数学一轮总第十五章数系的扩充与复数的引入训练检测PDF理新人教B

第十四章 推理与证明 组 年高考模拟提升题组 时间： 分钟 分值： 分 一、填空题（每题 分，共 分） （ 安徽黄山质检一，）对正整数 的三次幂可用奇数进 行以下方式的“分拆”：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，以此类 推，若 的“分拆”中含有奇数 ，则 的值为 答案 解析 可拆分成 ，可拆分成 个连续奇数相加， 可拆分成 个连续奇数相加，可拆分成 个连续奇数 相加， 可拆分成 个连续奇数相加，且此 个数的最后一项是等 差数列的第（） （） 项， 此 个数的第一项是等差数列的第 （） 项， 而 是等差数列的第 项， （） （） ， 易知只有整数 满足上述不等式， （ 湖北襄阳 月月考，）观察下列等式： ， ， ， 则当 ，且 、时， （最后结果用 、 表示） 答案 解析 当，时，原式 ，此时 ， 当 ， 时，原式 ，此时 ， 当 ， 时，原式 ，此时 ， 由归纳推理可知： （ 山东潍坊一模，）对于实数 ，表示不超过 的最 大整数，观察下列等式： ， ， ， 按照此规律，第 （）个等式的等号右边为 答案 （）（或 ） 解析 因为表示不超过 的最大整数， 所以 ， ， 等式： ， ， ， ， 第 个式子的左边有 项，右边， 第 个式子的左边有 项，右边， 第 个式子的左边有 项，右边， ， 第 （）个式子的左边有（）项，右边 （）个 （） 二、解答题（共 分） （ 山东潍坊一模，）已知函数 （） （）若 （）无极值点，求 的取值范围； （）设 （） （ ） ，当 取（） 中的最大值时，求 （）的最小值； （）证明不等式： （ ） （） 解析 （）函数 （）的定义域为（， ），求导可得 （） ， 函数 （）无极值点， 方程 在（， ）上无实 根或有唯一实根， 方程 在（，）上无实根或有唯一实根， 又 时， （当且仅当 时取等号），故 () ， （）当 时，（） ，（） （ ）， 由（）知，（）在（，）上是增函数， 当 （，）时，（） （） ，即 当 （，）时，（） （） ，即 当 时， ， 令 ，则 ， 两边平方得 （ ）， 当 时， （ ） 成立，当且仅当 时取等号， 当 时，函数 （）取最小值 （）证明：由（）知，当 时， （ ）， 即当 时， 成立， 令 ，得 ， 即 （ ） ， （ ） ， 即 （ ） （） 年高考年模拟 版（教师用书） 第十五章 数系的扩充与复数的引入 对应学生用书起始页码 考点一 复数的概念 （ 课标全国， 分）已知 （）（） 在复平 面内对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ） （，）（，）（， ）（，） 答案 由已知可得 ， ， 故 选 （ 山东， 分）若复数 满足 ，其中 为虚数 单位，则 （ ） 答案 设 （、），则 （） ， ， ，故选 （ 广东， 分）若复数 （）（ 是虚数单位），则 （ ） 答案 （） ，所以 ， 所以 ，故选 （ 湖北， 分） 为虚数单位，的共轭复数 为（ ） 答案 （ ）， 的共轭复数为 （ 课标， 分）设复数 ，在复平面内的对应点关于 虚轴对称，则 （ ） 答案 由题意得 ， （）（） ，故 选 （ 大纲全国， 分）设 ，则 的共轭复数为 （ ） 答案 （） （）（） ， 故选 （ 江西， 分） 是 的共轭复数，若 ，（）（ 为虚数单位），则 （ ） 答案 令 （，），则 ，所以 ，得 ，（），得 ， ，故选 （ 四川， 分）如图，在复平面内，点 表示复数 ，则图 中表示 的共轭复数的点是（ ） 答案 设 （， ），则 的共轭复数 ，它对应点的坐标为（，），是第三象限的点故选 （ 北京， 分）在复平面内，复数（） 对应的点位于 （ ） 第一象限第二象限第三象限第四象限 答案 （） ，对应的点为（，），位 于第四象限，故选 （ 天津， 分） 是虚数单位，若复数（）（）是纯 虚数，则实数 的值为 答案 解析 （）（） （） 为纯虚数， ， ， 解得 （ 重庆， 分）设复数 （，）的模为 ，则（ ）（） 答案 解析 复数 （，）的模为 ，则 ，则（）（） （） （ 江苏， 分）已知复数 （） （ 为虚数单位），则 的实部为 答案 解析 （） ，故 的实部为 以下为教师用书专用（） （ 课标全国， 分）若复数 满足（） ， 则 的虚部为（ ） 答案 ， （） ，虚部为 ，故选 （ 上海， 分）若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（ ） ， ， 答案 是关于 的实系数方程 的 一个根， （ ） （ ） ，整理得（） （ ），则 ， ， 解得 ， ， 故选 评析 本题考查复数运算及复数相等的定义，复数问题 “实数化”是解题关键，考查学生运算求解能力 第十五章 数系的扩充与复数的引入 考点二 复数的运算 （ 课标全国， 分）设（），其中 ， 是实数， 则 （ ） 答案 ，（）， ， ， ， 故选 （ 课标全国， 分）若 ，则 （ ） 答案 （）（） ， ，故选 （ 课标， 分）若 为实数，且（）（） ，则 （ ） 答案 （）（） （）， ， ， 解得 （ 课标， 分）设复数 满足 ，则 （ ） 答案 由已知 ，可得 （） （）（） ， ，故选 （ 四川， 分）设 是虚数单位，则复数 （ ） 答案 故选 （ 北京， 分）复数 （）（ ） 答案 （） ，故选 （ 湖南， 分）满足 （ 为虚数单位）的复数 （ ） 答案 由 ，得 （） ，故选 （ 安徽， 分）设 是虚数单位，表示复数 的共轭复 数若 ，则 （ ） 答案 （） （） 故选 （ 山东， 分）已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则（） （ ） 答案 与 互为共轭复数， ， （ ） （） （ 天津， 分） 是虚数单位，复数 （ ） 答案 （）（） （ 湖北， 分）在复平面内，复数 （ 为虚数单位） 的共轭复数对应的点位于（ ） 第一象限第二象限第三象限第四象限 答案 ，对应点（，）在第四象限 （ 安徽， 分）设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数 若 ，则 （ ） 答案 设 （，），则 （）（ ）（ ），故 ， ，解得， 即 （ 天 津， ， 分） 已 知 ， ， 是 虚 数 单 位 若 （）（） ，则 的值为 答案 解析 由（）（） 得 （），则 ， ， 解得 ， ， 所以 （ 北京， 分）设 若复数（）（）在复平面内 对应的点位于实轴上，则 答案 解析 （）（） （）（）， ，该复数在复 平面内对应的点位于实轴上， ， （ 江苏， 分）复数 （）（），其中 为虚数单 位，则 的实部是 答案 解析 （）（） ，所以 的实部为 （ 江苏， 分）设复数 满足 （ 是虚数单位）， 则 的模为 答案 解析 设 （，），则 ， 由复数相等的定义得 ， ， 解得 ， 或 ， ， 从而 （ 北京， 分）复数 () 答案 解析 () （） （） ，故填 （ 四川， 分）复数 答案 解析 （） （）（） （ 重庆， 分）已知复数 （ 是虚数单位），则 答案 解析 （） （）（） ， 年高考年模拟 版（教师用书） （ 湖南， 分）已知复数 （） （ 为虚数单位），则 答案 解析 （） ， 本题主要考查了复数的模的定义及复数的乘法 运算，同时考查了学生运算求解能力 以下为教师用书专用（） （ 湖南， 分）已知（） （ 为虚数单位），则复 数 （ ） 答案 （） （） （）（） （ 安徽， 分）设 是虚数单位，则复数 在复平面内 所对应的点位于（ ） 第一象限第二象限第三象限第四象限 答案 （） ， 复数 在复平面内 所对应的点是（，），它位于第二象限 （ 山东， 分）若复数 满足 ，其中 为虚数单位， 则 （ ） 答案 （） ，则 （ 江西， 分）已知集合 ， 为虚数单位， ，则复数 （ ） 答案 由 知 ，所以 ，选 （ 浙江， 分）已知 是虚数单位，则（）（） （ ） 答案 （）（） ，选 （ 辽宁， 分）复数 的模为 （ ） 答案 （）（） ， () () ，故选 （ 安徽， 分）复数 满足（）（） ，则 （ ） 答案 ， ，故选 评析 本题考查复数的运算，考查学生运算求解能力，将复 数分母实数化是解题的关键 对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷） 一、复数的概念选择题 理解复数的基本概念，掌握 复数相等的重要条件；了解 复数的代数表示法及其几 何意义，能将代数形式的复 数在复平面上用点或向量 表示，以及将点或向量表示 为复数代数形式 复数的有关概念，如 实部、虚部、纯虚数、 共轭复数，复数的模 及复数的四则运算 易 课标全国 ， 分 课标， 分 二、复数的运算选择题 能进行复数代数形式的四 则运算，掌握复数代数形式 的加、减运算的几何意义 向量的表示方法，向 量的平行四边形法 则、三角形法则 易 课标， 分 对应学生用书起始页码 复数的有关概念 （）复数的概念 形如 （，）的数叫做复数，其中 ， 分别是它的 实部 和 虚部 若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数； 若 且 ，则 为纯虚数 （）复数相等： 且 （，） （）共轭复数： 与 共轭 ， （，） （）复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实 轴， 轴叫做虚轴实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚轴上的 点都表示 纯虚数 ；各象限内的点都表示非纯虚数 （）复数的模 （，）对应的向量 的模叫做复数 的模，记 作或，即 复数的几何意义 （）复数 一一对应 复平面内的点 （，）（，） （）复数 （，） 一一对应 平面向量 （， ），（，） 复数的运算 （）复数的加、减、乘、除运算法则 第十五章 数系的扩充与复数的引入 设 ，（，），则 加法： （）（） （）（）； 减法： （）（） （）（）； 乘法：（）（） （）（）； 除法： （）（） （）（） （） （）复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 、，有 ，（ ） （ ） 【知识拓展】 复数实数化问题 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的 方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质 应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平 面上动点的轨迹等问题 对应学生用书起始页码 方法 复数的四则运算 复数的四则运算 （）加减法：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减把 看作一个字母，类比多项式加减法中的合并同类项复 数的加减法可以推广到若干个复数进行连加、连减或混合运算 （）乘法：复数的乘法与多项式的乘法相类似，只需将 换 成，并把实部与实部合并，虚部与虚部合并即可 （）除法：复数的除法与实数的除法有所不同实数的除法 可以直接约分、化简，得出结论；而复数的除法，因为分母为复 数，所以一般不能直接约分、化简，复数除法的一般做法：先把它 们的商写成分式的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复 数，并把结果化简即可 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算 速度 （）（） ； ； （）（）（，） （）， ， （ 课标， 分）（） （） （ ） 解析 （） （） （） （） （） （） ， 故选 答案 （ 课标全国， 分）设复数 满足（）， 则 （ ） 答案 解析 由题意得 （） ，故选 方法 复数的概念与几何意义 复数的概念，包括实部、虚部的求解，模的计算，共轭复数的 概念，几何意义的考查等 （ 广西河池三模， 分）复数 的模为 （ ） 解 析 （）（） ， 所 以 答案 （ 广西百色 月月考， 分） 已知复数 （ ） ，是 的共轭复数，则 （ ） 答案 解析 解法一： （ ） （ ）（ ） （ ）（ ） ， 所以 () 解法二： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 所以 () 年高考年模拟 版（教师用书） 对应学生用书起始页码 组 年高考模拟基础题组 时间： 分钟 分值： 分 一、选择题（每题 分，共 分） （ 广西南宁一模，）设 为虚数单位，（） （， ），则下列判断正确的是（ ） 答案 （） ， ， ， （ 广东茂名二模，）“”是“复数 （）（ ）为纯虚数”的（ ） 充要条件必要不充分条件 充分不必要条件既不充分也不必要条件 答案 （）（）是纯虚数等价于 ，且 ， ， 是 为纯虚数的充要条件 （ 河 南 郑 州 二 模， ） 定 义 运 算 ， 则 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） 第一象限第二象限 第三象限第四象限 答案 （） ， （） ， ， 其实部为 ，虚部为 ， 在复平面内对应的点在第 二象限 （ 贵州贵阳一模，）若复数 ，则 （ ） 答案 ， （） （ 北京门头沟 月月考，）如果复数 ，则 （ ） 的实部为 的虚部为 的共轭复数为 答案 （） （）（） ，所以 ， 的实部为，虚部为， 的共轭复数为，因此选 二、填空题（每题 分，共 分） （ 四川南充三模，）已知 为虚数单位，若复数 （ ）（）的实部和虚部相等，则实数 等于 答案 解析 复数 （）（） （） 的实部和虚 部相等， ，解得 （ 江苏淮安一模，）设复数 满足 （） （ 是虚 数单位），则 的虚部为 答案 解析 （） （ 是虚数单位）， （） ， 的虚部为 组 年高考模拟提升题组 时间： 分钟 分值： 分 一、选择题（每题 分，共 分） （ 陕西汉中二模，）若