16si ，不输出，进入循环， 6 是奇数？否， 2 15621,6 17si ，退出循环，输出 21， 判断框中的条件是：7?i 故选 C 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 6 / 14 考点：程序框图. 5A 【解析】 试题分析：函数(1)f x是偶函数，当(1,)x时，函数( )f x单调递减，当 (,1)x 时 ， 函 数( )f x单 调 递 增 ， (3)( 1)bff， 1 101 2 ， 1 ( 1)()(0) 2 fff， 1 (3)()(0) 2 fff， bac，故选 A. 考点：奇偶性与单调性的综合. 6D 【解析】 试题分析：函数( )2sinf xx(0)的图像在(0,2 )上恰有一个极大值和一个极小 值， 35 2 22 ， 35 44 . 考点：1.三角函数图像；2.函数的极值. 7B 【解析】由题意 5 41264 T ，T，又 2 T ，2sin(2)0 6 ， , 3 kkZ ，故选 B 【考点】三角函数的图象与五点法 8 （B） 【解析】 试题分析：由 0.60.6 log0.5log0.6=1,1a .ln0.5ln10,0b. 0.50 00.60.61,01c .可得acb.故选（B） 考点：1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 9D 【解析】 试题分析：在(,0x 时，( )f x是增函数，值域为(0,1，在(0,)x时，( )f x是减 函数，值域是(,) ，因此方程( )f xk有两个不等实根，则有(0,1k. 考点：函数的图象与方程的根的关系. 10B 【解析】ycos2xsin(2x 2 )，只需将函数 ysin2x 的图象沿 x 轴向 4 个单位，即 得 ysin2(x 4 )cos2x 的图象，故选 B. 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 7 / 14 11B 【解析】 试题分析：由图象可知函数的最大值为2，最小值为-2，所以2A ; 由图象可知函数的周期 3 24 , 22 T 所以 221 = 42T 所以， 13 -+ = 2224 ， 所以函数的解析式为： 故答案选 B. 考点：三角函数的图象与性质. 12D. 【解析】 试题分析：先根据( ) ( )( ) ( )0fx g xf x g x可确定0)()( xgxf，进而可得到 )()(xgxf在0x时单调递增，结合函数)(xf，)(xg分别是定义在R上的奇函数和偶函 数可确定)()(xgxf在0x时也是增函数于是构造函数)()()(xgxfxF知)(xF在R 上为奇函数且为单调递增的，又因为0)3(g，所以0)3()3(FF，所以0)(xF 的解集为)3 , 0()3,(，故选 D 考点：利用导数研究函数的单调性 13B 【解析】 试 题 分 析 ： 由 函 数logyx的 图 象 可 得 函 数 在 1 ,2 2 上 的 值 域 为 22 1 log ( )log 2, 11 2 yy ，再由该函数是奇函数，根据它的对称性可得：在区间 1 2, 2 上的值域为11y ，故选 B 考点：1.函数的奇偶性;2.函数的单调性;3.对数函数 14 2,0) 【解析】 试题分析：作出不等式组 20 220 0 xy xy y 所表示的平面区域，如图： 作出直线 x-y=0， 对该直线进行平移， 可以发现当直线经过点 （0， 0） 时， Z 取得最大值 0， 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 8 / 14 当直线经过点（-2，0）时，Z 取得最小值-2，所以 Z 的取值范围为-2，0） 故答案为：- 2，0） 考点：简单线性规划. 15 5 4 【解析】 试题分析：点(cos,sin)P在直线2yx 上，sin2cos ，tan2 ， 22 32sincos cos(2)sin2 2sincos 2 2tan44 tan14 15 . 考点：1.诱导公式；2.倍角公式；3.齐次式. 164 【解析】 试题分析： 直线21axby（其中, a b为非零实数） 与圆 22 1xy相交于,A B两点， O 为坐标原点，且AOB为直角三角形，|22ABr，圆心 O（0,0）到直线 21axby的距离 22 12 2 2 d ab ，化为 22 22ab， 2222 22 22222222 121121414 (2)()(22)(42)4 222 baba ab abababab ， 当且仅当 22 21ba取等号， 22 12 ab 的最小值为 4. 考点：基本不等式. 17 （1） 5 ,(). 36 kkkZ ;（2）3. 【解析】 试题分析：（1） 相邻对称轴之间的距离为半个周期， 所以根据周期公式 2 T,可以求出， 然后根据 ()3. 4 f 可以求出A,函数的单调递减区间为 kxk2 2 3 6 2 2 ,zk ,即 可求出函数的单减区间; 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 9 / 14 （2） 可以根据正弦定理， 将CBsin3sin转化为cb3,利用 1Af,确定角 A 的大 小， 然后利用余弦定理，Abccbacos2 222 ,分别求出各边， 然后利用AbcSsin 2 1 . （1）由题意知周期T，, 2 因为3) 4 ( f，所以2A， ) 6 2sin(2)( xxf， 3 分 由 3 222,(), 262 kxkkZ )( , 6 5 3 Zkkxk ， 所以的单调递减区间为 5 ,(). 36 kkkZ 6 分 （2）由题意cb3，1) 6 2sin(2)( AAf, , 2 1 ) 6 2sin( A , 26 , 6 11 6 2 6 或AA 因为ABC 为钝角三角形，所以 2 舍去，故 6 A, 8 分 , 2 3 3234,cos2 2222222 ccccAbccba 所以, 32, 2bc 3 2 1 232 2 1 ABC S. 12 分 考点：1.三角函数的性质与图像；2.正余弦定理. 18 （1）( )cos(3) 3 f xx ； （2） 25 , 918 m 【解析】 试题分析： （1）根据余弦函数的性质求出最大值 A，再利用周期公式求出参数，最后根据 三角函数值求出的值即可.（2）由题意求出3 3 x 的取值范围，然后再根据余弦函数的 性质求解即可. 试题解析： （1）由函数的最小值为1，可得 A=1，因为最小正周期为 2 3 ，所以 =3.可 得( )cos(3)f xx， 又因为函数的图象过点 （0，1 2 ） ， 所以 1 cos 2 ， 而0 2 ， 所以 3 ， 故( )cos(3) 3 f xx . （2）由, 6 xm ，可知 5 33 633 xm ，因为 53 ()cos 662 f ，且 cos =1， 73 cos 62 ，由余弦曲线的性质的， 7 3 36 m ，得 25 918 m ，即 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 10 / 14 25 , 918 m . 考点： （1）余弦函数的性质和图象； （2）余弦函数性质的应用. 19(1) 3 n an，； （2） 2 3(1) n n T n . 【解析】 试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列的前 n 项和 公式、 裂项相消法求和等数学知识， 考查学生的计算能力和分析问题的能力.第一问， 利用等 比数列的通项公式和等差数列的前 n 项和公式将已知表达式展开， 求出d和q， 从而求出等 差数列、等比数列的通项公式；第二问，利用等差数列的前 n 项和公式先求出 n S，得到 n C 进行裂项，用裂项相消法求数列的前 n 项和 n T. 试题解析： （1）设的公差为. 因为所以 3 分 解得 或（舍） ， 故 ，. 6 分 （2）由（1）可知， 7 分 所以. 9 分 故 12 分 考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.等差数列的前 n 项和公式；3.裂项相消法求和. 20 （1） 22 1 43 xy ； （2）直线方程为：10 xy 或10 xy . 【解析】 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交 问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算 能力.第一问，由于椭圆过点 A，将 A 点坐标代入得到 a 和 b 的关系式，再利用椭圆的离心 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 11 / 14 率得到 a 与 c 的关系式，从而求出 a 和 b，得到椭圆的标准方程；第二问，过 1 F的直线有特 殊情况，即当直线的倾斜角为 2 时，先讨论，再讨论斜率不不为 2 的情况，将直线方程与 椭圆方程联立， 利用韦达定理得到 12 xx和 12 x x， 代入到三角形面积公式中， 解出 k 的值， 从而得到直线方程. 试题解析： （1）因为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 (1, ) 2 A，所以 22 19 1 4ab ，又 因为离心率为 1 2 ，所以 1 2 c a ，所以 2 2 3 4 b a ，解得 22 4,3ab. 所以椭圆的方程为： 22 1 43 xy （4 分） （2）当直线的倾斜角为 2 时， 33 ( 1, ), ( 1,) 22 AB , ，不适合题意。 （6 分） 当直线的倾斜角不为 2 时，设直线方程:(1)l yk x， 代入 22 1 43 xy 得： 2222 (43)84120kxk xk （7 分） 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 2 12 2 8 43 k xx k , 2 12 2 412 43 k x x k , ， 所以直线方程为：10 xy 或10 xy （12 分） 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积 公式. 21 （1）25a ，100b ，250N ； （2）第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人； （3） 8 15 . 【解析】 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 12 / 14 试题分析：本题主要考查频率分布直方图、分层抽样、随机事件的概率等数学知识，考查学 生的分析问题解决问题的能力，考查学生的读图能力和计算能力.第一问，由频率分布直方 图分析25,30)与30,35)两组的人数相同， 所以25a 人， 由于35,40)的高是30,35)的 4 倍，所以b为 100 人；第二问，由第一问知，第 1，2，3 组共有 150 人，用分层抽样 样本容量 总容量 列出表达式，求出各层中需要抽取的人数；第三问，分别设出第 1，2，3 组抽取 的人为 1234 , ,A B CCCC，分别写出从 6 人中选取 2 人的情况共 15 种，在所有情况中 选出符合题意的种数共 8 种，然后求概率. 试题解析： （1）由频率分布直方图可知，25,30)与30,35)两组的人数相同， 所以25a 人 1 分 且 0.08 25100 0.02 b 人 2 分 总人数 25 250 0.02 5 N 人 3 分 （2）因为第 1，2，3 组共有 25+25+100=150 人，利用分层抽样在 150 名员工中抽取6 人，每组抽取的人数分别为： 第 1 组的人数为 25 61 150 ， 4 分 第 2 组的人数为 25 61 150 ， 5 分 第 3 组的人数为 100 64 150 ， 6 分 所以第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人 7 分 （3） 由 （2） 可设第1组的1人为A， 第2组的1人为B， 第3组的4人分别为 1234 ,C C C C， 则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为： ( ,)A B， 1 ( ,)A C， 2 ( ,)A C， 3 ( ,)A C， 4 ( ,)A C， 1 ( ,)B C， 2 ( ,)B C， 3 ( ,)B C， 4 ( ,)B C， 12 (,)C C， 13 (,)C C， 14 (,)C C， 23 (,)C C， 24 (,)C C， 34 (,)C C， 共 有 种 9 分 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为： 1 ( ,)A C， 2 ( ,)A C， 3 ( ,)A C， 4 ( ,)A C， 1 ( ,)B C， 2 ( ,)B C， 3 ( ,)B C， 4 ( ,)B C，共有 8 种 11 分 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 8 15 12 分 考点：1.频率分布直方图；2.分层抽样；3.随机事件的概率. 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 13 / 14 22 （1）极大值 3 (2)ln2 4 f； （2） 1 (, 4 ； （3）(,0. 【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值 等基础知识， 考查学生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、 计算能力.第一问， 将 1 4 a 代入( )f x中，对( )f x求导，令 ( ) 0fx ， ( ) 0fx ，判断函数( )f x的单调性，所以当 2x 时，函数( )f x取得极值；第二问，将题目转化为 ( ) 0fx 在2,4上恒成立，再转化 为 2 1 2a xx 在2,4上恒成立，再转化为 min 2 1 2()a xx ，利用配方法求函数的最小 值，解出 a 的取值范围；第三问，将题目转化为当1,)x时，不等式( )f xx恒成立， 即 max ( )0g x，讨论 a 的值，在每一种情况下判断单调性，求函数最值，验证 max ( )0g x. 试题解析：（1） 当 1 4 a 时， 22 1113 ( )(1)ln1ln(0) 4424 f xxxxxxx ， 111(2)(1) ( )(0) 222 xx fxxx xx ， 由 ( ) 0fx 解得02x，由 ( ) 0fx 解得2x ， 故当02x时，( )f x的单