数学考点专项突破空间向量与空间角和距离二讲义pdf

空间向量、空间角和距离（二）空间向量、空间角和距离（二） 教 师：苗金利 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义 - 第 1 页 - 空间向量、空间角和距离（二）空间向量、空间角和距离（二） 范例与练习范例与练习: 例 5 如图， 平面PAC 平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,E F O分别为PA， PB，AC的中点，16AC =，10PAPC= （I）设G是OC的中点，证明：/ /FG平面BOE； （II）证明：在ABO内存在一点M，使FM 平面BOE，并求点M到OA，OB的距离 例 6在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD=，2AB =. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N. （1）求证：平面ABM平面PCD； （2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小； （3）求点N到平面ACM的距离. - 第 2 页 - 例7 如图， 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为菱形， PA平面ABCD，60ABC=， E，F 分别是 BC, PC 的中点. （）证明：AEPD; （）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求 二面角 EAFC 的余弦值. - 第 3 页 - 参参 考考 答答 案案 例 5证明： （I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 O(0, 0, 0), A(0, 8, 0), B(8, 0, 0), C(0, 8, 0), P(0, 0, 6), E(0, 4, 3), F(4, 0, 3)，由题意得，()0,4,0 ,G因(8,0,0),(0, 4,3)OBOE= ? ? ? ，因此平面 BOE 的法向量为 (0,3,4)n = ? ，()4, 4,3FG = ? 得0n FG= ? ? ? ， 又直线FG不在平面BOE内， 因此有FG平面BOE （II）设点M的坐标为() 00 ,0 xy，则 00 (4, 3)FMxy= ? ? ，因为FM 平面BOE，所以有 /FMn ? ? ，因此有 00 9 4, 4 xy= ，即点M的坐标为 9 4,0 4 ，在平面直角坐标系xoy中， AOB的内部区域满足不等式组 0 0 8 x y xy ，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在 ABO内存在一点M， 使FM 平面BOE， 由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为 9 4, 4 . 例6解：方法一： （1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC. 又因为PA平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面PAD，则CDAM， 所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD. （2）由（1）知，AMPD，又PAAD=，则M是PD的中点可得 2 2AM =， 22 2 3MCMDCD=+= 则 1 2 6 2 ACM SAM MC = 设D到平面ACM的距离为h，由 D ACMMACD VV =即2 68h =， 可求得 2 6 3 h = ，设所求角为，则 6 sin 3 h CD =， 6 arcsin 3 =. 可求得PC=6.因为ANNC，由 PNPA PAPC = ，得PN 8 3 =。所以 :5:9NC PC =. 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的 5 9 . 又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等， 由（2）可知所求距离为 510 6 927 h = . 方法二： （1）同方法一； （2） 如图所示， 建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A，(0,0,4)P， (2,0,0)B， (2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M；设平面ACM - 第 4 页 - 的一个法向量( , , )nx y z= ? ，由,nAC nAM ? ? ? 可得： 240 220 xy yz += += ，令1z =，则(2, 1,1)n = ? 。 设所求角为， 则 6 sin 3 CD n CD n = ? ? ? ? ? ? ， 所以所求角的大小为 6 arcsin 3 . （3） 由条件可得，ANNC.在RtPAC中， 2 PAPN PC=,所以 8 3 PN= ,则 10 3 NCPCPN= , 5 9 NC PC = ，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的 5 9 ，设点P到平面ACM距离为h则 2 6 3 AP n h n = ? ? ? ? ，所以所求距离为 510 6 927 h =. 例7 （）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形. 因为E为BC的中点，所以AEBC. 又BCAD，因此AEAD. 因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE. 而PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A， 所以AE平面PAD，又PD平面PAD.所以AEPD. （）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（）知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角. 在RtEAH中，AE=3，所以当AH最短时，EHA最大， 即当AHPD时，EHA最大.此时tanEHA=AB 因此AH=2 .又AD=2，所以ADH=45，所以PA=2. 解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，连接ES， 则ESO为二面角EAFC的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30= 3 2 ，AO=AEcos30= 3 2 , 又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45= 3 2 4 , 又 22 3830 , 494 SEEOSO=+=+=在RtESO中，cosESO= 3 2 15 4 , 530 4 SO SE = - 第 5 页 - 即所求二面角的余弦值为 15 . 5 解法二：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建 立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点， 所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0, 0, 0）, B（ 3, 1, 0）, C（C, 1, 0）,D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（3, 0, 0）, F 3 1 ,1 22 ， 所以 3 1 ( 3,0,0),(,1). 22 AEAF= ? ? 设平面AEF的一法向量为 111 ( ,),mx y z=则 0, 0, m AE m AF = = ? ? ? 因此 1 111 30, 31 0. 22 x xyz = += 取 1 1,(0,2, 1),zm= =则因为BD