数学等比数列pdf

1 等比数列等比数列 1、等比数列的概念、等比数列的概念 【定义】 1 n n a q a =，从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 2、等比数列的通项公式、等比数列的通项公式 【通项公式】 1 1 n n aaq =，an=amqn m. 3、等比数列的性质、等比数列的性质 （1）等比中项：x，G，y 成等比数列. （2） m n mn aaq =. （3） mnpq aaaamnpq=+=+. （4）已知数列 n a为等比数列，m，n，pN*，且m，n，p成等差数列，则 m a , n a , p a成等比 数列. （5）等比数列的前n项和 n S： 1 1 1 (1) 1 1 n n naq S aq q q = = （6）等比数列 n a的前n项和为 n S，问： n S， 2nn SS， 32nn SS，成等比数列吗？ 4、方法与技巧、方法与技巧 （1）三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为 a q 、a、aq，四个数可设为 3 a q 、 a q 、aq、aq3. （2）证明等比数列的方法：用定义：只需证 1n n a a + =常数；用中项性质：只需an+12=anan+2 或 1n n a a + = 2 1 n n a a + + . 2 【例1】已知数列 n a是等比数列. （1） 47 512a a= ， 38 124aa+=，求 10 a； （2） 123 40aaa+=， 456 80aaa+=，求 101112 aaa+. 【例2】在等比数列 n a中，已知 243546 225a aa aa a+=，求 35 aa+. 【例3】数列 n a为单调递减等比数列，且 123123 7,8aaaaaa+=，则其通项为（ ） A 11 1 24 ( ) 2 nn 或 B 1 2n C 3 2 n D以上答案都不对 【例 4】设an是由正数组成的等比数列，公比q=2，且 30 12330 2aaaa=，那么 36930 aaaa等于（ ） A210 B220 C216 D215 【例5】设等比数列 n a的前n项和为 n S，且48 n S=， 2 60 n S=，求 3n S. 【例6】等比数列 n a中，0 n a，对任意n + N，都有 12nnn aaa + =+，则公比等于（ ） A1 B2 C 51 2 D 51 2 + 【例7】若 1 1,1aq=的等比数列前n项和为S，则原等比数列各项的倒数组成的数列的前n项 和为（ ） A 1 S B 1 n S q C 1n S q D n q S 【例8】在等比数列 n a中，对任意n + N，前n项和21 n n S=，则 2222 123n aaaa+=? （ ） A21 n B 1 (21) 3 n C 1 (41) 2 n D 1 (41) 3 n 【例9】若等比数列an的公比q0，前n项和为Sn，则S8a9与S9a8的大小关系是（ ） AS8a9S9a8 BS8a9S9a8 CS8a9=S9a8 D不确定 3 【例10】银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，银行为吸收长期资金，鼓励储 户存三年定期的存款，那么q的值应略大于（ ） A 3 (1)1r+ B 1 3 （1+r）31 C （1+r）31 Dr 【例11】若首项为a1，公比为q的等比数列an的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项 a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=_. 【例12】设an是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12nan2+an+1an=0（nN*） ，则它的通项 公式an=_. 【例13】一个等比数列 n a共有2n项，其中偶数项的和是所有项和的 1 4 ，且 3 64S=，求此等 比数列的通项. 4 参考答案： 典型例题 【例1】 （1）a3a8= a4a7 = 512 a3 + a8 = 124 a3、a8是方程x2 124x 512 = 0的根 3 8 4 128 a a = = 或 3 8 128 4 a a = = 则 8 5 5 3 1281 2 42 a qq a = = 或 22 10810 128( 2)5121aaqa= = 或 （2）a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12成等比数列 由 456 123 80 2 40 aaa aaa + = + 33 101112123 () 2402320aaaaaa+=+= 【例2】由题意： 22 3355 225aa aa+= 2 35 ()25aa+= 35 5aa+= 【例3】C 由题意 a2 = 2 2 227q q += 1 2 q=或2q=（舍） 3 2 n m a = 【例4】B 【例5】63 【例6】C 12nnn aaa + =+ 12 1 nn nn aa aa + =+ 2 1qq =+ 15 2 q + =（舍负） 【例7】C 1 12 (1) 1 n n aq Saaa q =+= 12 11 1 111 1 1 n n qq aaa q += 1 (1) (1) n q q a q q = 1 12 1 (1) (1) n n aq qqa = 21 1 n S aq = 【例8】D () () 22 22 1 2222 123 2 1 12211 41 11433 n nn n n aq aaaa q += 【例9】 A 8927 8727111 8998111 (1)(1) (1)10 111 aqaqa q S aS aaqaqqa q qqq = 【例10】B 设本金为1 一年定期3年本利和(1+r)3 3年本利和1+3q1 () 3 113rq+ 【例11】 1 1, 2 无数列 a1 a1q a1q2a1qn1 5 【例12】解：() 11 1()0 nnnn nanaaa + += 1 (1)0 nn nana + += 1 1 n n an an + = + 2 1 1 2 a a = 3 2 2 3 a a = 1 1 n n an an = 1 n a n = 【例13】解： 12322462 1 (