数学考点专项突破不等式的求解与证明讲义pdf

不等式的求解与证明不等式的求解与证明 教 师：苗金利 - 第 1 页 - 不等式的求解与证明不等式的求解与证明 一、知识热点及复习策略一、知识热点及复习策略 1不等式是高中数学的工具。不等式性质是不等式理论的基本内容，应准确地认识、运用基本 性质，并能举出适当反例，辨别真假命题。 不等式是高中数学的工具。不等式性质是不等式理论的基本内容，应准确地认识、运用基本 性质，并能举出适当反例，辨别真假命题。 2解不等式的要求较高，是求函数的定义域、值域、参数的取值范围的主要手段，与等式变形 并列的 “不等式的变形” 是研究数学的基本手段之一， 解不等式的试题中， 含字母参数的不等式较多， 需要对字母参数进行分类讨论，一般地，在不等式两端乘除一个含参数的式子时，需讨论这个式子的 正、负、零情况；在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，需对它们的底数进行讨 论；当解集的边界值含参数时，应对零值的顺序进行讨论。 解不等式的要求较高，是求函数的定义域、值域、参数的取值范围的主要手段，与等式变形 并列的 “不等式的变形” 是研究数学的基本手段之一， 解不等式的试题中， 含字母参数的不等式较多， 需要对字母参数进行分类讨论，一般地，在不等式两端乘除一个含参数的式子时，需讨论这个式子的 正、负、零情况；在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，需对它们的底数进行讨 论；当解集的边界值含参数时，应对零值的顺序进行讨论。 3证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础。证明不等式有三种基 本方法： 证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础。证明不等式有三种基 本方法： （ （1）比较法：作差比较。根据）比较法：作差比较。根据0abab；作商比较，当；作商比较，当 b0 时，时，1 a ab b 。比 较法是证明不等式的基本方法也是最主要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂，方 根等） 。比 较法是证明不等式的基本方法也是最主要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂，方 根等） （2）分析法：从求证的不等式出发，寻找使不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无 从下手的问题，宜用分析法探究证明途径。 ）分析法：从求证的不等式出发，寻找使不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无 从下手的问题，宜用分析法探究证明途径。 （3）综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等 变形）推导出要证明的不等式。 ）综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等 变形）推导出要证明的不等式。 二、例题分析二、例题分析 1解关于x的不等式 2 (21)(52)3(1) ()xaxaxaR+. 2已知不等式 2 0axbxc+的解为31x，求证：)2(log) 1(log 1 + + nn nn . 7设,0 x y ，求证： 2 11 ()() 24 xyxyxyy x+. 8已知 a，bR+且1=+ba，求证： 222 )(byaxbyax+. 9求函数值域：( )123f xxx=+. - 第 4 页 - 不等式练习题不等式练习题 1下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是（ ） Ap:ac+b+d q:ab 且 cd Bp:a1, b1 q:( )(01) x f xab aa=，且的图象不过第二象限 Cp: x=1 q: 2 xx= Dp:a1 q: ( )log(01) a f xx aa=，且在(0,)+上为增函数 2“acbd+”是“ab且cd”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3已知a，b，c，d为实数，且cd.则“ab”是“acbd”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 401ba +，若关于 x 的不等式 2 ()xb 2 ()ax的解集中的整数恰有 3 个，则（ ） A10a B01a C13a D36a”是“acbd”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6不等式 2 313xxaa+对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A(, 14,) + B(, 25,) + w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C1,2 D(,12,)+ 7不等式0212+ (21)(3)(3)(1)aaxaa+ 分类：当 1 3 2 aa 当 1 2 a =时，原式为 7 0 4 ，解为 R 当 1 3 2 a 时，解为 1 | 21 a x x a ，解为 2由已知得 0 31 3 1 a b a c a = = 原式为 2 60 abba xx cccc + 2 20 12xxxx （2）0k 时， 2 4(1)4 (2)4(14 )kk kk =+= 1 4 k 时，0 ，解为 R 1 4 k =时，0 =，解为3x x 1 0 4 k 或 0k ，解为 114114 kkkk xx kk + 时，列表，解为(, 1)4, a 4a =时，原式为 40 1 0 1 x x + ，解为1x x 14a 时， 11nn ab ，则 11 ()()0 nn ab ab 0ab时， 11nn ab =，则 11 ()()0 nn ab ab = a、 11 0 , ()()0 nn bab ab 左右 （2） 222 333333333 3 333 333333 () a b cb a cc a ba ba cb ab cc ac babc a b c a bb cc a a ba cb ab cc ac b a b c abcabc abc abc aabbcc bca + + + = = 3 0, 1, 0, 1 3 a b aaba ab bb 3 0, 01, 0, 1 3 a b aaba ab bb = a ,0b ，有 3 1 a b a b 同理 b,0c ， 有 3 1 b c b c 同理 a,0c ，有 3 1 c a c a 333 1 a bb cc a abc bca 左右 6 2 111 11 log(2)log(2)log log(2) log log (1)2 nnn nn n nnn nn n + + + =+ + 2 22 11 log(2 )log(1) 1 22 nn nnn + + = 即证 7左右 () 11 () () 22 xyxyxyxy =+ 1 2 xy xyxy + 22 11 22 xyxy =+ 0 即证 8左右 222222 (