广东数学信息卷十四文PDF

广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 1 / 9 广东省广东省 20162016 年高考信息卷年高考信息卷 数学（文史类） （十四） 第卷（选择题，共第卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1若集合 Ax2x1，Bx0x2，则集合 AB Ax1x1 Bx2x1 Cx2x2 Dx0x1 2设复数 z 满足（1i）z2i，则 z A1i B1i C1i D1i 3设平面与平面相交于直线 m，直线 a 在平面内，直线 b 在平面内，且 bm，则“ ”是“ab”的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 cos 4 5 ，且（ 2 ，） ，则 tan（ 4 ） A 1 7 B7 C 1 7 D7 5若双曲线 22 2 1 3 yx a （a0）的离心率为 2，则 a 等于 A2 B3 C 3 2 D1 6下面框图表示的程序所输出的结果是 A1320 B132 C11880 D121 7如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半 圆） ，则该几何体的表面积是 A203 B243 C204 D244 8已知平面向量 a，b，满足 a（1，3）,b3， a（a2b） ，则ab A2 B3 C4 D6 9若圆 C： 22 xy2x4y30 关于直线 2axby60 对 称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是 A2 B3 C 4 D6 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 2 / 9 10各项不为零的等差数列 n a中，2a3 2 7 a2a110，数列 n b是等比数列，且 b7a7， 则 b6b8 A2 B4 C8 D16 11如图，圆 C 内切于扇形 AOB，AOB 3 ，若在扇形 AOB 内 任取一点，则该点在圆 C 内的概率为 A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 3 4 12若函数 f（x）满足 f（x）1 1 (1)f x ，当 x0，1时，f（x）x，若在区间 （1，1上，g（x）f（x）mx2m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是 A0m 1 3 B0m 1 3 C 1 3 m1 D 1 3 m1 第卷（非选择题，共第卷（非选择题，共 9090 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题。每个试题考生都必须 做答。第 22 题第 24 题为选考题考生根据要求做答。 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若 x，y 满足不等式组 240, 6280, 2, xy x x y 则 y x 的最小值为_ 14若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则它的外接球的体积为_ 15已知以 F 为焦点的抛物线 2 y4x 上的两点 A，B 满足AF uuu r 2FB uur ，则弦 AB 中点到准 线的距离为_ 16已知函数 f（x）的定义域为1，5，部分对应值如右 表，f（x）的导函数 y( )fx的图象如图所示， 下列关于 f（x）的命题： 函数 f（x）是周期函数； 函数 f（x）在0，2上是减函数； 如果当 x1，t时，f（x）的最大值是 2，那么 t 的 最大值是 4； 当 1a2 时，函数 yf（x）a 有 4 个零点； 函数 yf（x）a 的零点个数可能为 0，1，2，3，4 其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号） x 1 0 4 5 f （x） 1 2 2 1 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 3 / 9 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c2，向量 m（c，3b） ， n（cosC，sinB） ，且 mn （）求角 C 的大小； （）若 sin（AB） ，sin2A，sin（BA）成等差数列，求边 a 的大小 18 （本小题满分 12 分） 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对 30 名六年级学生进行了问卷调 查，得到如下列联表（平均每天喝 500ml 以上为常喝，体重超过 50kg 为肥胖） ： 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人，抽到肥胖的学生的概率为 4 15 （）请将上面的列联表补充完整； （）是否有 995的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由； （）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2 名女生） ，抽取 2 人参加电视节目，则正好 抽到一男一女的概率是多少?参考数据： 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是直角梯形 ABCD， 其中 ADAB，CDAB，AB4，CD2，侧面 PAD 是 边长为 2 的等边三角形，且与底面 ABCD 垂直，E 为 PA 的中点 （）求证：DE平面 PBC； （）求三棱锥 APBC 的体积 20 （本小题满分 12 分） 已知直线l：y3x23过椭圆 C： 2 22 1 x ab 2 y （ab0）的右焦点，且椭圆的 离心率为 6 3 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 D（0，1）的直线与椭圆 C 交于点 A，B，求AOB 的面积的最大值 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计 30 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 4 / 9 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x） 2 2 a xbxlnx（a，bR） （）若 ab1，求 f（x）点（1，f（1） ）处的切线方程； （）设 a0，求 f（x）的单调区间； （）设 a0，且对任意的 x0，f（x）f（2） ，试比较 ln（a）与2b 的大小 请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，四边形 ACED 是圆内接四边形，AD、CE 的延 长线交于点 B，且 ADDE，AB2AC （）求证：BE2AD； （）当 AC2，BC4 时，求 AD 的长 23 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知直线l经过点 P（ 1 2 ，1） ，倾斜角 6 ，圆 C 的极坐标方程为2cos（ 4 ） （）写出直线l的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程； （）设l与圆 C 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两点的距离之积 24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知 ab1，对a，b（0，） ， 1 a 4 b 2x1x1恒成立， （）求 1 a 4 b 的最小值； （）求 x 的取值范围。 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 5 / 9 参考答案参考答案 一、选择题 1-4 DBBD; 5-8 DAAB; 9-12 CDCA. 二、填空题 (13) 3 4 ； (14) 3 2 ; (15) 9 4 ; (16). 三、解答题 (17)解析：(I)由m n , 得sin3 cos0cBbC ，1 分 由正弦定理可得sinsin3sincos0CBBC,3 分 tan3C， 4 分 0C, 3 C .6 分 (II)sin(),sin2 ,sin()ABABA成等差数列， sin()sin()2sin2ABBAA ,7 分 得sin()sin()4sincosABBAAA ,得cos (sin2sin)0ABA， cos0A 或sin2sinBA，得90A 或2ba.8 分 若90A ， 3 C ,则 4 3 sin3 c a C ;10 分 若2ba，由 22 4abab得 2 3 3 a .12 分 (18)解析： （I）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人， 24 ,6 3015 x x .1 分 常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22 合计 10 20 30 3 分 （II）由已知数据可求得： 2 2 30(6 182 4) 8.5227.879 10 20 8 22 K 6 分 因此有99.5的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关8 分 （III） 设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为 A、B、 C、D， 女生为 E、 F，则任取两人有 AB， AC， AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共 15 种. 9 分 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 6 / 9 其中一男一女有 AE，AF，BE，BF，CE，CF， DE，DF.共 8 种.10 分 故抽出一男一女的概率是 8 15 p .12 分 （19）解： (I)证明： 如图， 取AB的中点F， 连接DF，EF. 在直角梯形ABCD中，CDAB， 且AB4，CD2， BFCD且BF=CD. 四边形BCDF为平行四边形 DFBC. 2 分 在PAB中，PEEA，AFFB， EFPB.3 分 又因为DFEFF，PBBCB， 平面DEF平面PBC.4 分 因为DE 平面DEF，所以DE平面PBC. 6 分 (II)取AD的中点O，连接PO.在PAD中，PAPDAD2， POAD，PO3.7 分 又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PO平面ABCD.8 分 在直角梯形ABCD中，CDAB，且AB4，AD2，ABAD，9 分 SABC1 2ABAD 1 2424.10 分 故三棱锥APBC的体积 A PBCP ABC VV 1 3S ABCPO1 34 34 3 3 .12分 (20)（）直线 的方程为32 3yx ， ，椭圆的焦点为直线 与轴的交点 椭圆的焦点为 , ，2 分 又 , ， ,3 分 椭圆方程为4 分 ()直线AB的斜率显然存在，设其为k，直线AB方程为1ykx，5 分 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由 22 1 1 62 ykx xy ，得 22 (31)630kxkx， 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 7 / 9 显然0, 1212 22 63 , 3131 k xxx x kk ，8 分 2 121212 11 ()4 22 AOBAODBOD SSSOD xxxxx x 22 22222 1361261 3 2(31)31(31) kk kkk 2 22222 2(31) 121 33 (31)31(31) k kkk 10 分 令 2 1 , 31 t k 则0,1t, 22 323(1)1 AOB Sttt , 1t ，即0k 时， AOB S的最大值为3.12 分 (21)解析： （I）1ab时，xxxxfln 2 1 )( 2 ， x xxf 1 1)(，1 分 2 1 ) 1 (f，(1)1k f ， 2 分 故( )f x点(1,(1)f处的切线方程是2230 xy 3 分 （II）由 ，0ln 2 2 xxbxx a xf，得 x bxax xf 1 )( 2 4 分 当0a 时，0)( x f，得01 2 bxax，由 2 40ba , 得 a abb x a abb x 2 4 2 4 2 2 2 1 ， 显然，00 21 xx， 当 2 0 xx 时，0)( x f，函数( )f x单调递增;当 2 xx 时，0)( x f，函数)(xf单调递 减， ( )f x的单调递增区间是 2 4 (0,) 2 bba a ， 单调递减区间是 2 4 (,) 2 bba a 8 分 （III）由题意知函数( )f x在2x 处取得最大值由（II）知， 2 4 2 bba a 是( )f x的唯一 的极大值点， 故 2 4 2 2 bba a ，整理得 21 4ba .9 分 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 8 / 9 于是ln()( 2 )ln()( 14 )ln() 14abaaaa 令( )ln14 (0)g xxx x ，则 1 ( )4g x x 令0)( x g，得 1 4 x ， 当 1 (0) 4 x，时，0)( x g，( )g x单调递增； 当 1 () 4 x，时，( )0g x，( )g x单调递减10 分 因此对任意0 x ，( )g x 11 ( )ln0 44 g，又0a ， 故()0ga，即ln() 140aa ，即ln()142aab ， ln()2ab 12 分 （22）解() 因为四边形为圆的内接四边形,所以 1 分 又DBECBA 所以BDEBCA，则. 3 分 而，所以.4 分 又，从而 5 分 ()由条件得 . 6 分 设，根据割线定理得 ，即 所以 ， 解得 ,即. 10 分 （23）解： （I）直线l的参数方程为 1 cos 26 1sin 6 xt yt ，即 13 22 1 1 2 xt yt （t为参数）2 分 由2cos() 4 得cossin，所以 2 cossin.4 分 得 22 xyxy，即 22 111 ()() 222 xy. 5 分 广东省 2016 年高考信息卷 数学（文史类） 9 / 9 （II）把 13 22 1 1 2 xt yt 代入 22 111 ()() 222