新新教案系列高中数学3.1直线的倾斜角与斜率教案pdf新人教A必修2

直线与方程第三章 教 学 札记 直 直线线的的倾倾斜斜角角与与斜斜率率 倾斜角与斜率 课标解读 课标要求学习目标 理解直线的倾斜角和斜率 的概念， 体验用代数方法刻画 直线斜率的过程 掌握过两点的直线的斜率 公式及应用， 培养学生对数学 知识的理解能力、 应用能力及 转化能力 通过坐标法的引入， 培养学 生联 系、对 应、转 化 等 辩 证 思维 明确倾斜角的取值范围； 在直角坐标系中能够找出直 线的 倾 斜 角， 会 求 直 线 的 倾 斜角 理解斜率的概念， 明确倾斜 角与斜率之间的函数关系， 已 知一些 特 殊 的 斜 率 （ 或 倾 斜 角） ， 求 出 相 应 的 倾 斜 角 （ 或 斜率） 熟练掌握斜率公式， 会求经 过两点的直线的斜率； 能利用 两点的斜率公式解决三点共 线问题 教学策略 重点难点 本节内容的重点是直线的倾斜角和斜率的概念， 过两点 的直线的斜率公式； 难点是斜率概念的理解， 过两点的直线 的斜率公式的应用 教学建议 通过在平面直角坐标系中刻画直线的位置导出直线 的倾斜角 借助实际问题， 讲授直线的斜率， 让学生体会生活中 处处有数学 运用数形结合思想及坐标法探讨两点的斜率公式 已知两点坐标求斜率的公式的推导不要求学生掌握， 重点是应用此公式解决问题 情境创设 意大利中部的比萨城内， 有一座造型古朴而秀巧的钟 塔， 是罗马式建筑的艺术， 这就是堪称世界建筑史奇迹的比 萨斜塔每年约有 万游客来到塔下， 无不对它那“ 斜而不 倒” 的塔身表示忧虑和焦急， 同时为自己能亲眼目睹这一由 缺陷而造成的奇迹庆幸万分， 那么经过 多年的风雨沧 桑， 比萨斜塔的倾斜度又是如何呢？ 我国的运载火箭技术已经达到了世界领先水平， 你听 说过“ 计算机扫描法” 吗？它是测试火箭性能的一种重要方 法， 这种方法的关键是直线斜率的选取， 可见， 斜率是刻画直 线的一个非常重要的量， 从本节开始， 我们将一起探究直线 斜率的有关问题 图 交通工程上一般用“ 坡度” 来描述 一段道路对于水平方向的倾斜程度如 图所示， 沿着这条道路从点前 进到点， 在 水 平 方 向 前 进 的 距 离 为 ， 竖直方向上升的高度为 （ 如果是 下降， 则 的值为负实数） ， 则坡度 上升高度 水平距离 坡度 表示这条道路是上坡， 值越大上坡越陡， 如果 太大， 车辆就爬不上去， 容易出事故； 表示是平路；表 示下坡， 越大说明下坡越陡，太大也容易出事故 如果在过 的竖直平面上建立直角坐标系， 使 方向 为轴正方向， 竖直向上的方向为轴正方向设、 的坐标 分别是（ ，） 、（，） ， 则水平距离为， 上升高度为 ， 此时， 坡度为多少？如何设计道路的坡度， 才能避免事 故发生？ 合作探究 探究一 直线的倾斜角 画一画： 请在如图所示的图形中画出直线向上 的方向与轴正方向所成的角 图 提升总结： 当直线与轴相交时， 我们取轴作为基 准， 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角当直线与轴平行或重合时， 我们规定它的倾 斜角为 ， 即直线的倾斜角的取值范围是 温馨提示： 直线倾斜角的分类（ 如图） ： （） ， 直线与轴平行或重合； （） ， 直线向右上方延伸； （） ， 直线轴； （） ， 直线向左上方延伸 （ ） （ ） （ ）（ ） 图 例 如图所示， 能表示直线的倾斜角的是 （ 填上所有正确图形的序号） 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 图 解 析 结合直线的倾斜角的定义， 图是正确的， 图 和图都是错误的对尽管大小与直线的倾斜角相等， 但不符合倾斜角的定义， 因此也不正确， 因此只有是正 确的 答案： 跟踪练习 判断下列命题是否正确 （） 直线的倾斜角的取值范围是 ； （） 坐标平面内的任何一条直线都有唯一的倾斜角； （） 平行于轴或与轴重合的直线没有倾斜角 解： （ ） 不正确， 应是 ； （） 正确； （） 不正确， 应是 倾斜角等于 探究二 直线的斜率 在日常生活中， 你知道如何表示山坡面的倾斜程度吗？ 日常生活中， 我们常用“ 升高量与前进量的比” 表示倾斜 面的“ 坡度” （ 倾斜程度） ， 升 高 前进 图 即坡度（ 比）升高量 前进量， 如图 如果设山坡面与水平面所成的角的 大小为， 由直角三角形中的三角函数 知识可知， 升高量 前进量坡度 类比坡度的概念， 我们可以得到直线的斜率的概念我 们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率， 通 常用表示， 即 注意： 倾斜角是 的直线没有斜率 温馨提示： 倾斜角与斜率之间的关系： 直线情况平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 逐渐增大逐渐减小 图 例 如图， 直线的倾斜角 ， 直线， 求、的斜率 分 析 由题目可获取以下主要信息： （） ； （） 且 解答本题可先利用三角形外角等于 与它不相邻的两内角的和， 求得 ， 再利 用斜率公式 即可求得其斜率 解： 的斜率为 槡 的倾斜角 ， 的斜率为 （ ） 槡 点 拨 利用公式 可实现与的互求， 欲求， 只需先求； 欲求， 只需先求 跟踪练习 若直线的斜率为， 则直线的倾斜角为（ ） 解 析，倾斜角为钝角 （ ） ， 即 答案： 探究三 两点的斜率公式及其应用 想一想： 如何由直线上的两点的坐标计算直线的斜率？ 探究： 在 直 线上 取 两 点（ ，） ，（，） ， 且 ， 如图， 设直线的倾斜角为（为锐角） ， 过点 作轴的平行线， 过点作轴的垂线， 两线相交于点 引导学生写出点的坐标（，）易知：， ，在 中， （） ， （，） ）（， 图 （） ， （，） ）（， 图 议一议： 若为钝角， 引导学生作出相应的图形， 如图 ， ， （ ） 在 中， 于是可得 提升总结： 经过两点（， ） 、（，） （） 的 直线斜率公式为 （ ） 例 已知（，） 、（，） 、， （） 三点在同一直 线上， 求的值 分 析 由于直线上任意两点的斜率相等， 因此三点、 、共线、中任意两点的斜率相等（ 如 ） 解： 因为（，） 、（，） 、， （） 三点在同一条直 线上， 所以 ， 即 ， 所以 点 拨 （） 平面解析几何中的三点共线问题主要利用斜 率公式进行解决 （） 斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的 量， 直线上任意两点所确定的方向不变， 即在同一直线上任 何不同的两点所确定的斜率相等， 这正是利用斜率可证三点 共线的原因 直线与方程第三章 教 学 札记 跟踪练习 如果过点（，） 和（，） 的直线的斜率等于， 那么的值为（ ） 或 或 解 析 由 （） ， 解得 答案： 若直线过点（，） ，（，） ， 求直线的斜率并判 断直线的倾斜角是锐角还是钝角？ 解： 根据直线的斜率公式 （ ） 可知： （） 当时， 直线与轴垂直， 此时直线的斜率 不存在， 倾斜角为 ； （） 当时， ； （） 当时， ， 倾斜角为锐角； （） 当时， ， 倾斜角为钝角 备选例题 例 求经过两点（，） ，（，） 的直线的斜率及 直线的倾斜角的取值范围 分 析 灵活运用两点的斜率公式及倾斜角与斜率之间 的函数关系进行求解 解： 当时， 直线垂直于轴， 斜率不存在， 倾斜角 ； 当时， 直线的斜率 ， 因为 ， 所以， 所以倾斜角为 或 ， 综上可知： 直线的斜率不存在或是 （ ） ， 倾 斜角的取值范围是 点 拨 注意点与点的特殊位置， 即 垂直于轴 的情形本题是由点的坐标求斜率的典型例题， 一般要考虑 到斜率不存在时的情形 图 例 已知点（，） ，（，） ， 点 （，） 是线段 上的任意一点， 试问 是否存在最大值与最小值？ 分 析 抓住 的几何意义 解： 表示点 （，） 与坐 标原点连线的斜率， 当点在线段 上变化时， 直线 的斜率 也随之变化， 由图 知， 直线 的范围是由直线 的位置绕原点沿逆时针 方向旋转到 的位置， 因为 ， ， 所以 ， 所以 的最大值为， 最小值为 点 拨 通过探究式子 的几何意义， 将问题转化为直线 的斜率的变化范围， 利用数形结合法求出斜率的取值范围， 从而求得 的最大值和最小值 反思感悟 直线的倾斜角的取值范围是 直线 的 两 个 斜 率 公 式 是 和 （ ） 倾斜角为 的直线没有斜率 研究直线问题应善于从斜率的角度去考虑， 即要考虑 斜率存在、 不存在两种情况， 做到既对又全 课后作业 过两点（，） ，（，） 的直线的倾斜角是 ， 则 的值为（ ） 解 析 由（ ） ， 解得 答案： 若直线的倾斜角为， 则（ ） 不存在 解 析直线 与轴垂直， ， 故应选 答案： 若（，） 、（，） 、（，） 三点共线， 则的值 为（ ） 解 析、三点共线， （） （ ） ， 解得 答案： 过点（，） 和（， ） （ ） 的直线的斜率的 取值范围是（ ） 解 析 答案： 直线过点（，） ， 且不过第三象限， 那么直线的倾 斜角的取值范围是（ ） 或 答案： 若（，） 、（，） 、（，） （ ） 三点共线， 则 的值为 解 析 因为三点共线， 所以 ， ， 所 以（ ） （）， 展开得 （） ， 从而 （） 答案： 下列命题正确的是 （） 已知点（， ） 、（，） ， 则直线 的斜率为 ； （） 任意一条直线都存在唯一的倾斜角， 但不一定都存 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 在斜率； （） 直线的斜率与倾斜角之间满足 ； （） 与轴平行或重合的直线的倾斜角为 ； （） 直线的倾斜角越大， 它的斜率就越大； （） 两直线的倾斜角相等， 它们的斜率也相等 解 析 对于（） 中， 应有这个限制条件； 对于（） 中， 当倾斜角为 时， 是不存在斜率的； （） 举反例说 明， ， 但 槡 槡 ； （） 如两直线的倾斜角都是 ， 但斜率不存在， 也就谈 不上相等 答案： （） （） 已知（，） ，（，）当 时， 直线的倾斜角为锐角； 当 时， 直线 的倾斜角为直角； 当 时， 直线 的倾斜角为钝角 解 析 （） ， 若直线的 倾斜角为锐角， 则 ， 有 ， ， 或 ， ， 解得或其他同理可得 答案： （，）（，） ， （， ） 已知（，） 、（，） 、（， ） 三点， 证明这三点 共线 证明： （ ） （） ， ， 又直线 、 都过点， 、三点共线 已知点（，） ， 在坐标轴上有一点， 若 ， 求 点的坐标 解： 当点在轴上时， 设（ ，） ， 则 ， 当点在轴上时， 设（， ） ， 则 ， 点坐标为（，） 或（，） 两条直线平行与垂直的判定 课标解读 课标要求学习目标 掌握两条直线平行与垂直的判定的 结论 及 应 用， 特 别 注 意 成 立 的 前 提 条件 通过教学， 注意解析几何思想方法的 渗透， 同时， 注意思考的严密性、 表述的 规范性， 培 养 学 生 的 探 索 能 力 和 概 括 能力 了解分类讨论、 数形结合等数学思想 方法 熟练掌握两条直线 平 行 或 垂 直 的 等 价 条件 能根据两条直线的 斜率判定两者平行或 垂直 注意斜率不存在的 情形， 养成分类讨论的 好习惯 教学策略 重点难点 本节重点是理解与掌握两条直线的平行或垂直的判定 条件难点是当斜率不存在时， 对两条直线平行或垂直情况 的讨论 教学建议 推导出两条直线平行的判定条件后， 强调前提是直线 的斜率存在， 引导学生思考斜率不存在时的情形 推导出两条直线垂直的判定条件后， 也要强调前提是 直线的斜率存在且两直线不重合， 引导学生思考斜率不存在 时的情形 通过实 例 让 学 生 体 会 数 形 结 合、 分 类 讨 论 思 想 的 应用 情境创设 过山车能带给你飞翔的感觉让你前一秒仰望高空， 下一秒却俯视地面但它不会等待你去欣赏美景， 相反会立 即从一百多米的高空开始抛落， 带来一次又一次的动 人 心 魄之旅过山车的铁轨是两条永远平行的起伏的轨道， 它 们靠着一根根巨大的且垂直于地面的钢柱支撑 着， 你 能 感受到过山车图形中的平行与垂直吗？ 两条直线的平行与垂直是两种重要的位置关系， 在平 面几何中我们曾经学习过两条直线平行与垂直的判定方法， 那么在直角坐标系中如何来判断两条直线平行与垂直呢？ 它们和斜率之间有何联系呢？ 合作探究 探究一 两直线平行的判定 想一想： 初中的平面几何中是如何判定两条直线平行 的呢？ 通过初中几何的学习， 大家都知道： 在平面内， 两条直线 同时与第三条直线相交， 如果同位角相等， 那么这两条直线 平行反过来也成立 议一议： 在平面直角坐标系中， 如何判定两条直线平 直线与方程第三章 教 学 札记 图 行呢？ 现在， 我们将两条直线 、放 到同一个平面直角坐标系中去， 如 图 ， 设 直线 的 倾 斜 角 为 ， 斜率为， 直线的倾斜角为 ， 斜率为， 若， 则有 ， 从而 ， 即 反过来， 若， 则 与的倾斜角与相等由于 ， 可得因此， 若， 则 提升总结： 对于两条不重合的直线 、， 其斜率分别为 、， 有 温馨提示： 公式成立的前提条件是两条直线的斜率存在 且直线不重合 思考： 若把条件“ 不重合” 去掉， “” 还成立吗？ 探究： 不再成立， 若 ，的斜率分别为， 则有“ ” 但 事实上， 或，重合 思考： 若把条件“ 都有斜率” 去掉， “” 还成立吗？ 探究： 不再成立， 若 ，是两条不重合的直线， 则有“ ” 但 事实上， 或，均不存在 例 已知四边形 的四个顶点分别为（，） ， （，） ，（，） ，（，） ， 试判断四边形 的形状 分 析 考察四边形对边的斜率， 应用过两点的斜率公式 及两直线平行的判定条件 解： 边所在直线的斜率为 ， 边所在直 线的斜率为 ，边所在直线的斜率为 ， 边所在直线 的斜率为 因为 ， ， 所以 ， ， 因此四边形 为平行四 边形 点 拨 利用斜率判断四边形的形状， 首先要由各顶点的 坐标求出各边所在的直线的斜率， 再由斜率判断边与边之间 的关系， 进而判定四边形的形状 跟踪练习 已知直线的倾斜角为 ， 直线过点（，） ， （，） ， 若， 则 解 析 ， ， 若 ， 则 ， 即 ， 答案： 探究二 两直线垂直的判定 想一想： 若两直线的斜率存在且不重合， 当 时， 有 ， 则当时，与会有何关系呢？ 如图 ， 设两条直线 与的倾斜角分别为与 图 （， ）当时， 这时 ， 由三角形任一外角等于与 其不相邻两内角之和， 得 设 、的斜率分别为、， 且 ， 由 （ ） ， 得 议一议： 当、 满足何条件时？ 结合上面的内容想一想， 反过来， 当两直线的斜率存在， 且时， 必有 提升总结： 如果两条直线都有斜率， 且两直线互相垂直， 那么它们的斜率之积等于； 反之， 如果它们的斜率之积等 于， 那么它们互相垂直， 即 温馨提示： 用斜率来判断直线垂直时， 应注意前提条件 是两直线的斜率都存在 思考： 若把条件“ 斜率都存在” 去掉， “” 还成立吗？ 探究： 不成立 对于任意两条直线 ， ， 但 例如： 是平行于轴的直线，是平行于轴的直 线， 有 ， 但不成立 例 已知 的三个顶点的坐标分别为（，） ， （，） ，（，） ， 试分别求此三角形的高所在直线的斜率 分 析 （）、是平面直角坐标系中的定点； （）、是 的三个顶点 解答本题可先结合图形， 再根据 三边所在直线 的斜率情况确定三条边的高所在直线的斜率 （ ， ） 图 解： 如 图 ， 可 知 为直角三角形， 且 边在轴上， 所以 边 所 在 直 线 的 斜 率 不 存 在， ， 设 边上的高的斜率 为， （） 由 ， 得 综上可知： 边上的高所在直线的斜率为； 边上 的高所在直线的斜率不存在； 边上的高所在直线的斜率 为 点 拨 针对这种类型的题目， 可借助所在直线的斜率关 系来解决， 使几何问题代数化， 在利用斜率关系时要注意数 形结合， 注意斜率不存在时的情况 跟踪练习 已知直线的倾斜角为 ， 直线， 则直线 的斜率为 解 析 槡 ， 所以 槡 槡 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 答案：槡 探究三 两直线平行与垂直的应用 想一想： 如何判定两直线的平行与垂直？ 议一议： 在判定两直线平行与垂直时， 应注意什么问题？ 提升总结： 若两直线的斜率都存在且不重合， （） ； （） 否则， 要考虑斜率不存在的情形， 可通过图形来进行验证 例 已知（，） ，（，） ，（，） ， 求点的坐标， 使 四边形 为直角梯形（ 、按逆时针方向排列） （） 图 分 析 根据直角梯形的定义求解 解： 设所求点的坐标为（， ） ， 由于 ， ， ， 即 与 不垂直， 故 、 都不可作为直角梯形的直角腰 （） 若 是直角梯形的直角腰， 则 ， ， ， 的斜率不存在， 从 而有 又 ， ， 即 此题中 与 不平行， 故所求点的坐标为（， ） （ ） 若 是直角梯形的直角腰， 则 ， ， ， ， ， 又 ， 解上述两式可得 ， 烅 烄 烆 ， 此时与 不平行 综上可知， 使四边形 为直角梯形（ 如图 ） 的点的坐标为（， ） 或 ， （） 点 拨 （） 把哪条边作为直角梯形的直角腰是分类的标 准， 解决此题时要注意不要丢根 （） 在遇到两条直线的平行或垂直的问题时， 一定要注 意直线的斜率不存在时的情形， 如本例中的 作为直角腰 时， 其斜率便不存在 跟踪练习 下列说法正确的是（ ） 若直线， 则与斜率相等 若直线， 则 若直线、的斜率不存在， 则 若两条直线的斜率不相等， 则两直线不平行 解 析 注意两直线重合的情况 答案： （ ， ） （ ， ） （ ， ） 图 已知 的三个顶点 坐标 为（，） ，（，） ， （，） ， 设 边 上 的 高 为 ， 求点坐标 解： 如图 ， 是 边上的高， 则 （， ） ，（ ，） ， （ ） ， ， ， 设点坐标为（ ，） ， 则 ， ， 联立可解得 ， 烅 烄 烆 ， 点的坐标为 ， （） 备选例题 例 已知（，） 、（，） 、（，） 三点， 求点， 使 直线 ， 且 分 析 抓住点满足的条件： ， 且 如 何体现 及 呢？ 解： 设点坐标为（ ，） ， 则 所在直线的斜率为 ， 所在直线的斜率为 ， 所在直线的斜率为 ，所在直线的斜率为 因为 ， 且 ， 所以 ， ， 即 ， 烅 烄 烆 ， 解得 ， ， 即点坐标为（， ） 点 拨 利用两直线平行（ 或垂直） 转化成斜率关系， 从而 把几何问题转化为代数问题进行求解 例 已知直线 经过点（，） ，（，） ， 直线 经过点（， ） ，（，） （） 若 ， 求的值； （） 若， 求的值 分 析 （） 直线 过点（，） ，（，） ， 直线过点 （，） ，（，） ； （） 点、中含有参量 解答本题可先计算直线 与直线的斜率、， 然后 根据“ ，” 求出的值， 但 要注意 斜率不存在时的情况 解： 设直线 的斜率为， 则（ ） （） ， （） 若 ， 则的斜率 ， 又 （） ， 时， 经检验， 此时、重合， 不符合题意， 故值不存在 （） 若 当时， 不符合题意 当时， 则的斜率存在， 此时 由可得 时， 点 拨 应用结论： ； 用结论时要注意考虑 、的斜率是否存在， 讨论时 还要考虑斜率是否为零 直线与方程第三章 教 学 札记 反思感悟 两条直线平行的条件是什么？使用时应注意哪些问题？ （） 设 和是两条不重合的直线， 则 或 、的斜率均不存在 （） 注意 的前提是： 和是两条不重合的直线； 和的斜率都存在 两个前提条件少了任何一个都会导致结论有误 两条直线垂直的条件是什么？使用时应注意哪些问题？ （） 或一条直线的斜率为， 另一 条直线的斜率不存在； （） 注意 的前提是：与都有斜 率， 若忽略此前提条件， 容易导致错误结论 在证明两直线平行时， 要区分平行与重合， 必须强调 不共线才 能 确 定平行， 因为斜率 相 等 也 可 能 推 出 两 直 线 重合 在判断或证明两直线的位置关系时， 若点的坐标中含 有字母参数， 要注意对字母参数分类讨论 课后作业 下列说法中不正确的是（ ） 斜率均不存在的两条直线可能重合 若直线， 则两条直线的斜率互为负倒数 两条直线的斜率互为负倒数， 则这两条直线垂直 两条直线、中， 一条直线的斜率不存在， 另一条 直线的斜率为零， 则 解 析 选项中 ， 则两条直线的斜率互为负倒数 或一条直线的斜率不存在， 另一条直线的斜率为零， 故 错 答案： 设点（，） 、（，） 、（ ，） 、（， ） ， 下面四 个结论， 正确的个数是（ ） ； ； ； 解 析 ， ， ， ， ， 故正确 答案： 过点（，） ，