数学一轮总第十六章几何证明选讲训练检测PDF理新人教B

年高考年模拟 版（教师用书） 第十六章 几何证明选讲 对应学生用书起始页码 考点一 平行线截割定理与相似三角形 （ 天津， 分）如图， 是圆 的内接三角形， 的平分线交圆于 点 ，交 于点 ，过点 的圆的切线 与 的延长线交于点 在上述条件 下， 给 出 下 列 四 个 结 论： 平 分 ； ；则所有正确 结论的序号是（ ） 答案 ， ，故 ，即正确由切割线定理知正确， 故 ，当 时，不成立，故 ，即 ，正确故正确，选 （ 广东， 分）（几何证明选讲选做题）如图，已知 是圆 的直径， 是圆 的切线，切点为 ， 过 圆心 作 的平行线，分别交 和 于点 和点 ，则 答案 解析 易得 ，由 ，且 为 的 中点可知 ， ， 所以 因为 是切线，所以， 从而，故 ， 所以 故 （ 天津， 分）如图，已知 和 是圆的两条弦，过 点 作圆的切线与 的延长线相交于点 过点 作 的 平行线与圆相交于点 ，与 相交于点 ， ，则线段 的长为 答案 解析 由相交弦定理得 ，即 ， ， ， 由切割线定理得 ，（） 其中 又， ，得 ，代入（）式得 ， 本题考查相交弦定理、切割线定理，结合相似三角形 的相似比进一步推理运算考查了数形结合及运算求解能力 （ 课标全国， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 中 ( 的中点为 ，弦 ， 分别交 于 ， 两点 （）若，求 的大小； （）若 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 ，证明 解析 （）连结 ，则， 因为 ( ( ，所以，又， 所以 又， 所以 ，因此（ 分） 第十六章 几何证明选讲 （）因为 ，所以 ，由此知 ， 四点共圆，其圆心既在 的垂直平分线上，又在 的垂直平分线上，故 就是过 ， 四点的圆的圆心，所 以 在 的垂直平分线上又 也在 的垂直平分线上，因 此 （ 分） 方法总结 四边形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，利用 垂直平分线的性质进行巧妙的转化 本题主要考查圆周角定理以及三角形的性质，四 点共圆的判定和性质，考查考生的逻辑思维能力和转化思想 的应用 （ 课标全国， 分）选修 ：几何证明选讲 如图，在正方形 中， 分别在边 ， 上（不与端点 重合），且 ，过 点作 ，垂足为 （）证明：， 四点共圆； （）若 ， 为 的中点，求四边形 的面积 解析 （）因为 ，所以，则有 ， ， 所以，由此可得 因此，所以 ， 四点共圆（ 分） （）由 ， 四点共圆， 知 连结 由 为 斜边 的中点，知 ， 故 ， 因此，四边形 的面积 是 面积 的 倍， 即 （ 分） 本题考查了三角形相似和四点共圆的判定方法， 利用圆和直角三角形的性质是求解的关键 （ 课标， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点 （）若 为 的中点，证明： 是 的切线； （）若 ，求 的大小 解析 （）连结 ，由已知得， 在 中，由已知得，故 连结 ，则 又 ，所以 ，故 ， 是 的切线（ 分） （）设 ，由已知得 ， 由射影定理可得，所以 ，即 可得 ，所以（ 分） （ 辽宁， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 为 的直径，直线 与 相切于 ， 垂直 于 ， 垂直 于 ， 垂直 于 ，连结 ，证明： （）； （） 证明 （）由直线 与 相切，得 由 为 的直径，得 ，从而 ； 又 ，得 ，从而 故（ 分） （）由 ， 是公共边， 得 ，所以 类似可证：，得 又在 中，故 ， 所以 （ 分） 以下为教师用书专用（） （ 广东， 分）（几何证明选讲选做题）如图，在平行四 边形 中，点 在 上且 ， 与 交于点 ， 则 的面积 的面积 答案 解析 依题意得，由 可知 故 的面积 的面积 （ 辽宁， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 和相交于 ， 两点，过 作两圆的切线分别交 年高考年模拟 版（教师用书） 两圆于 ， 两点，连结 并延长交 于点 证明： （）； （） 证明 （）由 与相切于 ，得， 同理，所以 从而 ， 即 （ 分） （）由 与 相切于 ，得， 又，得 从而 ， 即 （ 分） 结合（）的结论，（ 分） 评析 本题考查圆与三角形的性质，考查学生推理论证能力 及数形结合思想 考点二 圆的初步 （ 天津， 分）如图，在圆 中， 是弦 的三等分 点，弦 ， 分别经过点 ，若 ，则线 段 的长为（ ） 答案 令 （），因为 ，即 ，所以 又因为 ，即 ，所 以 ，故选 （ 天津， 分）如图， 是圆的直径，弦 与 相交 于点 ，则线段 的长为 答案 解析 连结 ， 由题可得 ，所以 在 中， ， ， ，则 在 中，由余弦定理易得 本题考查了圆的性质和余弦定理的应用利用已知 条件得到 是求解的关键 （ 重庆， 分）如图，圆 的弦 ， 相交于点 ，过 点 作圆 的切线与 的延长线交于点 ，若 ， ， ，则 答案 解析 由切割线定理得 ， 得 ， ，即 ， ， ，由相交弦定理得 ，即 ，得 （ 重庆， 分）过圆外一点 作圆的切线 （ 为切 点），再作割线 依次交圆于 ，若 ， ， ， 则 答案 解析 设 ，由切割线定理得 （） ，解得 或 （舍去）又易知，于是 （ 湖北， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 为 外一点，过 点作 的两条切线，切点分别为 ，过 的中点 作割线交 于 ， 两点若 ， ，则 答案 解析 由切割线定理得 （） ， ， 为 的中点， 故 （ 北京， 分）如图， 为圆 的直径， 为圆 的切 线， 与圆 相交于 若 ， ，则 ； 答案 ； 解析 ， 第十六章 几何证明选讲 不妨设 ，（）， 由切割线定理知 ， 即 ， 在直角三角形 中，可知 （ 课标全国， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 是等腰三角形， 以 为圆心， 为半径作圆 （）证明：直线 与 相切； （）点 ， 在 上，且 ， 四点共圆，证明： 证明 （）设 是 的中点，连结 因为 ，所以 ， （ 分） 在 中， ，即 到直线 的距离等于 的 半径，所以直线 与 相切（ 分） （）因为 ，所以 不是 ， 四点所在圆的圆心 设 是 ， 四点所在圆的圆心，作直线 由已知得 在线段 的垂直平分线上，又 在线段 的垂 直平分线上，所以 （ 分） 同理可证，所以 （ 分） 本题重点考查选修 内容中的平面几何问题 对圆的切线及四点共圆的几何性质进行了重点考查解决此 题的关键是要能熟练分析圆的切线、弦、圆心角等几何性质 （ 课标， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 为等腰三角形 内一点， 与 的底边 交于 ， 两点，与底边上的高 交于点 ，且与 ， 分别 相切于 ， 两点 （）证明：； （）若 等于 的半径，且 ，求四边形 的面积 解析 （）由于 是等腰三角形，所以 是 的平分线 又因为 分别与 ， 相切于点 ，所以 ，故 从而 （）由（）知，故 是 的垂直平分线又 为 的弦，所以 在 上 连结 ，则 由 等于 的半径得 ，所以 因此 和 都是等边三角形 因为 ，所以 ， 因为 ， ，所以 于是 ， 所以四边形 的面积为 （ ） （ 课标， 分）选修 ：几何证明选讲 如图，四边形 是 的内接四边形， 的延长线与 的延长线交于点 ，且 （）证明：； （）设 不是 的直径， 的中点为 ，且 ，证明： 为等边三角形 证明 （）由题设知 ， 四点共圆，所以 由已知得，故 （）设 的中点为 ，连结 ，则由 知 ，故 在直线 上 又 不是 的直径， 为 的中点，故 ， 即 所以 ，故 又，故由（）知， ，所以 为等边三角形 （ 课标全国， 分）选修 ：几何证明选讲 如图，直线 为圆的切线，切点为 ，点 在圆上， 的角 年高考年模拟 版（教师用书） 平分线 交圆于点 ， 垂直 交圆于点 （）证明：； （） 设圆的半径为 ， ，延长 交 于点 ，求 外接圆的半径 解析 （）证明：连结 ，交 于点 由弦切角定理得， 而，故，所以 又因为 ，所以 为直径， ，由勾股定理 可得 （）由（）知， 故 是 的中垂线，所以 设 的中点为 ，连结 ，则 从而 ， 所以 ，故 外接圆的半径等于 以下为教师用书专用（） （ 湖北， 分）（选修 ：几何证明选讲） 如图， 是圆的切线， 为切点， 是圆的割线，且 ，则 答案 解析 由切割线定理得 ， ， ，则 ， 又， ，则 （ 湖北， 分）（选修 ：几何证明选讲） 如图，圆 上一点 在直径 上的射影为 ，点 在半径 上的射影为 若 ，则 的值为 答案 解析 不妨设 ，则 ， 又 ，故 （ 重庆， 分） 如图，在 中， ， ，过 作 的外接圆的切线 ， 与外接圆交于点 ，则 的长为 答案 解析 设外接圆的圆心为 ，则 是直径， 为 的中 点连结 ，在 中，又由 与圆相切， 得又由 ，得 ，所以 ，所以 是等边三角形，又可算得 ，则 （ 广东， 分）（几何证明选讲选做题）如图，圆 的 半径为 ，、 是圆周上的三点，满足 ，过点 作圆 的切线与 的延长线交于点 ，则 答案 解析 连结 ，由圆周角定理得 ，又由切线的 性质得 ， 在 中， 评析 本题考查圆的重要性质及圆的切线的性质，考查推 理论证能力 （ 天津， 分）如图， 为圆的内接三角形， 为圆的弦，且 过点 作圆的切线与 的延长线交 于点 ， 与 交于点 若 ，则线段 的长为 第十六章 几何证明选讲 答案 解析 由切割线定理得 ，即 （ ），解得 又易知 ，由 可得 ，于是， ，又 ，于是四 边形 为平行四边形， ， 又由 可得，于是 ， ，即 （ 陕西， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 切 于点 ，直线 交 于 ， 两点， ，垂足为 （）证明：； （）若 ， ，求 的直径 解析 （）证明：因为 为 直径， 则， 又 ，所以， 从而 又 切 于点 ， 得， 所以 （）由（）知 平分， 则 ， 又 ，从而 所以 ， 所以 由切割线定理得 ， 即 ， 故 ， 即 直径为 （ 湖南，（）， 分）选修 ：几何证明选讲 如图，在 中，相交于点 的两弦 ， 的中点分别是 ， ，直线 与直线 相交于点 证明： （）； （） 证明 （）如图所示因为 ， 分别是弦 ， 的中点， 所以 ，即 ， ，因此 又四边形的内角和等于 ， 故 （）由（）知， 四点共圆，故由割线定理即得 （ 辽宁， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 交圆于 ， 两点， 切圆于 ， 为 上一点且 ，连结 并延长交圆于点 ，作弦 垂直 ，垂足 为 （）求证： 为圆的直径； （）若 ，求证： 证明 （）因为 ，所以 由于 为切线，故，又由于， 故， 所以，从而 由于 ，所以 ，于是 故 是 直径 （）连结 ， 由于 是直径，故 在 与 中， 从而 于是 又因为，所以，故 由于 ，所以 ， 为直角 于是 为直径，所以 年高考年模拟 版（教师用书） 对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷） 一、平行线截割定理 与相似三角形 解答题 利用平行线等分线段定理、 三角形相似的性质、直角三 角形射影定理证明三角形 相似 理解相似三角形的 判定和性质定理，了 解直角三角形射影 定理 课标全国 ，分 二、圆的初步解答题 利用圆的切线的性质、切割 线定理、相交弦定理确定圆 中有关线段之间的关系，解 题中一般应用弦切角定理、 圆周角定理等确定角之间 的关系，结合三角形相似的 判定与性质或三角形的其 他定理确定边角之间的关 系，证明有关线段的等式或 求线段的长 （） 理解圆周角定 理，理解圆的切线的 判定和性质定理及 弦切角定理 （） 理解相交弦定 理、割线定理、切割 线定理 （）理解圆内接四边 形 的 判 定 与 性 质 定理 课标， 分 课标， 分 课标全国 ，分 对应学生用书起始页码 平行线截割定理 （）平行线等分线段定理及其推论 （）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ，那 么在其他直线上截得的线段也 相等 （）推论 ：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平分第三边 （）推论 ：经过梯形一腰的 中点 ，且与底边 平行 的直线 平分另一腰 （）平行线分线段成比例定理及其推论 （）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比 例 （）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段 成比例 相似三角形 （）相似三角形的判定 （）判定定理 两角 对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角 相等 的两个三角形相似 三边 对应成比例 的两个三角形相似 （）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形 相似 （）直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条 直角边 对应成比例的两个直角三角形相似 （）相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于 相似比 ， 面积比等 于 相似比的平方 （）直角三角形射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上 射影 的 比例中项 ；两直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 射 影 与 斜 边 的 比例中项 圆周角定理 （）圆周角：顶点在 圆周上 且两边都与圆相交的角 （）圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的 一半 （）圆周角定理的推论 （）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧也 相等 （）半圆（或直径）所对的圆周角是 直角 ；的圆周角所 对的弦是 直径 圆的切线 （）直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离 与圆的半径 的关系 相交两个 相切一个 相离无 （）切线的性质及判定定理 （）切线的性质定理：圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径 （）切线的判定定理： 经过半径的 外端 并且 垂直 于这条半径的 直线 是圆的 切线 （）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长 相等 ，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 弦切角 （）弦切角：顶点在 圆 上，一边与圆 相切 、另一边与圆相 交的角 （）弦切角定理及推论 （）定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 （）推论：同弧或等弧所对的弦切角 相等 ，同弧或等弧所 对的弦切角与圆周角 相等 与圆有关的比例线段 定理名称基本图形条件结论应用 相交弦定理 弦、 相交于圆内 点 （） ； （） （）在 、 四条线段中，知三可求 一；（）求弦长及角 第十六章 几何证明选讲 续表 定理名称基本图形条件结论应用 切割线定理 切 于， 是 的 割线 （） ； （） （） 在 、 、 中，知二可求一；（） 求 、 割线定理 、 是 的 割线 （） ； （） （）在 、 中，知三可求一；（） 应用相似求 、 圆内接四边形 （）圆内接四边形性质定理： （）圆的内接四边形的对角 互补 （）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 （）圆内接四边形判定定理及推论 （）定理：如果一个四边形的对角 互补 ，那么这个四边形的 四个顶点共圆 （）推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那 么这个四边形的四个顶点共圆 对应学生用书起始页码 方法 相似三角形的判定及性质 判定两个三角形相似的几种方法：两角对应相等，两三角 形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边 对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义 （ 贵州七校联盟一模， 分）如图，和 的公切线 和 相交于点 ，、 为切点，直线 交于 、 两点，直线 交于 、 两点 （）求证：； （）若和的半径之比为 ，求 的值 解析 （）证明： 是两圆的公切线， ， ， ， 又 ， （ 分） （）连结 ， 是两圆的公切线， ， ， 共线， 和 是和的公切线， 平分， 平分， ， ， （ 分） 设和的半径分别为 和 ，则 ， （），（）， ， （ 分） （ 广西柳州三模， 分）如图，在 中， ， 的外接圆 的弦 交 于点 求证： 证明 因为 ，所以 又因为，所以， 又 为公共角，可知 方法 圆中有关定理（圆幂定理）的应用 圆幂定理 切割线定理、相交弦定理、割线定理等，考 查常常以证明乘积恒等式的形式出现因此，必须抓住以下几点： （）圆中的比例线段及其应用范围；（）线段成比例，相似三角 形，圆的切线及其性质，与圆有关的相似三角形；（）圆幂定理的 原理与证明 （ 课标， 分）选修 ：几何证明选讲 如图， 是 外一点， 是切线， 为切点，割线 与 相交于点 ， ， 为 的中点， 的延长线交 于点 证明：（）； （） 证明 （） 连结 ，由题设知 ，故 因为， ， ， 年高考年模拟 版（教师用书） 所以，从而 ( ( 因此 （）由切割线定理得 因为 ，所以 ， 由相交弦定理得 ， 所以 （ 贵州贵阳二模， 分）如图， 内接于 直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆 于点 ， （）求证：； （）求 的值 解析 （）证明： 是圆 的切线， ，又 是公共角， ， ， （）由切割线定理，得 ， ， ， 是 的平分线，由（）知 ， ， ， 又由相交弦定理，得 四点共圆问题往往难度较大，但出现的机率相对较小，主 要考查学生结合圆中有关角和边的定理进行推理和证明，结合 圆内接四边形的性质或判定完成问题的求解和证明 （ 课标全国， 分）选修 ：几何证明 选讲 如图， 为 外接圆的切线， 的延长线交直线 于点 ， 分别为弦 与弦 上的点，且 ， 四点共圆 （）证明： 是 外接圆的直径； （）若 ，求过 ， 四点的圆的面积与 外接圆面积的比值 解析 （）证明：因为 为 外接圆的切线，所以 ，由题设知 ，故，所以 因为 ， 四点共圆，所以 ，故 所以，因此 是 外接圆的直径 （）连结 ，因为 ，所以过 ， 四点的圆 的直径为 ，由 ，有 ，又 ， 所以 而 ，故过 ， 四点的圆的面积与 外接圆面积的比值为 （ 青海西宁 月月考， 分）已知 中， ， 为 外接圆劣弧 ( 上的点（不与点 、 重合）， 延长 至 ，延长 交 的延长线于 求证：（）； （） 证明 （） ， 四点共圆， ， ，又， ， （）由（）得， 又 ， ， ， ， 又 ， ， ， 根据割线定理得 ， 第十六章 几何证明选讲 对应学生用书起始页码 组 年高考模拟基础题组 时间： 分钟 分值： 分 解答题（共 分） （ 河南郑州二模，）如图，正方形 的边长为 ，以 为圆心、 为半径的圆弧与以 为直径的半圆 交于点 ， 连结 并延长交 于点 （）求证： 为 的中点； （）求 的值 解析 （）证明：由题意知 为圆 的切线， 依据切割线定理得 ， 半圆 的直径是 ， 是圆 的切线， 同样依据切割线定理得 ， 故 ， 为 的中点 （）连结 ， 为圆 的直径， ， 由 ， 得 ， 在 中，由射影定理得 （ 贵州模拟，）如图，圆内接四边形 的边 与 的延长线交于点 ，点 在 的延长线上 （）若 ，证明：； （）若 ，求 的值 解 析 （） 证 明： 因 为 四 边 形 内 接 于 圆， 所 以 ， 又 ，所以 因此 又 为公共角， 所以， 于是 ，即 （） 由割线定理得， ，即 ， 所以 ，即 因为， 是公共角，所以， 于是 （ 东北三省三校一模，） 如图，在 中， ，以 为直径的圆 交 于点 ，点 是 边的中点， 连结 交圆 于点 （）求证： 是圆 的切线； （）求证： 证明 （）连结 点 是 的中点，点 是 的中点， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ，即 是圆 的半径， 是圆 的切线 （）延长 交圆 于点 点 是 的中点， 由（）可知 ， 是圆 的切线， ， ， （） （） 是圆 的切线， 是圆 的割线， ， （ 辽宁一模，）如图，已知 与 相切，点 为切点， 为割线，弦 、 相交于点 ，点 为线段 年高考年模拟 版（教师用书） 上一点，且 （）求证：；