广东数学信息卷十理PDF

广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 1 / 9 广东省广东省 20162016 年高考信息卷年高考信息卷 数学（理工农医类） （十） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求. 1设z的共轭复数是z，若8, 4zzzz，则 z z （ ） Ai Bi C1 Di 2已知ba , 均为单位向量，它们的夹角为 60，则|3|ba （ ） A7 B10 C13 D4 3从某地高中男生中随机抽取 100 名同学，将他们的体重（单位：kg） 数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知体重的平均值为 （ ） A64.5 B59.5 C69.5 D50 4、宜春为 “月亮文化节”招募了 20 名志愿者，他们的编号分别是 1 号、2 号、19 号、20 号若要从中任意选取 4 人再按编号大小分成 两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组那 么确保 5 号与 14 号入选并被分配到同一组的选取种数是（ ） A16 B.21 C.24 D.90 5 已知两定点( 1,0)A 和(1,0)B， 动点( , )P x y在直线:2l yx上移动， 椭圆C以,A B 为焦点且经过点P，记椭圆C的离心率为( )e x，则函数( )ye x的大致图像是（ ） 6如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2；侧视图一 直角三角形；俯视图为一直角梯形，且 AB=BC=1，则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切值 是（ ） 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 2 / 9 A.1 B.2 C. 1 2 D. 1 2 7已知实数 x1，9，执行如图所示的流程图，则输出的 x 不小于 55 的概率为 （ ） A. 5 8 B. 3 8 C. 2 3 D. 1 3 8.若方程的任意一组解( , )x y都满足不等式 xy，则的取值范围是（ ） A. 5 , 44 B. 513 , 1212 C. 7 , 46 D. 77 , 126 9已知 F1， F2分别为双曲线的左右焦点，P 为双曲线上除 顶点外的任意一点，且F1PF2的内切圆交实轴于点 M，则|F1M|MF2|的值为（ ） A b 2 B a 2 C c 2 D 10已知函数( )|4|()f xx xxR，若存在正实数k，使得方程kxf)(在区间 （2，+）上有两个根ba,，其中ab，则)(2baab的取值范围是（ ） A)222 , 2( B)0 , 4( C)2 , 2( D)2 , 4( 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 11 设 随 机 变 量 2 1,5XN， 且02P XP Xa， 则 实 数a的 值 为 13、 已知数列an为等差数列， 公差 d0an的部分项组成的数列ak1,ak2,akn恰为等比数列， 其中k1=1,k2=5,k3=17，则kn= . 14已知是定义在1，1上的奇函数且，当、1，1 ，且 时，有，若对所有、 恒成立，则实数 m 的取值范围是 . 三.选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共 5 分. 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 3 / 9 15 （1） （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点 3 2, 2 A ，点B在直线 cos3 sin0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为 （2） （不等式选讲选做题）对于任意, sin2sin3R a a 2 恒成立，则实数 a 的取值范围_. 四解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （本小题满分 12 分） 已知(2sin , 2cos()1) 2 axx ，(cos , 2cos()1) 2 bxx ，设( )f xa b （1）求( )f x的最小正周期和单调增区间； （2）在ABC中，, ,a b c分别为, ,A B C的对边，且2a ，( )1f A ，6b ，求边c 17 （本小题满分 12 分） 某商场共五层，从五层下到四层有 3 个出口，从三层下到二层有 4 个出口，从二层下到一层 有 4 个出口，从一层走出商场有 6 个出口。安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层 的安保工作。 假设每名警员到该层各出口处的时间相等， 某罪犯在五楼犯案后， 欲逃出商场， 各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵。逃犯在每层选择出口是等可能的。已知他被 三楼警员抓获的概率为 9 1 （）问四层下到三层有几个出口？ （）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时，他已下了层楼， 写出的分布列，并求E 18 （本小题满分 12 分） 如图正三棱柱 111 ABCABC中， 底面边长为a， 侧棱长为 2 2 a， 若经过对角线 1 AB且 与对角线 1 BC平行的平面交上底面于 1 DB。 （1）试确定D点的位置，并证明你的结论； （2）求二面角DABA 11 的大小； 19、 （本小题满分 12 分） 数列 n a的前n项和为 n S， 2 13 1() 22 nn SannnN （）求数列 n a的通项公式； （）若 1 ( ) 2 n nn ca， 2 2013 2 1 1 ii i ii cc p cc ，求不超过P的最大的整数值 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 4 / 9 20 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为 4。 （）求椭圆 C 的标准方程； （）， 是椭圆 C 上两个定点，A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动 点。 若直线 AB 的斜率为，求四边形 APBQ 面积的最大值； 当 A、B 两点在椭圆上运动，且满足APQ=BPQ 时，直线 AB 的斜率是否为定 值，说明理由。 21 （本小题满分 14 分） 设( )(1) x f xea x （1）若0,( )0af x对一切xR恒成立，求a的最大值 （2）设( )( ) x a g xf x e ，且 112212 ( ,), (,)()A x yB xyxx是曲线( )yg x上任意两点， 若对任意的1a ，直线 AB 的斜率恒大于常数m，求m的取值范围； B A P Q O x y 20 题 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 5 / 9 参考答案参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B A C B B A B 二、填空题 11、 4 ； 12、-1 ； 13、132 1 n ； 14、0或2或2mmm; 15、 （1） 11 1 6 （，）； （2）(,0)1,2 三、解答题 16、解： （1） 2 ( )2sin cos2cos ()1sin2cos(2) 2 f xa bxxxxx sin2cos22sin(2) 4 xxx 所以( )f x的最小正周期 2 2 T 由222, 242 kxkkZ 得单调增区间为： 3 , 88 kkkZ （2）2a ，6b ，ab 0 2 A ( )2sin(2)1 4 f AA 2 sin(2) 42 A 又 3 2 444 A 2, 444 AA 由余弦定理 222 2cosabcbcA得： 2 463cc即 2 2 320cc 31c 或31c 17解： （1）设四层下到三层有n个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警 员均没有与他相遇。 9 1 4 1 ) 1 1)( 3 1 1 ( n ，解得3n （2）可能取值为 0,1,2,3,4,5 9 2 3 1 ) 3 1 1 () 1(, 3 1 )0(pp 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 6 / 9 9 1 4 1 ) 3 1 1)( 3 1 1 ()2(p 12 1 4 1 ) 4 1 1)( 3 1 1)( 3 1 1 ()3(p 4 1 )4(p 所以，分布列为 0 1 2 3 4 p 3 1 9 2 9 1 12 1 4 1 36 61 4 1 4 12 1 3 9 1 2 9 2 1 3 1 0E 18、解： （1）D为 11 AC的中点.连结 1 AB与 1 AB交于E， 则E为 1 AB的中点，DE为平面 1 AB D与平面 11 ABC 的交线， 1 BC/平面 1 AB D 1 BC/DE，D为 11 AC的中点。 （2）过D作 11 DFAB于F，由正三棱柱的性质， 1 ,AADFDF平面 1 AB， 连结DEEF,， 在正 111 CBA中，D是 11C A的中点， , 2 3 2 3 111 aBADB又在直角三角形DAA1中， , 2 3 2 1 2 1 aDAAAAD,. 11 ABDEDBAD所以可得 1 ABEF .则DEF为二面角DABA 11 的大小，可求得 3 4 DFa， 111 AABFEB， 得aEF 4 3 ， 4 DEF.即所求. 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 7 / 9 （2）解法（二） （空间向量法） 建立如图所示空间直角坐标系，则),0 , 2 1 , 0(aA ) 2 2 , 2 1 , 0(), 2 2 , 0 , 2 3 (), 2 2 , 2 1 , 0( 111 aaAaaCaaB， ). 2 2 , 4 1 , 4 3 (aaaD )0 , 4 3 , 4 3 (), 2 2 , 0( 11 aaDBaaAB。设),( 1 zyxn 是平面DAB1的一个 法向量，则可得 0 0 11 11 DBn ABn ，所以 0 4 3 4 3 0 2 2 ayax azay .所以可得).2, 1 , 3( 1 n 又平面 1 AB的一个法向量),0 , 0 , 2 3 ( 2 aOCn设，的夹角是与 21 nn则 . 2 2 cos 21 21 nn nn 又可知二面角DABA 11 是锐角,所以二面角DABA 11 的大小是. 4 19、解： （）因为， 所以 当1n时，12 1 a，则， 当时， 所以，即， nn ban 所以，而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 1 2 n n b 1 2 n n an （）由(1)知 1 2 n n an ncn 2 22 11111 111 (1)1 nn nnnn cc ccccn nnn ， 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 8 / 9 所以 2 2013 2 1 1 ii i ii cc P cc 111111111 (1)(1)(1)(1)2014 122334201320142014 L， 故不超过的最大整数为2013 20、解： （）设 C 方程为 由已知 b= 离心率 得 所以，椭圆 C 的方程为 （）由（）可求得 P、Q 的坐标为 ，则， 设 AB(),直线 AB 的方程为，代人 得 由0,解得，由根与系数的关系得 四边形 APBQ 的面积 故，当 APQ=BPQ 时，PA、PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为， 则 PB 的斜率为， PA 的直线方程为与联立解得 ， 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 9 / 9 同理 PB 的直线方程，可得 所以 所以直线 AB 的斜率为定值 21 解：（1）( )(1) x f xea x，( ) x fxea， 0a ，( )=0 x fxea的解为lnxa， min ( )(ln )(ln1)lnf xfaaaaaa ， ( )0f x 对一切 xR 恒成立，ln0aa，ln0aa ， max 1a （2）设 21 xx、是任意的两实数，且 21 xx m xx xgxg 12 12 )()( ，故 2211 ()( )g xmxg xmx 不妨令函数mxxgxF)()(，则( )F x在 （，）上单调递增，