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金陵中学 2014-2015 学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题：高一数学备课组 审核：陶兆龙 张松年 一、填空题(本大题共 14小题，每小题 3分，共 42 分，请将答案填在答卷纸上) 1. 已知集合 1,0,1M ，0,1,2N，则MN . 【答案】0,1. 【解析】直接利用交集定义求解. 2. 在平面直角坐标系xOy中，若角的终边经过点(3,4)P，则cos的值等于 . 【答案】 3 5 . 【解析】 22 33 cos 5 3( 4) x r . 3. 函数 1 ( )3 2 f xx x 的定义域为 . 【答案】 3,2)(2,) . 【解析】定义域要求 20 30 x x ，解得定义域为 3,2)(2,) . 4. 在平面直角坐标系xOy中，若幂函数( )f x的图像经过点 2 (2,) 2 ，则(9)f的值为 . 【答案】 1 3 . 【解析】设( )f xx，由过点 2 (2,) 2 得 1 2 22 ，因此 1 2 ( )f xx ，则 1 2 1 (9)9 3 f . 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页，包含填空题（第 1题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分。本试 卷满分 100分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答卷纸上交。 2. 答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填在指定位置。 3. 作答非选择题必须用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答卷纸上的指定位置，在其他位置作答 一律无效。 5. 设 2 0.3a， 0.3 2b， 0.5 log3c，则, ,a b c的大小关系为 .(用 “”连结) 【答案】cab. 【解析】01a，1b，0c，因此cab. 6. 函数 3 ( ) 2 x f x x 的值域为 . 【答案】(,3)(3,) . 【解析】 3(2)66 ( )3 22 x f x xx ，因此( )f x由 6 x 向右平移2个单位，向上平移3个单位得到， 因此( )f x值域为(,3)(3,) . 7. 在平面直角坐标系xOy中，将函数 1 2xy 的图像沿着x轴的正方向平移 1 个单位长度，再作关于y轴 的对称变换，得到函数( )f x的图像，则函数( )f x的解析式为( )f x . 【答案】2 x . 【解析】向右平移一个单位得 (1) 1 22 xx y ，再关于y轴对称得( )2 x f x . 8. 计算： 1 3 333 321 2log 2loglog 8( ) 98 . 【答案】4. 【解析】原式 3333333 2log 2(log 32log 9)3log 222log 25log 223log 224. 9. 函数 2 ( )43f xxx的单调减区间为 . 【答案】(,1 . 【解析】定义域需要 2 430 xx，解得1x或3x， 令 2 43uxx，则yu， yu在0u时递增，u在(,1 上递减， 因此( )f x在(,1 上递减. 10. 若关于x的方程 2 (2)210 xkxk 的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，则实数k的 取值范围为 . 【答案】 1 2 ( , ) 2 3 . 【解析】令 2 ( )(2)21f xxkxk，由图像可得只需(0)0, (1)0, (2)0fff， 即 210 12210 42(2)210 k kk kk ，解得 1 2 2 3 1 4 k k k ，因此实数k的取值范围为 1 2 ( , ) 2 3 . y x 21 O 11. 已知函数 2 2 ( )log (2 )f xxmxm在区间2,) 上是单调增函数，则实数m的取值范围是 . 【答案】(,1) . 【解析】由题意 2 ( )2u xxmxm在2,) 上单调递增，且大于0， 2 ( )2u xxmxm对称轴2 2 m ，且(2)0u， 即 4 4220 m mm ，解得1m，即m的取值范围是(,1) . 12. 设( )f x是定义在实数集R上的偶函数，且在区间0,) 上是单调增函数，若( 1)0f ，则满足不等 式(1) (ln )0 xfx的x的取值范围是 . 【答案】 1 (0, )(1, ) e e . 【解析】( )f x的图像大致如右图， 则1x 或1x时( )0f x ，11x 时( )0f x ， 考虑(1) (ln )0 xfx， 1x时，需要(ln )0fx ，则ln1x 或ln1x， 则 1 0 x e 或xe，而由1x得 1 0 x e ； 1x时，需要(ln )0fx ，则1ln1x ， 则 1 xe e ，因此1xe； 综上所述x的取值范围是 1 (0, )(1, ) e e . 13. 已知函数( )21 x f x ，若abc，且( )( )( )f af cf b，则下列四个结论中，一定成立的 是 .(写出所有正确结论的序号) 0,0,0abc； 0,0,0abc； 222 ac ； 222 bc . 【答案】. 【解析】( )f x的图像大致如右图，, a c的位置可确定大致如图，0,0ac 而b的正负无法确定，因此均不对， 由0a，0c，( )12 , ( )21 ac f af c ， 由( )( )f af c可得222 ac ，因此对； 若0,0bc，则222 bc ， 若0,0bc，则( )12 , ( )21 bc f bf c ，由( )( )f cf b得222 bc ，因此对. 1-1 y x O ca 1 y x O 14. 若函数 1 ( ) lg(24 2) xx f x a 的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为 . 【答案】(,3) . 【解析】( )f x的定义域要求24 20 xx a ，且lg(24 2)0 xx a ， 因此24 20 xx a 且24 21 xx a ， 由定义域为R，得任意x R，有24 20 xx a 且1， 令2xu，则对任意0u， 4 0ua u 且不等于1， 0u时， 4 u u 最小值4（对勾函数的性质） ，因此 4 ua u 取值范围4,)a ， 因此40a，且14,)a ， 因此41a，则3a，因此a的取值范围(,3) . 二、解答题(本大题共 6小题，共 58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 若集合 |210Axx， |18Bxx， |2, x Cy ya x R，求： AB，() RA B； 若AC ，求实数a的取值范围. 【答案】(1,10)，(1,2)； (,10) . 【解析】 2,10)A，(1,8)B， 因此(1,10)AB，()(1,2) RA B； ( ,)Ca ，由AC ，得10a， 即a得取值范围为(,10) . 16. 设函数 2 ( )log (2 )(0 a f xxx a，且1)a. 若(3)2f，求a的值； 若2a，且( )3f x ，求x的取值范围； 判断函数( )f x在区间(2,) 内的单调性，并给出证明. 【答案】3；(, 2)(4,) ；01a时递增，1a时递减. 【解析】 由(3)2f得 2 2log (32 3) a ，解得3a； 由2a，( )3f x ， 2 2 log (2 )3xx，则 2 28xx，则(4)(2)0 xx，解得2x 或4x， 因此x的取值范围(, 2)(4,) ； ( )f x在区间(2,) 上递增， 任取 1212 ,(2,),x xxx ， 2 2211 1211222 22 2 ( )()log (2 )log (2)log 2 aaa xx f xf xxxxx xx ， 22 11221212 2(2)(2)()xxxxxxxx， 由 12 2xx得 12121122 20,0,(2)0,(2)0 xxxxx xx x， 因此 22 1122 022xxxx，因此 2 11 2 22 2 1 2 xx xx ， 因此01a时 12 ( )()f xf x，( )f x在R上递减， 1a时 12 ( )()f xf x，( )f x在R上递增. 17. 某厂家根据以往的生产销售经验，得到下面有关生产销售的统计规律：生产某种产品每年需要固定投 资 100 万元，此外每生产 1 件该产品，还需要增加投资 1万元. 设年产量为(*)x x N件，当20 x时， 年销售总收入为 2 (33)xx万元；当20 x时，年销售总收入为 260 万元. 记该工厂生产并销售这种产 品所得的年利润为y万元. 假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉） ，根据上述统计规律，请完 成下列问题： 求利润函数( )yf x的解析式； 工厂每年生产多少件该产品，可使盈利最多？ 【答案】 2 3210020,* ( ) 16020,* xxxx f x xxx N N ； 16. 【解析】 由题意，20 x时， 22 ( )33(100)32100f xxxxx ， 20 x时，( )260(100)160f xxx ， 因此 2 3210020,* ( ) 16020,* xxxx f x xxx N N ； 20 x时， 2 ( )(16)156f xx ，则16x时取到最大值156； 20 x时，20 x时取到最大值140； 综上16x时( )f x最大值为156. 18. 设函数( )f x是实数集R上的奇函数，当0 x时， 2 3 ( )log4f xxx. 求函数( )f x的解析式； 求证：方程( )0f x 的区间(0,) 内有唯一解. 【答案】 2 3 2 3 log40 ( )00 log ()40 xxx f xx xxx ； 证略. 【解析】0 x时，由( )f x是奇函数，得( )()f xfx ， 由0 x ，因此 2 3 ()()log ()4fxxx ， 因此 2 3 ( )()log ()4f xfxxx ， 由题意，20 x时， 22 ( )33(100)32100f xxxxx ， 0 x时，(0)(0)ff ，则(0)0f， 因此 2 3 2 3 log40 ( )00 log ()40 xxx f xx xxx ； 23 33 (1)1log 1430, (3)3log 3460ff ， 因此(1) (3)0ff，又( )f x在1,3上连续，因此( )f x在(1,3)上有零点，设为 0 x，即 0 ()0f x 任取 12 0 xx， 1 1212122 2 ( )()()()log x f xf xxxxx x ， 由 12 0 xx得 11 12122 22 ()()0,01,log0 xx xxxx xx ， 因此 12 ( )()f xf x，因此( )f x在(0,) 上递增， 因此 0 0 xx时 0 ( )()0f xf x， 0 xx时 0 ( )()0f xf x， 因此( )0f x 在(0,) 上只有一解. 19. 设函数 2 ( ) 21 x x mn f x 为奇函数，其中,m n R， 求实数,m n满足的等量关系式； 若0m，函数( )f x在区间1,2上的取值范围是区间5,9，求( )f x的解析式； 若关于x的方程( )21f xm有实数解，求实数m的取值范围. 【答案】0mn； 15 215 ( ) 21 x x f x ； 1 ( 1,) 3 . 【解析】 对任意x R，( )()0f xfx， 22 0 2121 xx xx mnmn ， 因此 22 0 2112 xx xx mnmn ， 因此 ()(21) 0 21 x x mn ，因此0mn； 由0mn得 22 ( ) 2121 x xx mmm f xm ， 任取 12 xx， 12 1212 12 2222 ( )()() 2121(21)(21) xx xxxx mm f xf xmm ， 由 12 xx得 1212 22 ,210,210 xxxx ，因此 12 ( )()f xf x， 因此( )f x在R上递增， 由( )f x在区间1,2上的取值范围是区间5,9，得(1)5, (2)9ff， 即 24 5,9 35 mmmm ，解得15m； 由题意 2 21 21 x m mm 有解，因此 2 1 21 x m m 有解， 0m时显然无解，因此0m，因此 21 1 21 x m 有解， 令21 x u，则1u，则 2 u 取值范围为( 2,0)， 因此只需 1 1( 2,0) m ， 1 210 m ， 1 31 m ， 因此0m， 1 1 3 m . 20. 设函数 2 ( )f xaxx，其中a R. 讨论函数( )f x的奇偶性； 若0a，对任意的 12 ,x x R， 12 xx，比较 12 () 2 xx f 与 12 1 ( ( )() 2 f xf x的大小； 已知集合 |01Pxx，若关于x的不等式( )1f x 的解集为M，且PM，求a的取值范围. 【答案】0a为奇函数，0a时非奇非偶； 12 () 2 xx f 12 1 ( ( )() 2 f xf x； 2,0. 【解析】0a时( )f xx，为奇函数， 0a时，(1)1, ( 1)1fafa，则(1)( 1)ff ，( )f x非奇非偶； 因此0a为奇函数，0a时非奇非偶； 12 12 1 ()( ( )() 22 xx ff xf x 2221212 1122 22 221122 12 2 12 1 ()() 222 211 () 422 () 4 xxxx aaxxaxx xx xx axx a xx ， 由 12 0,axx得 2 12 ()0 4 a xx