数学终极压轴 理重庆卷

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011 年高考终极压轴重庆卷年高考终极压轴重庆卷 数学（理科）数学（理科） 第 I 卷第 I 卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1复数 3 2 i i 的虚部为 （ ） A1 B-1 Ci D-i 2. 已知等差数列 3138 2 n aaaa满足，则 n a的前 15 项和 15 S= （ ） A10 B15 C30 D60 3. 平面向量 a 与 b 的夹角为 0 60，a(2,0), | b |1，则 | a2b | （ ） （A）3 （B）23 （C）4 （D）12 4. 2 1 21 lim 11 x xx （-）= （ ） A1 B 1 2 C 1 2 D1 5.若函数)(xfy 的图象与函数1lnxy的图像关于直线xy 对称， 则)(xf （ ） （A） 22 x e （B） x e2 （C） 12 x e （D） 22 x e 6. 已知函数|lg|)(xxf，若ba 0,且)()(bfaf，则的取值范围是ba 2 （ ） A. ),22( B. ),22 C. ), 3( D. ), 3 . 7.设 2 1 3 5, 2ln, 2log cba，则 （ ） （A）cba （B）acb （C）bac （D）abc 8. 若一个三位数的十位数比个位数和百位数都大， 则称这个数位 “伞数” ， 现从 1、2、3、4、5、6 这六个数字中任取 3 个数，组成没有重复数字的 三位数，其中“伞数”有 （ ） A120 B.80 C.60 D.40 9. 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱上到异面直线 AB，C 1 C的距离相等的点的 个数为 （ ） A4 B3 C. 2 D. 1 10. 曲线 1sin ( )(0,(0) cos x f xf x 在点处的切线与圆 22 :()(1)1Cxtyt 的位置为 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （ ） A相离 B相交 C相切 D与 t 的取值有关 第 II 卷第 II 卷 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答案填在横线上）分，把答案填在横线上） 11. 不等式 log 3 1 (x1)1 的解集为_ 12. 等比数列 n a的前 n 项和为 n S ，若 6 3 S S =3 ，则 6 9 S S =_ 13. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者， 若用随机变量表示 选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E_（结果用最简分数表示）. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14. 已知 f(x)=|log3x|，当 0af(2)，则 a 的取值范围是_ 15. 若 AB 是过二次曲线中心的任一条弦，M 是二次曲线上异于 A、B 的任一点，且 AM、BM 均 与坐标轴不平行，则对于椭圆1 2 2 2 2 b y a x 有 2 2 a b KK BMAM 。类似地，对于双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 有 BMAM KK= 。 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分 13 分） ABC中，,A B C所对的边分别为, ,a b c， sinsin tan coscos AB C AB ,sin()cosBAC. （1）求,A C； （2）若33 ABC S,求, a c. 17. （本小题满分 13 分） 某商场进行促销活动，促销方案是：顾客每消费 1000 元，便可以获得奖券一张. 每张奖券中 奖的概率为 5 1 ， 若中奖， 则商场返还顾客现金 1000 元. 某顾客购买一张价格为 3400 元的餐桌， 得到 3 张奖券. （1）求商场恰好返还该顾客现金 1000 元的概率； （2）求商场至少返还该顾客现金 1000 元的概率. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 18. （本小题满分 13 分） ABC中，,A B C所对的边分别为, ,a b c， sinsin tan coscos AB C AB ,sin()cosBAC. （1）求,A C； （2）若33 ABC S,求, a c. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，SD平面 ABCD，SD=2a， 2ADa点 E 是 SD 上的点，且(02)DEa ）求证：对任意的(0,2，都有ACBE （）设二面角 CAED 的大小为，直线 BE 与平面 ABCD 所 成的角为，若tantan1g，求的值 20. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和 1 22n nn Sa （）证明：数列 2 n n a 是等差数列； （）若不等 式 1 5 nn aa （）恒成立，求的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已 知 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 的 两 个 焦 点 分 别 为 12 (,0)( ,0)(0)FcF cc和， 过 点 2 (,0) a E c 的直线与椭圆相交与,A B两点，且 1212 / /,2F AF B F AF B。 （1）求椭圆的离心率； （2）求直线 AB 的斜率； （3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 2 F B上有一点( , )(0)H m n m 在 1 AFC的 外接圆上，求 n m 的值 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 参考答案参考答案 一、选择题 15 ACBBA 610 BCDAB 二、填空题二、填空题 11. x|1x4 12. 7 3 13. 4 7 14. 0a 2 1 15. 2 2 b a 三、解答题三、解答题 17解： （1）商场恰好返还给该顾客现金 1000 元， 即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖. . 125 48 ) 5 4 () 5 1 ( 21 3 CP （2）法一：设商场至少返还给该顾客现金 1000 元为事件 A，这位顾客的三张奖券有 且只有一张中奖为事件 A1，这位顾客有且只有两张中奖为事件 A2，这位顾客有且只有三张中 奖为事件 A3，则 A=A1+A2+A3，A1、A2、A3是互斥事件. )()()()( 321 APAPAPAP 33 3 22 3 21 3 ) 5 1 ( 5 4 ) 5 1 () 5 4 () 5 1 (CCC 125 1 125 12 125 48 . 125 61 法二：商场至少返还给该顾客现金 1000 元即这位顾客的三张奖券中至少有一张中奖，设为事 件 B. 则它的对立事件为B：三张奖券全没有中奖. )(1)(BPBP 125 64 ) 5 4 () 5 1 ()( 300 3 CBP . 125 61 )(1)(BPBP 18. (1) 因为 sinsin tan coscos AB C AB ，即 sinsinsin coscoscos CAB CAB ， 所以sincossincoscossincossinCACBCACB， 即 sincoscossincossinsincosCACACBCB， 得 sin()sin()CABC. 所以CABC,或()CABC(不成立). 即 2CAB, 得 3 C ，所以. 2 3 BA 又因为 1 sin()cos 2 BAC，则 6 BA ，或 5 6 BA （舍去） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 得 5 , 412 AB (2) 162 sin33 28 ABC SacBac ， 又 sinsin ac AC , 即 23 22 ac ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 得2 2,2 3.ac 19. （）证法 1：如图 1，连接 BE、BD，由地面 ABCD 是正方形可得 ACBD。 SD平面 ABCD，BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影，ACBE （）解法 1：如图 1，由 SD平面 ABCD 知，DBE= , SD平面 ABCD，CD平面 ABCD, SDCD。 又底面 ABCD 是正方形， CDAD，而 SD AD=D，CD平面 SAD. 连接 AE、CE，过点 D 在平面 SAD 内作 DEAE 于 F，连接 CF，则 CFAE， 故CDF 是二面角 CAED 的平面角，即CDF=。 在 RtBDE 中，BD=2a，DE=atan 2 DE BD 在 RtADE 中, 2 2 ,2ADa DEaAEa 从而 2 2 2 AD DEa DF AE 在Rt CDF中， 2 2 tan CD DF . 由tantan1，得 2 22 2 .1222 2 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 由(0,2，解得2，即为所求. （I） 证法 2：以 D 为原点，,DA DC DS 的方向分别作为 x，y，z 轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（2a，2a，0） ，C（0，2a，0） ，E（0，0a） ， (2 ,2 ,0),(2 ,2 ,)ACaaBEaaa 22 2200AC BEaaa ， 即ACBE。 （II） 解法 2： 由（I）得( 2 ,0,),(0, 2 ,),(2 ,2 ,)EAaa ECaa BEaaa . 设平面 ACE 的法向量为 n=(x，y，z)，则由nEAEC ，n得 0,2xz0, z2n( , ,2) 0,2yz0, n EA n EC 即取，得。 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为(0,0,2 )DCaDSa 与（0，2 ,0）. 22 sin,cos 422 DC n DS BE DSBEDCn . 0，,0 2 ， 2 22 tantansincos2 2 422 . 由于(0,2，解得2，即为所求。 20. 解： （）当1n 时， 2 11 22Sa得 1 4a . 1 22n nn Sa ， 当2n 时， 11 22n nn Sa ，两式相减得 1 222n nnn aaa 即 1 22n nn aa ， 所以 11111 1111 22 11 222222 n nnnnnn nnnnnn aaaaaa . 又 1 1 2 2 a ，所以数列 2 n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列. 。 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （）由（）知1 2 n n a n，即1 2n n an. 因为0 n a ， 所以不等式 1 5 nn aa （）等价于 1 5 n n a a . 因为 1 2 2 1 n n a an ，而 2 01 1n ，所以 1 2 23 1 n n a an ， 故35，即2. 故使不等式 1 5 nn aa （）成立的的取值范围是2， 21. （1）解：由 1 FA/ 2 F B且 12 FA2 F B，得 22 11 EFF B1 EFFA2 ，从而 2 2 a 1 a2 c c c c 整理，得 22 3ac，故离心率 3 3 c e a (2)解：由（1）得 2222 2bacc，所以椭圆的方程可写为 222 236xyc 设直线 AB 的方程为 2 a yk x c ，即(3 )yk xc. 由已知设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则它们的坐标满足方程组 222 (3 ) 236 yk xc xyc 消去 y 整理，得 222222 (23)182760kxk cxk cc. 依题意， 22 33 48(1 3)0 33 ckk ，得 而 2 12 2 18 23 k c xx k 22 12 2 276 23 c k cc x x k 由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以 12 32xcx 联立解得 2 1 2 92 23 k cc x k ， 2 2 2 92 23 k cc x k 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 将 12 ,x x代入中，解得 2 3 k . (3)解法一：由（II）可知 12 3 0, 2 c xx 当 2 3 k 时，得(0, 2 )Ac，由已知得(0,2 )Cc. 线段 1 AF的垂直平分线 l 的方程为 22 222 c ycx 直线 l 与 x 轴 的交点,0 2 c 是 1 AFC外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 22 2 x 22 cc yc . 直线 2 F B的方程为2()yxc，于是点 H（m，n）的坐标满足方程组 2 2 2 9 24 2() cc mn nmc ， 由0,m 解得 5 3 2 2 3 mc nc 故 2 2 5 n m 当 2 3 k 时，同理可得 2 2 5 n m . 解法二：由（II）可知 12 3 0, 2 c xx 当 2