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中国科学院硕士研究生2005年入学考试数学分析试题1. (15分)计算:.2. (15分)设,证明 .3. (10分)求.4. (10分)判断级数的敛散性.5. (15分)设函数在点的某个邻域中连续,求.6. (15分)求球面包含在柱面()内的那部分面积.7. (15分)设函数,其中,且在的某个邻域中满足，其中常数，。证明在点处可微,但函数在点处不可微.8. (15分) 设在区间上有连续的导数,并且.令().证明在处三次可微,并求(右导数).9. (20分)设函数在有限区间上可微,且满足(此处和分别表示在和处的右导数和左导数).则,使得.10. (20分)设,求,并证明(),其中是某个大于的常数.2005年中国科学院数学分析试题解答1. 解：利用，得，所以，原式 .2. 证明：不妨设，欲证的不等式等价于，令，不等式等价于 ，.令，因为 ，所以，即得， ， ，.令，因为，所以，即得， 故成立，取，代入上式，不等式得证.3. 解：解法一 利用，其中，.解法二 .4. 解：设，显然，单调递减；由莱布尼茨判别法知收敛，由，得发散，故条件收敛.5. 解：，由题设条件，可知，且关于是一致收敛； 于是 .6、计算下列曲面的面积： （1）圆柱面 介乎平面和之间的部分；（2）球面被椭圆柱面所截下的部分。解 （1）所截得曲面在第一卦限的曲面为：，；，于是利用对称性，所求的面积为；（2） 由图象的对称性，所截得的上半曲面为：，由积分区域位于第一象限部分为，于是利用对称性，所求的面积为 .特别地，当时，得到球面面积.7、证明： A =， 同理可知，B = ； 在（0，0）处可微 当且仅当 ，由于 ，（因为，。）所以，在（0，0）处可微。 因为当 时， 的极限不存在，所以在（0，0）处不可微。8. 证明：由 ，得，因为，所以在处三次可导，且.9( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数, 则 存在使得 证明 取函数 ，则 在上可导，且不妨设 ，则存在 ， ， ，使
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