新新教案系列高中数学2.5平面向量应用举例教案新人教A必修4

平面向量第二章 ) ! 教!学 札记! % * )平 平面面向向量量应应用用举举例例 课标解读 课标要求学习目标 $4I 4I$ 那么 他实际上沿什么方向前进. 速度大小为多少. %# 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前 进. 实际前进的速度大小为多少. 分 析 解决此类行船问题的关键在于) 水速%航速船 的实际速度* ! 注意到速度是一个向量! 既有大小! 又有方向4I4I在平面上做匀速直线运动$ 速度向量 %的运动方向与%相同$ 且每秒移动的距 离为%个单位#的坐标为$ +$ +# $ 则(! 后点;的坐标为!# /*%$的坐标为#$在平面上做匀速直线运动$ 速度向量%的运动方向与%相同$ 且每秒移动的距离为 %个单位#的坐标为$ +$ +# $ 则 (秒后点;的坐标为!# /*%$的起始位置为#! 经过秒后到达点 +! 则 3: : # + %! 利用这个原理即可求解到达+点! 则 3: : # + (%! 即3 : : * + 3: : * #(%! . 3: : * + 3: : * #%(%&$ +!$ +$%(&!$&$ +!($& .点+的坐标是&$ +!($ ! 故选2& !答案#2 (&已知!$是两个相互垂直的单位向量$ 而#$ $#- !$#-&$ 则对于任意实数$!%$#$!%的 最小值为!# /* (0* .2* $ %3* $ 解 析 & #$!%$ %$ ) 1?% $% % %)$-% & $ %& %&$ %$ & &! .&#$!%$ %的最小值为$ & &! 即# &$ #& $# 写出此时粒子相对粒子=的位移1( %# 求1在1=方向上的投影& 解# $# 粒子相对于粒子=的位移$ 就是粒子与粒 子=的位移的差向量& .111=&$#$&#$.#& %# 设1与1=的夹角为)$ 则 1 : !) 1-1= 1= $4?.4&# % &# 槡 % % ( ( (& .1在1=方向上的投影是(& $ +&已 知 在 正 方 形# + 7 E中$C是+ 7边 上 任 一 点$ %C #E的平分线交E 7于D$ 求证+ C%E D# C& 用向量法证# 分 析 通过向量法证明几何问题! 关键是把结论向量 化! 并通过向量的运算解决问题& 图%)()$ ( 证明# 如图%)()$ ($ 令%C # D %D #E)$ 设正方形边长为=& - 3: : # C 3: : # +% 3: : + C$. 3: : # C- 3: : # D 3 : : # +% 3: : + C# - 3: : # D 3: : # +- 3: : # D %3 : : + C- 3: : # D$ 即3 : : # C-3 : : # D-: !)3 : : # +- 3 : : # D-: ! ! % 6 # )%3 : : + C 3 : : # D-: !)$ .3 : : # C-=3 : : # D-=-! #)%3 : : + C-=$ .3 : : # C3 : : # D-! #)%3 : : + C$ .3 : : # C3 : : E D%3 : : + C$ .# C+ C%E D & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 全全程程优优化化复复习习 回顾概括 : B B B B B B B B B B B B B B 平面向量 3: : 向 量 的 概 念 零向量! 单位向量! 共线 向量! 3: : : 相等向量 向量 加法! 减法! 3: : B B B B B 数乘 3: : 向量平行的充要条件3 : : B B B B B B B B B : 解 决 图 形 的 平 行 和 比 例 问 题 3: : B B B B B B B B B : BB 向 量 的 初 步 应 用 3: :3: B B B B B B B B B B B B 平面向量基本定理 3: : J B B B B B B A B B B B B B B B B B B B B B 坐标表示 两向量 的数量 3: : B B B B 积 3: : : 两向量的夹角公式 解 决 图 形 的 垂 直 和 角 度 ! 3: : : 长 度 问 题 3: :3: : B B B B B 向量垂直的充要条件 3: : :3: : 两点间的距离公式 专题盘点 专题一!向量的线性运算 向量的线性运算是向量运算的基础$ 要熟练掌握向量运 算的三角形法则! 平行四边形法则以及坐标运算$ 此外$ 对于 向量共线定理也要灵活地加以运用& 例#!已知向量( $!(%不共线& $# 若3 : : # +($(%$3 : : + 7%($-(%$3 : : 7 E($%(%$ 求 证,#!+!E三点共线( %# 若向量 2 ( $(%与($ 2 ( %共线$ 求实数2的值& $# 证明#3 : : + E3 : : + 7% 3: : 7 E($(%#( 3: : # +$ 所以 3: : # +与 3: : + E共线$ 即#!+!E三点共线& %# 解# 2 ( $(%# 与($ 2 ( %# 共线$ 所以存在实数($ 使 2 ( $(%($ 2 ( %# $ 即2(#($% ( 2 $#(%.& 因为( $(%不 共 线$ 所 以 由 平 面 向 量 基 本 定 理 可 知 2(+$ ( 2 $5+ / $ 所以2$& 点 拨 &$ 证#%+%E三点共线! 即证3 : : # +与 3: : + E共线 &%$ 由向量共线充要条件! 设待定系数(! 使 2 ( $(% (&($ 2 ( %$ ! 从而求解2的值& 例%!已知!$%# $%# $ 若( !%与%! &平行$ 求实数(的值& 解法# 向量( !%与%!&平行$ 则存在唯一实数 2$ 使( !%2%!&#& -( !%($%#%$%#()$%(%&# $ %!&%$%#&$%#$ &$&# $ .()$%(%$ &$&#& . ()5$ &2$ %(%&56&2 / $ 解得 2 $ % $ ($ 5 6 7& 即实数(的值为$& 解法%#-( !%($ %#%$%# ()$%(%&# $ %!&%$%#&$%#$ &$&# $ ( !%与%!&平行$ .()# -&#%(%&# -$ &5+$ 解得($& 点 拨 解法$运用了) 向量与非零向量!共线E存在 唯一实数2! 使得 2 ! * 解法%运用了向量共线的坐标表 达式( !&$!$ 与&$%!%$ 共线E$!%$%!$+& 例&!已知3 : : * #!$3 : : * +$3 : : * 7#$3 : :