数学数列模型及其应用素材pdf

原创资料： 编者：邓永生 （QQ：4474986） 数列模型及其应用数列模型及其应用 数列在实际问题有着广泛的应用，如增长率、银行贷款、细菌繁殖等问题都可以化归为 数列问题。解决数列应用问题，应认真审题，充分利用所学知识分析，构建等差数列、等比 数列、递推数列模型，再运用相关知识加以解决。 等差数列模型等差数列模型 在生产和生活中常遇见的“等量增加或减少”的问题，这时我们可以利用等差数列的知 识，建立等差数列模型来解决。如： 例 1（几何堆料问题）有 200 根相同的钢管，将其中一些堆放成横断面为正三角形的垛（如 图 1 所示） ，要求剩余的根数尽可能的少，这时剩余的钢管有所少根？ 分析： 首先我们应想象出符合题意的实际情景： 最上层 1 根， 依次往下是 2 根， 3 根， 4 根 每层比它上面一层增加的圆钢数相同，即增加 1 根。 由此可知这堆圆钢中从最为上层往下，每层圆钢数依次组成一个以 1 为首项，1 为公差的等 差数列。 解析：设只能堆放 n 层，则剩余的圆钢根数应不大于，由题意，得 n 123200 200(123) n nn ， (1) 200 2 (1) 200 2 n n n n n 即 2 2 4000 34000 nn nn ， 解得 1160111601 22 3160931609 22 n nn 或 。 1609311601 22 n ，即18.5619.51n ，nN 19 20 19 20010 2 n ，（根） 。 答：共堆 19 层，剩余圆钢数为 10 根。 思考：思考： （1） 若把题目中的圆钢数改为 465 根，结论又如何呢？共堆放多少层？ （2） 若把钢管改成相同的小球，堆放成水平面为正三角形的垛，又会怎样呢？ 原创资料： 编者：邓永生 （QQ：4474986） 拓展拓展 1：在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干 堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第 2，3，4，堆最底层（第 一层）分别按图 4 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上， 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f (n)表示第 n 堆的 乒乓球总数，则； f 3_( )_f n （答案用 n 表示） 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 12,3,4, 推测出第 n 层的球数。 解答过程：显然 f 310 . 第 n 堆最低层（第一层）的乒乓球数， n12n n n1 aaaa 2 ，第 n 堆的乒乓球数总数相 当于 n 堆乒乓球的低层数之和，即 222 12n n n111 f naaa(12n ). 22 2 所以： n n1 n2 f(n) 6 点评：在上述例题中，有一个显著的特征就是增加量（或减少量）相同，这是等差数列的本 质所在。无论生产、生活中实际问题的背景千变成化，只要具有相同的增加量或减少量这一 属性，都可以将实际问题抽象为等差数列问题，把已知与所求量联系起来，根据题意构建等 差数列模型求解。 等比数列模型等比数列模型 在生活实践中，还会遇见有关“增长率（减少率）相同”的问题，这时我们可以结合等 比数列知识，利用等比数列模型来解决。如： 例 2（平均增长率问题）某市 2004 年底有住房面积 1200 万平方米，计划从 2005 年起，每 年拆除 20 万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%. （1）分别求 2005 年底和 2006 年底的住房面积 ； （2）求 2024 年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到 0.01） 解析：解析：（1）2005 年底的住房面积为124020%)51 (1200（万平方米）, 2006 年底的住房面积为（万平方米） 128220%)51 (20%)51 (1200 2 2005 年底的住房面积为 1240 万平方米，2006 年底的住房面积约为 1282 万平方米. （2）2024 年底的住房面积为 20%)51 (20%)51 (20%)51 (20%)51 (1200 181920 64.2522 05. 0 105. 1 20%)51 (1200 20 20 （万平方米） 2024 年底的住房面积约为 2522.64 万平方米. 点评：点评： 本例的关键是根据每次的增长率相同， 建立等比数列模型， 从而使问题获得解决。 在生活实际中，诸如此类的问题如银行贷款及细菌繁殖、药物残留以及投资收益等问题，都 原创资料： 编者：邓永生 （QQ：4474986） 可具备此类特征。 拓展拓展 2：从生态环境和经济效益出发，某地政府决定从 2009 年开始投入资金进行生态 环境建设，并借此发展旅游业产业。根据规划，2009 年投入 800 万，以后逐年减少 20%， 2009 年当地的旅游收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的 旅游业收入每年会比上年增加 25%。 （1） 设年内 （2009 年为第一年） 总投入为万元， 旅游业的总收入为万元， 试写出、 的表达式； n n S n T n S n T （2）问至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解析： （1）第一年的投入为 800 万元， 第二年的投入为800万元， (1 20%) 第三年的投入为万元， 2 800 (1 20%) 第n年的投入为 1 800 (1 20%)n万元， 所以，年内的总投入为 n 1 800800 (1 20%)800 (1 20%)n n S 4 4000 1 ( ) 5 n ； 又第一年旅游业收入为 400 万元， 第二年旅游业收入为 1 400 (125%)400 (1) 4 万元， 第三年旅游业收入为 22 1 400 (125%)400 (1) 4 万元， 第n年旅游业收入为 11 1 400 (125%)400 (1) 4 nn 万元， 所以，年内旅游业总收入为 n 1 55 400400400 ( ) 44 n n T 5 1600 ( )1 4 n ； （2） 设至少经过n年旅游业总收入才能超过总投入，由此0 nn TS， 即： 5 1600 ( )1 4 n 4 4000 1 ( ) 5 n 化简得 45 5 ( )2 ( )70 54 nn ，令 4 ( ) 5 n x ，则得 2 572xx0（） (0,1)x 解得 2 5 x ，即 42 ( ) 55 n ，5n。 故至少经过 5 年、旅游业的总收入才能超过总投入。 原创资料： 编者：邓永生 （QQ：4474986） 递推数列模型递推数列模型 递推数列模型，就是将生活实际问题抽象为数学数列问题，通过数列中任一项与它 的后一项间的关系构建递推数列模型，然后进行求解。如： n a 1n a 例 3（食堂选菜问题）学校餐厅每天供应 100 名学生用餐。每星期一有 A、B 两样菜可供选 择。调查资料表明，凡是在这星期一选 A 菜的，下星期一会有 20%的学生改选 B 菜；而选 B 菜的下星期一则有 30%的学生改选 A 菜， 若用分别表示在第个星期一选 A、 B 菜的 人数。 , nn A B （1）试以表示，并证明, n A Bn 1n A 1 1 30 2 nn AA ； （2）记（） ，求证：是一个等比数列； 60 nn CA0 n C n C （3）如果，求出通项，并求出第几个星期一选 A 菜与 B 菜的人数相等。 1 20A n A 解析： （1）由题意得： 1 (1 20%)30% nnn AAB ，即： 1 43 510 nnn AAB 又，100 nn AB100 nn BA， 把代入得 1 1 30 2 nn AA ； （2）， 60 nn CA 11 60 nn CA 1 3060 2 n A 1 (60) 2 n A 1 2 n C， 0 n C ， 1 1 2 n n C C 为常数，故是一个公比为 n C 1 2 的等比数列。 （3） 由（2）知，数列60 n A 是一个首项为 1 60A ，公比为 1 2 的等比数列， 1 1 6040 ( ) 2 n n A ，即 1 1 40 ( )60 2 n n A ， 又选 A 菜与 B 菜的人数相等得50 nn AB， 1 1 40 ( )6050 2 n n A ，即 1 11 ( ) 24 n ，3n。 故第 3 个个星期一选 A 菜与 B 菜的人数相等。 点评：点评：本例是一个典型的递推数列模型。这种递推关系可模拟现实生活中的许多现象， 如银行借贷中的等额还款，购物中的分期付款等实际问题。有兴趣的读者，可以回到生 活中去，设计一个等额还款、购物分期付款的实际应用问题。 原创资料： 编者：邓永生 （QQ：4474986） ) n 拓展 3：拓展 3：长、株、谭新工业区某品牌饮料生产企业，其产品开发中心主要从事新产品的研制 和开发，该中心的第三实验室的主要任务是对新开发的不同口感的饮料进行口感调和试验。 口感的度量指标称为“口感度” ，即该饮料中所含某主要成分的百分比。现有甲、乙两个容 器分别盛有口感度为 10%、20%的某种饮料各 500ml，实验人员对它们进行口感调和试验，调 和操作程序是同时从甲、 乙两个容器中各取出 100ml 溶液， 分别倒入对方容器中并充分搅拌 均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出 100ml 溶液 分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀， 称为第二次调和； 依照上述操作程序反复进行调 和试验，记第次调和后甲、乙两溶液中饮料的口感度分别为和。 1n * (nN n a n b （1）试写出、的值； 1 a 1 b （2）依据调和程序，试用表示甲、乙两个容器中两种饮料的口感度的差； n n ba （3）试求出第次调和后甲、乙两个容器中的口感度、关于的表达式。 1n n a n an 解析解析： （1）依题设。 11 10%,20%ab （2） 11 11 40010041 50055 nn nn ab aa n b 11 11 40010041 50055 nn nn ba bb n a 。 111111 41413 ()()()( 55555