江苏南京高三数学二轮01基本初等函数pdf

南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 1 页 共 21 页 专题专题 1：基本初等函数基本初等函数 目录目录 问题归类篇 . 2 类型一：分段函数 . 2 类型二：求函数的解析式 . 4 类型三：二次函数 . 6 类型四：指数函数与对数函数 . 8 类型五：函数的零点问题 .11 综合应用篇 . 13 一、例题分析 . 13 二、反馈巩固 . 16 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 2 页 共 21 页 问题问题归类归类篇篇 类型一：类型一：分段函数分段函数 一、前测回顾一、前测回顾 1已知函数 f(x) x1， x1， x24， x1 ，若 f(x)2，则 x 的取值范围为 f(x)在区间1，3的 值域为 答案： 2，)；2，4 2设函数 f(x) 2x 3 1， x0， 1 x， x0 ，若 f(f(b)2，求实数 b 的值 答案：b3 4或2 二、方法联想二、方法联想 方法 1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)； 方法 2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题 三、三、方方法应用法应用 例 1 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1)上，f(x) xa，1x0， 2 5x ，0x1， 其中 aR.若 f 5 2 f 9 2 ，则 f(5a)的值是_. 解析 由已知 f 5 2 f 5 22 f 1 2 1 2a， f 9 2 f 9 24 f 1 2 2 5 1 2 1 10. 又f 5 2 f 9 2 ， 则1 2a 1 10，a 3 5， f(5a)f(3)f(34)f(1)13 5 2 5. 答案 2 5 例 2 已知函数 f (x) x24，x0， ex5，x0. 若关于 x 的方程| f (x)|ax50 恰有三个不同的实数解， 则满足条件 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 3 页 共 21 页 的所有实数 a 的取值集合为_. 解析 关于 x 的方程| f (x)|ax50 有三个不同的实数解，即函数 y| f (x)|与函数 yax5(过定点(0， 5)的图象有三个不同的交点.作出函数图象如图所示， 当 a0 时，yax5 与 y4x2(x0，得 a2，当 a2 时，符合题意； 当 yax5 经过点(2，0)时，a5 2也符合题意； 当 a0)相切，设切点(x0，5ex0)，x00，则切线方程为 y(5ex0)ex0 (xx0)，代入点(0，5)，解得 x01，此时 ae，符合题意； 当 yax5 经过(ln 5，0)时，a 5 ln 5，也符合题意； 当 a0 时，两函数的图象有两个交点，不符合题意. 综上所述，满足条件的所有实数 a 的取值集合为 e， 5 ln 5，2， 5 2 . 答案 e， 5 ln 5，2， 5 2 例 3 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0，1)上，f(x) x2，xD， x，xD， 其中集合 D x xn1 n ，nN*，则方程 f(x)lg x0 的解的个数是_. 解析 由于 f(x)0，1)，则只需考虑 1x10 的情况，在此范围内，xQ，且 xZ 时，设 xq p，p，qN *， p2 且 p，q 互质.若 lg xQ，则由 lg x(0，1)，可设 lg xn m，m，nN *，m2 且 m，n 互质.因此 10 n m q p，10 n q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此 lg xQ，因此 lg x 不可能与每个周期内 xD 对应的部分相等，只考虑 lg x 与每个周期 xD 部分交点，画出函数草图如图. 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 4 页 共 21 页 图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 xD 部分，且 x1 处(lg x) 1 xln 10，因 1 ln 101，则在 x1 附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为 8 个. 答案 8 四、归类巩固四、归类巩固 *1已知 f(x) 2x， x1， log2x1， x1 ，则 ff(1) 答案：0(考查分段函数求值问题) *2设函数 f(x) 1log2(2x)，x1 2x1，x1 ，则 f(2)f(log212) 答案：9 *3设函数 f(x) 21 x，x1， 1log2x，x1， 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_ 答案：0，) *4已知函数 f(x) x22x，x0 ln(x1)，x0，若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是 答案：2，0 *5已知函数 f(x) |lnx|，x0 x24x1，x0，若关于 x的方程 f(x)2bf(x)c0(b，cR)有 8 个不同的实数 根，则 bc 的取值范围是 答案：(0，3) *6 已知函数 f(x)|lnx|，g(x) 0，0x1 |x24|2，x1，则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为_ 答案：4 类型类型二二：求函数的解析式求函数的解析式 一、前测回顾一、前测回顾 1已知 ff(x)94x，且 f(x)是一次函数，则 f(x) 若 f(x21)x2，则 f(x) 答案：2x3 或2x9；x1(x1) 2已知函数满足 2f(x)f(1 x)x，则 f(2) ；f(x) 答案：7 6， 2 3x 1 3x 二、方法联想二、方法联想 方法 1：待定系数法； 方法 2：换元法、拼凑法； 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 5 页 共 21 页 方法 3：函数方程法 三、三、方法方法应用应用 例 1 (1)已知 f 11 x 2x 1，则 f(x)_ (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 2f(x1)f(x1)2x1，则 f(x)_ (3)已知 f x1 x x2 1 x2，则 f(x)_ (4)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)2f(x)x2x，则 f(x)_ 略解(1)用换元法，设 t11 x，求出 f(t)，即可求出 f(x)； (2)用待定系数法，设 f(x)axb(a0)； (3)用配凑法，将 x2 1 x2配成 x1 x 2 的形式； (4)用消去法，以x 替换已知条件中的 x，得到另一个方程，解方程组可得 f(x)的解析式 例 2 图中的图像所表示的函数解析式为_ 略解：由图可知，当 0x1 时， y3x 2 ；当 1x2 时，y3 2x3.故 y 3 2 3 2|x1|(0x2) 四、归类巩固四、归类巩固 *1已知 f(x)x23x2，则 f(x1)_ 答案：x25x6 *2已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_ 答案：2x7 *3已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1)f(x)x1，则 f(x)的表达式为_ 答案：1 2x 21 2x *4已知 f 2 x1 lgx，则 f(x)_ 答案：lg 2 x2 *5若 2f(x)f(x)x，则 f(x) 答案：则 f(x)x 3 *6若 f(x2 x)x 24 x23x 6 x，则 f(x) 答案：x23x4 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 6 页 共 21 页 类型类型三三：二次函数：二次函数 一、前测回顾一、前测回顾 1若二次不等式 f(x)0 的解集为(1，2)，且函数 yf(x)的图象过点(1，2)，则 f(x) 答案：1 3x 2x2 3； 2已知 f(x)x22x2，xt，t1，若 f(x)的最小值为 h(t)，则 h(t) 已知函数满 足 2f(x)f(1 x)x，则 f(2) ；f(x) 答案： t22t2，t 1 2 t21， t1 2 二、方法联想二、方法联想 二次函数的解析式一般设为三种形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)； (2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)； (3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 二次函数在给定区间内的值域与最值问题二次函数在给定区间内的值域与最值问题: 方法方法: 结合图象，分区间讨论 步骤步骤: 配方求对称轴（也可以用公式） ，画出草图(关注：对称轴，开口方向及给定区间)； 结合图象，由函数的单调性，求出最值若对称轴在给定区间内，则考虑顶点及端点的 函数值，若对称轴不在给定区间内，则最值为端点的函数值 三、三、方法方法应用应用 例 1 (1)已知函数 f(x)x22tx1 在区间2，5上单调且最大值为 8，则实数 t 的值为_ (2)已知函数 f(x)x22x 在区间t，t1上的最小值为 8，则实数 t 的值为_ 解：(1)易知函数 f(x)x22tx1 图像的对称轴方程是 xt，因为函数在区间2，5上单调， 所以 t2 或 t5. 若 t2，则函数 f(x)在区间2，5上单调递增，故 f(x)maxf(5)2510t18，解得 t9 5； 若 t5，则函数 f(x)在区间2，5上单调递减，故 f(x)maxf(2)44t18，解得 t3 4(舍去) 综上所述，t9 5. (2)二次函数 f(x)x22x 图像的对称轴方程为 x1. 当 t11 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是_ 解：当函数 f(x)在(，1上单调递减时，a 21，即 a2； 当函数 f(x)在(1，)上单调递减时，a0 且 1 2a1，即 a 1 2. 易知 f(x)在 R 上连续，故 a2. 四、归类巩固四、归类巩固 *1已知二次函数f(x)ax2bxc图象的顶点为(1，10)，且方程ax2bxc0的两根的平方和为12， 则f(x)的解析式是_ 答案：f(x)2x24x8 *2已知函数f(x)x24xa，x0，1若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为_ 答案：1 *3若定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0，且有 f(1x)f(1x)，直线 g(x)4(x1)被 f(x)的图 像截得的线段长为 4 17，则函数 f(x)的解析式为_ 解析：设 f(x)a(x1)2(a0) 由 ya(x1)2， y4(x1)， 得 ax2(42a)xa40 由韦达定理，得 x1x242a a ，x1 x2a4 a 由弦长公式，得 4 17 (142) 42a a 24 a4 a a1f(x)(x1)2 答案：f(x)(x1)2 *4已知函数 f(x) x24x，x0， 4xx2，x0. 若 f(2a2)f(a)，则实数 a 的取值范围是_ 答案：(2，1) *5方程 mx2(m1) x10 在区间(0，1)内有两个不同的实数根，则 m 的取值范围为_ 解析：令 f(x)mx2(m1)x1， 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 8 页 共 21 页 则 f(x)的图像恒过定点(0，1)，由题意可得 m0， m 24m0， 0m1 2m 1， f()20. 解得 m32 2 答案：m32 2 *6函数f(x)2x22ax3在区间1，1上的最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式为_ 答案：g(a) 2a5，a2 3a 2 2 ，2a2 52a，a2 类型四：指数函数与对数函数类型四：指数函数与对数函数 一、前测回顾一、前测回顾 1已知 2x 2x1 4) x2，则函数 y( 3)x 22x的值域为 答案：答案： 3 3 ，81 2设 loga1 32，则实数 a 的取值范围为 答案：答案：(0， 3 3 )(1，) 3已知函数 ylog0.5(x22x2)，则它的值域为 答案：答案：(，0 二、方法联想二、方法联想 （1）指）指(对对)数方程与不等式问题：数方程与不等式问题： 方法 1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题 要注意定义域及转化过程中的等价性 方法 2：利用换元法，转化为代数方程或不等式 变式：解不等式 lg2xlgx230 (答案：0x 1 10或 x1000，考查利用换元法解指(对)不等式) （2）与指）与指(对对)数函数有关的值域问题，数函数有关的值域问题， 方法 1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性； 方法 2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求 （3）指数首先要注意值域，对数首先要注意定义域，其次这两个函数都要考虑单调性 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 9 页 共 21 页 三、三、方方法应用法应用 例 1 设函数 f(x) 3x1，x1， 2x，x1. 则满足 f(f(a)2 f(a) 的 a 的取值范围是_ 解析 当 a1 时，f(a)3a1，若 f(f(a)2 f(a) ，则 f(a)1，即 3a11，2 3a0，a1)的定义域和值域都是1，0，则 ab_ . 答案 3 2 解析 若 01，则 f(x)axb(a0，a1)在区间1，0上为增函数，即 a1b1， a0b0， 无解 ab1 22 3 2. 例 3 已知函数 f(x)|loga|x1|(a1)若 x1x2x3x4，x1x2x3x40，且 f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4_ 作出函数 f(x)的图像，如图所示，可得 x10，0x21，11，01x21，无论底数 a 为何值，loga(1x1) 与 loga(1x2)定异号，所以loga(1x1)loga(1x2)，即(1x1)(1x2)1，所以 x1x2x1x2，即 1 x1 1 x2 1.同理可得1 x3 1 x41.所以 1 x1 1 x2 1 x3 1 x42. 例 4 设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a1 2， 由 g(x)0 得 x 1 2， 故函数 g(x) 在 ，1 2 上单调递减，在 1 2， 上单调递增又函数 g(x)在 x0， 所以其大致图像如图所示 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 10 页 共 21 页 直线 yaxa 过点(1，0) 若 a0，则 f(x)0. 结合函数图像可知，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)0，即存在唯一的整数 x0，使得点(x0，ax0a)在点 (x0，g(x0)的上方，则 x0只能是 0，故实数 a 应满足 f（1）0， f（0）0， f（1）0， 即 3e 12a0， 1a0， e0， 解得 3 2ea1 时，f(x)lg e x ， 设 B(x0，lg x0)，则直线 OB 的方程为 ylg x0lg e x0 (xx0)，该直线过坐标原点， 所以 0lg x0lg e x0 (0x0)，解得 x0e，即直线 OB 的斜率为lg e e ， 所以实数 a 的取值范围是lg 2 2 ，lg e e . 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 12 页 共 21 页 例 3 已知函数 f(x)x1(0x1)， g(x)2x1 2(x1)， 函数 h(x) f（x），0xn0)，则 n g(m)的取值范围为_ 解析函数 f(x)x1(0x1)，g(x)2x1 2(x1)，作出函数 h(x) f（x），0xn0)，则 1 2n1， g(m)f(n)n1，则3 2n12，所以 3 4ng(m)0， 其中 b0，cR当且仅当 x2 时，函数 f(x)取得最小 值2 （1）求函数 f(x)的表达式； （2）若方程 f(x)xa(aR)至少有两个不相同的实数根，求 a 的取值集合 答案：(1)f(x) x24x2，x0， 2，x0. (2)实数 a 取值的集合为 1 4，2 (考查求二次函数的解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法) *14已知函数 f(x)ax3bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值4 3 (1)求函数的解析式； (2)若关于 x 的方程 f(x)k 有三个零点，求实数 k 的取值范围 解析：由题意，可知 f(x)3ax2b (1)于是 f12ab0， f8a2b44 3， 解得 a1 3， b4. 故所求的解析式为 f(x)1 3x 34x4 (2)由(1)可知，f(x)x24(x2)(x2) 令 f(x)0，得 x2，或 x2 当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表所示： x (，2) 2 (2，2) 2 (2，) f(x) 0 0 f(x) 单调递增 28 3 单调递减 4 3 单调递增 因此，当 x2 时，f(x)有极大值28 3 ； 当 x2 时，f(x)有极小值4 3 所以函数的大致图像如图 故实数 k 的取值范围是4 3k 28 3 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 19 页 共 21 页 (考查待定系数求解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法) *15已知 f(x)3x，并且 f(a2)18，g(x)3ax4x的定义域为1，1 （1）求函数 g(x)的解析式； （2）判断 g(x)的单调性； （3）若方程 g(x)m0 有解，求 m 的取值范围 答案： （1）g(x)2x4x，x1，1； （2）g(x)在1，1上单调递减； （3）2，1 4 说明： （1）考查解指数方程； （2）考查函数的单调性； （3）考查方程有解的问题：分离变量，求函数的值域；数形结合，对应函数图象有公共点 解析：f(a2)18，得到 3a 218，3a2，g(x)2x4x，x1，1 令 t2x，1 2t2，则 ytt2，g(x)在1，1上单调递减； 方程 g(x)m0 有解，则 yg(x)， ym 有交点 1 2t2，则 ytt2的范围是2， 1 4，所以 m2， 1 4 *16设函数 f(x)3ax22(ac)xc (a0，a，cR) (1)设 ac0若 f(x)c22ca 对 x1，)恒成立，求 c 的取值范围； (2)函数 f(x)在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？为什么？ (考查不等式恒成立，函数零点) 解 (1)因为二次函数 f(x)3ax22(ac)xc 的图象的对称轴为 xac 3a ，由条件 ac0，得 2aa c， 故ac 3a 2a 3a 2 31， 即二次函数 f(x)的对称轴在区间1，)的左边， 且抛物线开口向上，故 f(x)在1，)内是增函数 若 f(x)c22ca 对 x1，)恒成立， 则 f(x)minf(1)c22ca， 即 acc22ca，得 c2c0，所以 0c1 (2)若 f(0) f(1)c (ac)0， 则 c0，或 ac，二次函数 f(x)在(0，1)内只有一个零点 若 f(0)c0，f(1)ac0，则 ac0 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 20 页 共 21 页 因为二次函数 f(x)3ax22(ac)xc 的图象的对称轴是 xac 3a 而 f ac 3a