新新教案系列高中数学4.3空间直角坐标系教案pdf新人教A必修2

新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 图 图 解 析 设两圆的半径为， 当两圆相切于点时， 所围成 的面积最大， 如图 所示， 此时， ， 所以 ， 所围成的图形面积为矩形 的面积减 去一个半圆的面积， 即 ， 所以所求面积的 取值范围， （ 答案：， （ 图 已知隧道的截面是半径为 的半圆， 车辆只能在道路中心 线一侧行驶， 一辆宽为 ， 高为 的货车能不能驶 入这 个 隧 道？假设货车 的 最 大宽度为， 那么要正常驶 入该隧道， 货车的最大高度为 多少？ 分 析 这是一个实际问题， 现实中常通过实验解决我们也 可以通过数学计算解决这一问题， 这里的关键是把它转化 为数学问题， 可以通过建立平面直角坐标系求半圆方程 解决 解： 以某一截面半圆圆心为坐标原点， 半圆直径所在直 线为轴， 建立如图 所示的坐标系， 则半圆方 程为 （ ）将 代 入 得 槡 槡 ， 即在离中心线 处， 隧道高度高于货车的高度， 所以货车能驶入这个隧道 将代入 （ ） 得， 槡 ， 所 以货车要驶入该隧道， 最大高度为 槡 已知实数，满足 槡 ， 试求 及 的取值范围 解： 如图 所示， 槡 表示以原点为圆 心， 半径为槡 的上半个圆 （ ）（ ） 图 设点（ ，） 为半圆上任一点， 而点（，） 为 定点， 则 由圆与直线的位置关系并 结合图形（） 可得 槡 槡 可以看做过半圆上的点， 且斜率为的直线的 纵截距， 由图（） 可知 槡 槡 空 空间间直直角角坐坐标标系系 空间直角坐标系 课标解读 课标要求学习目标 了解空间直角坐标系的有 关概念， 会根据坐标找相应的 点， 会用空间直角坐标系刻画 点的位置， 能写出一些简单几 何体中各点的坐标 通过空间直角坐标系的建 立， 体会将空间问题转化为平 面问题是解决空间问题的基 本思想方法 在建立空间直角坐标系实 现数与形的沟通过程中， 体会 数形结合的思想 会建立空间直角坐标系， 会 根据坐标系找相应的点， 会用 空间 直 角 坐 标 系 刻 画 点 的 位置 通过建立适当的空间直角 坐标系， 写出一些简单几何体 中各点的坐标 知道点在坐标轴、 坐标平面 上的坐标的特点 会求关于坐标轴、 坐标平面 对称的点的坐标 教学策略 重点难点 本节的重点是在空间直角坐标系中， 确定点的坐标； 建立 适当的空间直角坐标系， 确定一些简单几何体顶点的坐标 难点是： 空间直角坐标系中点的坐标的确定 教学建议 要从学生熟悉的生活中的例子引入， 让学生感受到在 描述空间物体的位置时建立三个维度的空间直角坐标系的 必要性 注意结合实例， 利用类比的方法， 得出空间直角坐标 系的有关概念建立空间直角坐标系， 要强调“ 三要素” ， 即原 点， 坐标轴方向， 单位长度 对比平面直角坐标系， 建立空间点与有序数组之间的 联系， 让学生经历建立过程， 体会如何利用类比进行推广 借助长方体， 培养立体思维， 增强空间想象能力 本节的重点是让学生了解空间直角坐标系， 因此不要 选择太复杂的几何体让学生建系写点的坐标 情境创设 海湾战争中美军的“ 功臣” 全球定位系统 是 美国耗资 多亿美元建成的卫星导航定位系统， 在战争中 发挥了出色的作用如今它已被广泛地运用于航空、 交通、 通 信等多个领域相信不久的将来， 人们足不出户便能“ 放眼世 圆与方程第四章 教 学 札记 界”那么全球定位系统是怎样给不同的对象定位的呢？事 实上， 地球上的每一个对象都在大地坐标系下有唯一的空间 大地坐标， 通过坐标系的转换就得到了 坐标系统下的 空间直角坐标， 它就是利用对象的空间直角坐标来确定对象 所处的位置 我们在观察物体时， 能很自然地产生立体感， 是因为 人的两眼之间有一定距离， 当观察物体时， 左、 右眼从不同的 角度观察， 形成两眼视觉上的差异， 构成的各种图象反映到 大脑中， 便产生远近感和立体感， 那么我们怎样才能在二维 的平面上用代数的方法， 研究三维关系的立体图形呢？今天 将要学习的空间直角坐标系便可解决这一问题 合作探究 探究一 空间直角坐标系 想一想： 如何在一座三层电影院中寻找自己的座位？ 为了在三层电影院中找到自己的位置， 需要看第几层、 第几排、 第几号由此可见， 在空间描述物体的位置时， 需要 知道三个数 问题： 空间直角坐标系是如何建立的？ 议一议： 类似于平面直角坐标系建立的方法， 我们可以 选择互相 垂 直 的墙角线作为坐 标 轴， 墙 角 顶 点 作 为 坐 标 原点 图 探究： 如图所示， 在空间取一 点， 以点为原点作三条互相垂直的 且有相同单位长度的数轴， 分别称为 轴、 轴、轴， 它们统称为坐标轴这三 个坐标轴中每两条确定一个平面， 分别 称为 平面、 平面和 平面 如图所示， 在空间直角坐标系中， 让右手拇指指 图 向轴的正方向， 食指指向轴的正方 向， 若中指指向轴的正方向， 则称这个 坐标系为右手直角坐标系 问题： 如何画一个空间直角坐标系？ 探究： 通常， 将空间直角坐标系画在 纸上时，轴 与轴、轴 与轴 均 成 ， 而轴垂直于轴，轴和轴的单 位长 度 相 同，轴 上的单位长度 为轴 （ 或轴） 的单位长度的一半 提升总结： （） 在平面直角坐标系的基础上， 通过原点再 增加一条竖轴， 就成了空间直角坐标系 （） 空间直角坐标系像平面直角坐标系一样， 有“ 三要 素” ： 原点、 坐标轴方向、 单位长度 例 在空间直角坐标系 中， （） 哪个坐标平面与 轴垂直？哪个坐标平面与轴垂直？哪个坐标平面与 轴垂直？ （） 写出点（， ，） 在三个坐标平面内的射影的坐标 分 析 根据空间直角坐标系的定义进行判断， 写坐标时 注意结合长方体 解： （） 由于三条坐标轴两两互相垂直， 所以 平面 与轴垂直， 平面与轴垂直， 平面与轴垂直 （） 过作 平面 ， 则的射影为（， ，） ， 同 理，在 平面上的射影为（，） ，在 平面上的 射影为（， ，） 点 拨 确定点在坐标平面上的射影的坐标， 可以以 、分别为长方体的长、 宽、 高作长方体， 则点在 各坐标平面上的射影坐标实际上是长方体各顶点的坐标 跟踪练习 点（，） 在空间直角坐标系中的位置是（ ） 在轴上 在 平面上 在 平面上在 平面上 解 析 点的纵坐标为零， 则点到 平面的距离为 零， 所以点在 平面上 答案： 点是点（，） 在坐标平面 内的射影， 则点 的坐标为（ ） （，）（，） （，）（，） 解 析 因为点是点（， ，） 在坐标平面 内的射 影， 所以点在 平面上， 且纵坐标、 竖坐标与点的纵 坐标、 竖坐标相同， 所以（， ，） 答案： 探究二 空间直角坐标系中点的坐标表示 想一想： 平面直角坐标系中的点是怎样用坐标表示的？ 在平面直角坐标系 中的一个点对应一个有序 实数组（ ，） 问题： 当我们建立了空间直角坐标系 后， 空间中 的一个点的坐标如何表示呢？ 议一议： 设点为空间中的一个定点， 过点分别作 垂直 于轴、 轴 和轴 的 平 面， 依 次 交轴、轴 和 轴于点、和点、在轴、轴和轴上的坐标 分别是、 和， 那么点就对应唯一确定的有序实数组 （， ，） ； 反过来， 给定有序实数组（，） ， 我们可以在 轴、 轴和轴上依次取坐标为、和的点、和， 分 别过、和各作一个平面， 分别垂直于轴、 轴和 轴， 这三个平面唯一的交点就是有序实数组（， ，） 确定的 点 问题： 在空间直角坐标系中特殊点的坐标有何特点？ 议一议： （ ） 落在轴上的点的坐标（，） 满足 ； （） 落在轴上的点的坐标（， ，） 满足； （） 落在轴上的点的坐标（， ，） 满足； （） 落在 坐标平面内的点（， ，） 满足； （） 落在 坐标平面内的点（， ，） 满足； （） 落在 坐标平面内的点（， ，） 满足 提升总结： 空间一点的坐标可以用有序实数组（ ，） 来表示， 有序实数组（， ，） 叫做点在此空间直角坐标系 中的坐标， 记作（， ，） ， 其中叫做点的横坐标，叫 做点的纵坐标， 叫做点的竖坐标 问题： 类比平面直角坐标系中点（， ） 关于坐标轴， 原点的对称点的坐标， 空间直角坐标系中点（， ，） 关于 坐标轴、 坐标平面、 原点的对称点的坐标分别是什么？ 想一想： 在平面直角坐标系中点（， ） ， 关于轴的对称点为（，） ； 关于轴的对称点为（， ） ； 关于原点的对称点为（，） 议一议： 在空间直角坐标系中点（， ，） ， 关于轴的对称点为（，） ； 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 关于轴的对称点为（， ，） ； 关于轴的对称点为（， ） ； 关于 平面的对称点为（ ，） ； 关于 平面的对称点为（， ，） ； 关于 平面的对称点为（ ，） ； 关于原点的对称点为（，） 例 已知棱长为的正方体 ， 建立 如图、 图所示的不同空间直角坐标系， 试分别 写出正方体各顶点的坐标 （ ） 图 （ ） 图 分 析 根据题目建立的空间直角坐标系， 确定点的坐 标， 要注意点的相对位置 解： （） 如图， 因为是坐标原点，、分别 在轴、 轴和轴的正半轴上， 又正方体的棱长为， 所以 （，） 、（，） 、（，） 、（，） 因为点在 平面上， 它在、 轴上的射影分别为 、， 所以（，） 同理，（， ，） 、（，） 因为点在 平面上的射影是， 在轴上的射影 是， 所以（， ，） （） 如图， 因 为是 坐 标 原 点，、分 别 在 轴、轴的正半轴上，在轴的负半轴上， 且正方体的棱 长为， 所以（ ，） 、（，） 、（，） 、（， ） 同（ ） ， 得（，） 、（， ） 、（， ） 、（， ） 点 拨 空间点的坐标受到坐标系的制约， 建立不同的坐 标系， 将图形置于不同的位置， 点的坐标是不同的在以后的 学习中还会根据需要建立坐标系， 以建立适当的坐标系为 好， 何谓适当， 平时应观察、 积累、 总结 跟踪练习 轴上的点的坐标的特点是（ ） 竖坐标是 横坐标和纵坐标都是 横坐标是横、 纵、 竖坐标不可能都是 解 析 因为轴上的点在 平面上的射影是原点 答案： 点（，） 关 于 原 点 成 中 心 对 称 的 点 的 坐 标 为 解 析 根据对称知识可知， 与点（， ，） 关于原点成中 心对称的点的坐标为（，） 答案： （，） 图 例 已知正四棱锥 的底 面边长为， 侧棱长为 ， 试建立适当的 空间直角坐标系， 写出各顶点的坐标 分 析 本题是考查空间直角坐标系 的建立， 要建立适当的空间直角坐标系， 使点的坐标更简单、 易求， 需要充分利用 几何体的特征 解：正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为， 侧 棱 长 为 ， 正四棱锥的高为 槡 以正四棱锥的底面中心为原点， 平行于 、 所在的直 线分别为轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为（，） 、（，） 、 （，） 、（，） 、（，槡 ） 点 拨 在求解此类问题时， 关键是能根据已知图形的特 征（ 如线、 面的垂直关系， 对称中心， 中点等） 建立适当的空间 直角坐标系， 从而便于计算所需确定的点的坐标 跟踪练习 图 如 图所 示， 以 正 四 棱 锥 的底面中心为坐标原点建立空 间直角坐标系 ， 其中 ， ，为 的中点， 正四棱锥底面边长 为， 高为 （） 求、 、的坐标； （） 求点的坐标 解： （ ） 由题意知（，） 、（，） 、 （，） 、 ， ， （） （） （，） （ ） 图 备选例题 例 如图所示， 在棱长 为的正方体 中， 在 线 段 上， 且， 是线 段的 中 点， 求 点、 的坐标 分 析 本题是考查空间几何体中 点的坐标表示， 需要结合空间中点、 线、 面的位置关系， 结合点与坐标的对应关系， 找出点在坐标 平面上的射影， 从而求得点的坐标 解： 如图， 过作 于， 连接， 取中 点， 连 接由知 ， ，故 点的 坐 标 为 ， ，（） 而， 则与轴平行又与 的横坐标、 纵坐标相同， 其竖坐标为 ， 所以点的坐标 为 ， ，（） 由为的中点知 ， ， （） ， 而 与轴平行， 且 ， 所以点的 坐标为 ， ， （） 点 拨 在求某点的坐标时， 要把空间直角坐标系的问 题转化为平面直角坐标系的问题， 其方法是： 作出点在 平面上的射影 ， 其竖坐标 （ 当点在 圆与方程第四章 教 学 札记 平面上方时为正数， 反之为负数） ， 把 平面看成平 面直角坐标系， 容易求出点 的横、 纵坐标， 即得到 的坐 标为（ ，） ， 从而得点的坐标为（，） ， 也可利用点和 点之间的对称等关系求解 例 在 空 间 直 角 坐 标 系 中， 作 出 点（，） 、 （，） ， 并判断直线 与坐标平面 的关系 分 析 本题是考查空间中点的坐标表示， 根据定义， 逐 步作出点（ ，） 、 （，） 、 （，） 即可 图 解： 如图所示， 作出点可 按以下步骤进行： 先在轴上作出横坐 标是的点， 再将点沿与轴平 行的方向向右移动个单位长度得到 ， 然后将沿与轴平行的方向向 下移动个单位长度得到点 作出点可按以下步骤进行： 先 在轴上作出横坐标是的点， 再将点沿与轴平 行的方向向右移动个单位长度得到， 然后将沿与 轴平行的方向向下移动个单位长度得到点 由于、两点的纵坐标是， 则、两点到坐标平面 的距离都是， 且都在坐标平面 的同侧， 所以 平行于坐标平面 点 拨 根据点的坐标作出点的步骤： （） 在轴上找出 横坐标为的点（，） ； （） 此点沿与轴平行的方向向 左（ ） 或向右（） 平移个单位长度得点（，） ； （） 将点（ ，） 沿与轴平行的方向向下（） 或向上 （ ） 平移个单位长度得点（，） 作出点的方法还有其他途径， 但其实质都是利用点的坐 标与点到坐标平面的距离的关系： 点（， ，） 到 平面、 平面、 平面的距离分别为 、 例 已知三棱锥 的三条侧棱互相垂直， ， 试建立适当的坐标系， 并确定底面 的重 心的坐标 分 析 利用三条侧棱互相垂直建立空间直角坐标系， 结 合重心的比例性质， 确定重心的坐标 图 解： 如图所示， 以为坐 标原点， 、 、 所在的直线分 别为轴、 轴、轴建立空间直角 坐标系 ， 则（，） 、（，） 、 （，） 、（，） 连接 并延长 交 于， 连接 ， 过作 于， 则有平面 ， ， ， 槡 在 坐 标 平 面 内，是 的 平 分 线，故 ， ， （） ， 重心与的横坐标、 纵坐标相同， 所以重 心 ， ， （） 点 拨 以互相垂直相交的三条直线为坐标轴， 交点为 坐标原点建立空间直角坐标系， 是很好的建系途径在求 几何体中点的坐标过程中还需要充分发挥空间 想 象 力， 理清几何体中的线面关系， 综合运用立体几何的 相 关 知 识解题 反思感悟 通常三个数轴应具有相同的长度单位， 把轴和轴 配置在水平平面上， 而轴则是方向向上的铅垂线， 数轴的 正方向通常符合右手规则 三条坐标轴的任意两条可以确定一个平面， 这样定出 的三个平面统称为坐标平面， 轴及轴所确定的坐标平面 叫做 平面， 同样有 平面、 平面 点 的 位 置 应 在 一 个 基 础 平 面 （ 如 平 面） 的 前 提下确定 对称点的确定可类比平面直角坐标系中的对称性来确定 在空间直角坐标系中， 点（， ，） 的几种特殊对称点 的坐标是： （） 关于原点的对称点是（，） ； （） 关于轴的对称点是（，） ； （） 关于轴的对称点是（， ，） ； （） 关于轴的对称点是（， ） ； （） 关于 坐标平面的对称点是（ ，） ； （） 关于 坐标平面的对称点是（， ，） ； （） 关于 坐标平面的对称点是（， ） 课后作业 在空间直角坐标系中， 已知点（，） ， 给出下列 条叙述： 点关于轴的对称点的坐标是（，） ； 点关于 平面的对称点的坐标是（ ，） ； 点关于轴的对称点的坐标是（，） ； 点关于原点的对称点的坐标是（，） 其中正确的个数是（ ） 解 析 点关于轴的对称点的坐标是（，） ， 故错 误； 点关 于 平 面 的 对 称 点 的 坐 标 是 （， ，） ， 故错误； 点关于轴的对称点的坐标 是（， ，） ， 故错误； 点关于原点的对称点的 坐标是（，） ， 故正确所以正确的只有个 答案： 设、为任意实数， 相应的所有点（，） 的集合 是（ ） 过轴上的两个点 过轴上的（，） 点且与轴垂直的直线 过轴上的（，） 点且与轴垂直的平面 以上答案都有可能 解 析 验证法 答案： 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 点（，） 在轴上的投影点和在 平面上的 投影点的坐标分别为（ ） （，） ， （，） （，） ， （，） （，） ， （，） （，） ， （，） 解 析 点（，） 在轴上的投影点的横坐标是 ， 故为（，） ； 点（，） 在 平面上的投 影点的横、 纵坐标不变且竖坐标是， 故为（， ，） 答案： 在空间直角坐标系中， 点（，） 与（，） 两 点的位置关系是（ ） 关于轴对称 关于 平面对称 关于坐标原点对称 以上都不对 解 析 观察两点之间的关系， 只有竖坐标不同， 便可得 出关于 平面对称 答案： 点（，） 关于点（，） 的对称点的坐标 是（ ） （，）（，） （，）（，） 解 析 设对称点的坐标为（ ，） ， 由中点坐标公式 得 ， ， ， 所以， 答案： （ ） 图 图 所示为一个正方体 截下的一角 ， ， ， ， 则 的 重 心 的 坐 标 是 解 析 的 重 心在 平 面 上 的 射 影 是 的重 心， 其 坐 标 为 ， ， （） ， 而 ， 重 心的 竖 坐 标 为 ， 所 以的 坐 标 为 ， ， （） 答案： ， ， （） 有一个棱长为的正方体， 对称中心在坐标原点且每 一个面平行于坐标平面， 给出以下各点：（，） 、 （，） 、 ， ， （） 、 ， ， （） 、 ， ， （） 、， ， （） ， 则位于正方体之外的 点是 解 析 正方体之内的各点的横、 纵、 竖坐标的绝对值都 小于或等于 答案： 、 如图 所示， 三棱锥 中， 平面 ， ， ，是 上的一点， 且 平 面 图 （） 求证： 平面 ； （） 建立适当的空间直角坐标系， 写出 点、 、的坐标 （） 证明： 平面 ， 平 面 ， 平面 ， 平面 ， 又 ， 平面 （） 解： 由（） 知 以点为坐标原点， 所在直线 为轴， 所在直线 为轴， 过点向上方向作 的平行线为轴建 立如图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系由 ， ， ， 得 槡，（，） 、 （槡，） 、（，槡，） 、（槡，） 图 图 如图 所示， 正方体 的棱长为 ， 以为原点， 正方体的三条棱所在的直线分别为坐 标轴， 建立空间直角坐标系 ， 有一动点在正 方体的各个面上运动 （） 当点分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时， 探究动点的坐标特征； （） 当点分别在各个面的对角线上运动时， 探究动 点的坐标特征 解： （） 当点（， ，） 分别在平行于轴的棱、 、 上运动时， 动点的纵坐标、 竖坐标不 变， 横坐标在， 内取值； 当点（， ，） 分别在平行轴的棱、 上运动时， 动点的横坐标、 竖坐标不变， 纵坐标 在， 内取值； 当点（， ，） 分别在平行于轴的棱 、 、 上运动时， 动点的横坐标、 纵坐标不变， 竖坐标 在， 内取值 （） 当点（， ，） 分别在面对角线 、上运动 时， 动点的纵坐标不变， 横坐标、 竖坐标分别 在， 内取值； 当点（， ，） 分别在面对角线、 上运动时， 动点的横坐标不变， 纵坐标、 竖坐标分别在 ， 内取值； 当点（， ，） 分别在面对角线、上运动 时， 动点的竖坐标不变， 横坐标、 纵坐标分别 在， 内取值 圆与方程第四章 教 学 札记 空间两点间的距离公式 课标解读 课标要求学习目标 理解空间两点间的距离公 式的推导过程和方法， 掌握空 间两点间的距离公式 类比平面两点间的距离公 式， 用不同的方法推导空间两 点间的距离公式， 加深理解公 式的背景， 体会长方体模型的 运用 通过推导和应用空间两点 间的距离公式， 进一步培养空 间想象能力， 体会由一般到特 殊的数学思想 会推导空间两点间的距离 公式， 理解公式使用的条件， 会用公式计算和证明 类比平面两点间的距离公 式， 用不同的方法推导空间两 点间的距离公式， 加深理解公 式的背景， 体会长方体模型的 运用 灵活使用函数与方程的思 想方法解决问题 教学策略 重点难点 本节的重点是 掌 握 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式； 难 点 是 探索和推导空间两点间的距离公式， 并能熟练运用距离 公式 教学建议 以学生熟知的材料为载体， 让学生体会到求空间两点 间的距离的必要性 引导学生自己得出空间两点间的距离公式， 让学生体 会由特殊到一般的解决问题的方法， 培养学生的观察、 分析、 联想能力， 以及归纳概括的能力 运用类比方法， 让学生体验从二维空间过渡到三维空 间的“ 升维” 过程， 激发学生的学习兴趣和探求知识规律的强 烈愿望 教学过程中要注意画图的规范性， 坐标轴箭头画法， 字母的标法等 图 情境创设 年百年罕见的雪 灾袭击 中 国 南 部极 端 恶 劣 的天气， 给部分地区的正常社 会秩序和人民群众生产生活造 成重大影响各地发出号召， 要 求受灾地区各级党政机关、 企 事业单位和驻地部队等要紧急 行动起来， 全面迎接暴雪天气的挑战， 把灾害给人民群众带来的 影响降到最低， 切实保证正常的生产生活秩序和社会的和谐稳 定图 为电力工程技术人员在高压输电线路上实施破冰 工程同学们， 我们如何来计算他们的空间距离呢？ 你还记得平面直角坐标系中的两点间的距离公式吗？ 你知道如何求空间直角坐标系中的两点间的距离吗？你能 类比平面直角坐标系中的两点间的距离公式， 猜测一下空间 直角坐标系中的两点间的距离公式吗？ 合作探究 探究一 空间两点间的距离公式的推导 想一想： 一间房子长米， 宽米， 高米， 一个米长 的木棒能放得进去吗？ 议一议： 画图、 分析， 通过长方体的长、 宽、 高、 面对角线、 体对角线与木棒的长进行比较， 知放不进去 问题： 类比在平面直角坐标系下， 原点到点（， ） 的距离公式， 你能猜想一下， 在空间直角坐标系中， （，） 到坐标原点的距离表达式吗？ 议一议： 在平面内， 点（， ） 到坐标原点的距离 槡 ； 猜想在空间中， 点（，） 到坐标原 点的距离 槡 （，） ， （， ） 图 探究： 如图 所示， 点 在 平面上的射影为点， 点 的坐 标 是 （， ，） ， 槡 ， 在 中 ， 槡 槡 问题： 已知空间两点（， ，） 、（，） ， 如何 求它们的距离？ 图 探究： 如图 所示， 分析点 （，） 、 点（，） 所在位置 的特点， 计算 直线垂直于平面 ， 或 者说平行与轴或与轴重合， 此时 议一议： 当平行于轴或与 轴重合， 此时 ； 当平行于轴或与 轴重合， 此时 问题： 类比平面两点间距离公式， 你能猜想一下空间 两点（， ，） 、（，） 间的距离公式吗？ 想一想： 平面两点（， ） 、（，） 间的距离公式 是什么？ 议一议： 在平面内， （ ） （ ）槡 ， 猜想空间两点（， ，） 、（，） 间的距离公式 为（ ） （ ） （ ） 槡 图 ? 探究： 如 图 ， 设 点 （，） 、（，） 是 空间中任意两点， 且点（， ，） 、（，） 在 平面上的射影分别为、， 那 么、的坐标为（， ，） 、 （，） 在 平 面 上， （） （ ）槡 过点作的垂线， 垂足为， 则 ， 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 ， 所以 在 中， （ ） （ ）槡 ， 根据勾股定理， 得 槡 （ ） （ ） （ ） 槡 因此， 空间中点（ ，） 、（，） 之间的距 离（ ） （ ） （ ） 槡 提升总结： 在空间中， 点（， ，） 到坐标原点的距 离 槡 ； 在空间中， （，） 、（，） 的距离 （ ） （ ） （ ） 槡 例 已知 的三个顶点（，） 、（，） 、 （，） （） 求 中最短边的边长； （） 求 边上中线的长度 分 析 本题是考查空间两点间的距离公式的运用， 直接 运用公式计算即可 解： （） 由两点间的距离公式得： （） （ ） （ ） 槡 ， （） （ ） （ ） 槡 槡 ， （） （ ） （ ） 槡 槡 中最短边是 ， 其长度为槡 （） 由中点坐标公式得， 的中点坐标为， ，（） ， 边上中线的长度为 （ ） （ ） （） 槡 点 拨 熟练运用两点间的距离公式求线段的长度， 解决 一些与长度有关的问题 跟踪练习 若已知（，） 、（，） ， 则线段 的长 为（ ） 槡 槡 槡 槡 解 析 由两点间的距离公式得 槡 槡 答案： 例 已知（ 槡，槡 ） 、（槡，槡） ， 在 平面上 求一点使 为等边三角形 分 析 本题属于两点间的距离公式的应用， 根据条件计 算距离即可， 首先根据题目条件设出恰当的点的坐标， 再利 用条件求出设出的参数， 这是待定系数法的体现 解： 设（， ，） ， 要使 为等边三角形， 则 ，即 （ 槡 ） （ ） （ 槡 ）槡 （ 槡 ） （ ） （ 槡）槡 槡 ， 解得 ， 槡 或 ， 槡 所以点的坐标为（， ，槡） 或（，槡 ） 点 拨 由条件探求点的坐标时， 先用参数来表示点的坐 标， 要根据条件尽量减少参数， 利用距离等有关公式建立方 程， 求参数的值 跟踪练习 设（，） 、（，） 、（，） ， 的中点为， 则（ ） 槡槡槡 解 析 中 点的 坐 标 为 （，） ， （ ） 槡 答案： 探究二 空间球的方程 问题： 在平面直角坐标系中， 方程 的图形 是以坐标原点为圆心， 为半径的圆在空间直角坐标系中， 方程 的图形仍然是圆吗？ 图 议一议： 如图 所示， 在空间直 角坐标系中， 当时， 方程 表示 平面内以坐标原点为圆心， 为 半径的圆； 当（ 其中是常数） 时， 方 程 表示在过定点（ ，） 且垂 直于轴的平面内以定点（，） 为圆 心、 为半径的圆 方程 可化为（ ） （ ） （ ） 槡 ， 表示点（，） 到点（，） 的距离等于 方程 的图形是以动点（， ） 为圆心， 为半径的所有圆组成的图形， 即以轴为旋转轴，为半径 的无底面的圆柱侧面 问题： 空间球的方程如何表示？ 想一想： 如果 是定长， 那么 表示 什么图形？ 在平面直角坐标系中， 方程 表示以原点为 圆心， 半径为的圆， 据此， 不难将其推广到空间， 得出 表示以原点为球心， 半径为的球面 设计此问题的目的在于将此方程与圆的方程进行类比， 从而得到问题的答案类似地不难将平面直角坐标系中的中 点公式、 定比分点公式推广到空间直角坐标系中 提升总结： 空间球的方程为 ， 表示以原 点为球心， 半径为的球面 例 已知（， ，） 、（，） 、（，） ， 且 ， 那么实数、满足什么条件？并指出符合条 件的点的集合是什么图形？ 分 析 利用距离公式建立等式 解： 由 ，得（ ） 槡 （） 槡 ， 化简得 ， 所以实数、 、满足方程 所以方程 表示以原点（ ，） 为球心， 为半径的球面 点 拨 从中我们发现， 可以用距离的比来获得球面 跟踪练习 若点（，） 与（，） 的距离为， 则，满 足的关系式是 ， 表示的图形是 解 析利用两点间距离公式得（ ） （ ） （ ）槡 答案： （ ） （ ） （ ） ； 以点（ ，） 圆与方程第四章 教 学 札记 为球心， 为半径的球面 已知（，） 、（，） 求： （） 线段 的长度； （） 线段 的中点坐标； （） 到、 两点距离相等的点（，） 的坐标、 满足的条件 解： （） 由空间两点间的距离公式得 （） （ ） （ ） 槡 槡 （）线 段 的 中 点 坐 标 为 ， ， （） ， 即为， ， （） （） 由点（ ，） 到、两点距离相等， 得 （ ） （ ） （ ） 槡 （ ） （ ） （ ） 槡 ， 化简得 即到、距离相等的点的坐标（， ，） 满足的条件是 备选例题 例 已知（，） 、（，） （） 若点到坐标原点的距离为 槡 ， 求的值； （） 求 的最小值及此时的值 分 析 解决本题的关键是利用距离公式建立方程和函 数， 针对不同类型的函数， 用相应的方法求其值域， 即得函数 的最值， 但要注意变量的取值范围 解： （） 由 槡 ， 得 （ ） （ ） 槡 槡 ， 解得或 （） （） （ ） （ ） 槡 槡 （） 槡 ， 当 时， 取得最小值槡 点 拨 函数与方程思想是数学中的重要数学思想， 在任 何章节的知识中都有重要的运用， 贯穿了整个高中数学 反思感悟 掌握空间两点间距离公式的推导、 变形、 应用， 要注意 公式中的对应坐标的差 平面两点间距离公式是空间两点间距离公式的特例， 其用法一致， 只是将平面问题上升到空间 在本节中要仔细体会类比、 猜想、 从特殊到一般的思 想方法 在使用两点间距离公式时， 要特别注意点的位置， 再 就是